Задачи на зачет
Алгебра и теория чисел
+1. Может ли число, десятичная запись которого состоит из 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом? ***решение+ (03 янв № 6)
+2. Первую цифру шестизначного числа перенесли в конец. Докажите, что если исходное число делилось на 7, то и новое число тоже делится на 7. ***решение+ (04 янв № 2)
+3. Докажите, что n в степени 5 + 4n (n**5 + 4n) делится на 5 при любом натуральном n. **решение+ (05 янв №3)
+4. Решите уравнение в натуральных числах 1! + 2! + … + n! = m-квадрат. **решение+ (06 янв № 6)
+5. Можно ли из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 (используя их все по одному разу) составить шестизначное число, кратное 11? **решение+ добавлено (?)
6. Решите задачу с помощью разложения многочленов на множители.
По кругу лежат 50 шариков – и синие, белые и красные, причем синих шариков хотя бы 2. Известно, что между любыми двумя ближайшими синими шарами лежит ровно столько красных шаров сколько всего белых шаров в круге. Сколько всего красных шаров может быть в круге? **решение (был разбор)
+7. Вася расставил по кругу 7 целых чисел. После этого к нему подошёл Петя и нашел сумму для каждой тройки из подряд идущих чисел. Таким образом он получил все числа от 1 до 7. Докажите, что Петя ошибся. **решение+ (11 янв №1)
8. Ненулевые числа a, b, c, d таковы, что a(b + c + d) = b(a + c + d) = d(a + b + c). Докажите, что a-квадрат = b-квадрат = c-квадрат = d-квадрат. **решение (13 янв №5)
9. Целые числа x, y, z таковы, что xy+yz+zx=1. Докажите, что число (1+x-квадрат)(1+y-квадрат)(1+z-квадрат) является квадратом некоторого натурального числа. **решение (15 янв № 2)
+10. Докажите, что для любых натуральных чисел a, b, a > b верно: НОД(a, b) = НОД(a – b, b). **решение (был разбор) (18 янв № 3-b)
+11. Докажите формулу для подсчета количества делителей натурального числа. **решение (?)
12. Докажите, что для любых действительных чисел a, b, c верно неравенство: 2a(b+c) ≤ 2*a-квадрат + b-квадрат + c-квадрат. **решение (20 янв 2-b)
+13. Докажите, что сумма любого положительного числа и обратного ему не меньше 2. **решение+ (20 янв №3)
Геометрия
1. В четырёхугольнике ABCD стороны AB и CD равны, а также AC = BD. Докажите, что угол CAD = углу ADB. **решение
2. Известно, что в выпуклом четырёхугольнике ABCD AB=CD и BC=AD. Отрезки DF и BE – биссектрисы треугольников CDA и ABC соответственно. Докажите, что AE =CF. **решение
3. Равносторонние треугольники АВС и ADE не имеют общих внутренних точек. Докажите, что BD=CE. **решение
4. На диагонали AC выпуклого четырехугольника ABCD выбирается точка М. Известно, что AB=AD и CB=CD , докажите что MB=MD. **решение
5. Отрезок AC делит отрезок BD пополам, угол BAC = углу CAD .Докажите, что угол ACB = углу ACD . **решение
6. Биссектрисы треугольника ABC , проведенные из вершин B и C пересекаются в точке I. Угол при вершине A равен a . Найдите угол BIC. **решение
7. Докажите, что внешний угол треугольника равен сумме 2 внутренних не смежных с ним. **решение
8. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана равна половине гипотенузы. **решение
9. На медиане AM треугольника ABC отмечена такая точка P, что угол BAM = углу CPM . Докажите что CP = AB. **решение
10. В прямоугольном треугольнике ABC угол A прямой, угол C=30 градусов. Найдите BC/AB (отношение BC к AB). **решение
11. В прямоугольном треугольнике есть катет, который в 2 раза короче гипотенузам. Докажите, что напротив него лежит угол, равный 30 градусов. **решение
12. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза BC в 4 раза больше высоты на нее опущенную. Найдите углы треугольника ABC. **решение
13. Исправьте все ошибки в слове «поролелограм». Ответ пАрАлЛелограмМ
14. Треугольники A1B1C1 и A2B2C2 таковы, что A1B1=A2B2, A1C1=A2C2 и угол B1= углу B2. Докажите, что либо треугольник A1B1C1 = A2B2C2, либо угол С1+угол С2 = 180 градусов. **решение
15. В треугольнике ABCD диагональ BD суть биссектриса угла ABC, DA=DC. Докажите, что если AB не равно BC, то суммы противоположных углов четырехугольника равны. **решение
+16. Пусть AL - биссектриса треугольника ABC. Известно, что угол С = 40 градусов, угол В = 110 градусов. Докажите, что AB+CL=AC. **решение +(добавлено)
+17. В треугольнике ABC биссектриса AE равна по длине отрезку EC. Причем 2AB=AC. Найдите углы треугольника ABC. **решение+ (добавлено)
18. Внутри треугольника ABC отмечена точка P. Докажите неравенство
½(AB+BC+CA) < PA+PB+PC < AB+BC+CA **решение
19. На внешней биссектрисе угла А треугольника А выбрана точка L ≠ А . Докажите, что LB+LC > AB+AC. **решение
20. Внутри острого угла АОС отмечена точка Р. Обозначим за Р1 и Р2 точки, симметричные точке Р относительно прямых АО и ВО соответственно. Докажите, что внутри угла лежит меньше половины отрезка Р1Р2. **решение
Комбинаторика (Сухов К.А.)
03.5. На шахматной доске стоят ладьи, каждая ладья бьет не более 2 других ладей. Какое наибольшее количество ладей может стоять на доске? **решение
+04.6. В таблице n x n расставили целые числа, так что в любом квадратике 2 x 2 сумма положительная, а в любом 3 x 3 отрицательно. При каких n возможна такая ситуация? **решение (добавлено)
+05.5. Какое наименьшее число клеток квадрата 10 х 10 необходимо отметить, чтобы в любом a) прямоугольнике 1 x 4, b) квадрате 3 x 3 - была отмечена хотя бы одна клетка? **решение (добавлено)
+06.1. Сколько надо сделать выстрелов по доске 10 х 10, чтобы точно попасть хотя бы в один из 2 расположенных на доске кораблей 1 x 4? **решение (добавлено)
+06.2. В квадрате 8 х 8 расставлены целые числа. Сумма чисел в любом уголке из 3 клеток не меньше 100. Какова наименьшая возможная сумма чисел во всём квадрате? **решение (добавлено)
+09.2. Сколькими способами можно вырезать из доски 8 х 8 b) прямоугольник 1 x 3; c) уголок из 3 клеток. **решение (добавлено b)
+10.4. Прямоугольник m х n можно разрезать на прямоугольники 1 x 1000. Докажите, что n или m делится на 1000. **решение (добавлено)
+11.4. На клетчатой плоскости расставили несколько ладей. Докажите, что ладей можно раскрасить в 3 цвета таким образом, чтобы ладьи одного цвета не били друг друга. Две ладьи бьют друг друга, если они стоят в одном ряду и между ними нет других ладей. **решение (добавлено)
14.6. После волейбольного турнира в один круг нашлись 2 команды, у которых поровну побед. Докажите, что найдется тройка команд A, B, C таких что, F выиграла у B, B выиграла у C, C выиграла у A. **решение
+15.3. По кругу стоят 100 бусинок. Оказалось, что среди любых b) трёх подряд идущих не менее одной синей. Сколько всего может быть синих бусинок? **решение (добавлено)
+15.5. Вдоль окружности растут c) 44 дерева. На них сидят чижи (по одному на каждом дереве). Любые 2 чижа могут одновременно вспорхнуть и перелететь на соседние деревья: один – по часовой стрелке, другой – против. Могут ли все чижи собраться на одном дереве? **решение (добавлено)
18.4. На клетчатом листе отметили 5 узлов. Докажите, что среди них есть 2 таких, что середина соединяющего их отрезка – тоже узел. **решение
18.5. В полном графе на каждом ребре поставлена стрелочка. Докажите, что найдутся b) вершина, из которой можно дойти до любой другой, не более чем по 2 ребрам. **решение
+19.4. Клетчатая доска 20 x 20 разрезана на Т-тетрамино. Докажите, что можно разрезать доску по клеткам на 2 части прямолинейным разрезом так, чтобы повредить не более a) 7 фигурок. **решение (добавлено)
21.5. В клетках таблицы 99 x 99 расставлены b) необязательно целые. Если в каком-то ряду (строке или столбце) сумма отрицательна, разрешается в этом ряду поменять знаки всех чисел на противоположные. Докажите, что через некоторое время сумма чисел в каждом из рядов будет неотрицательной. **решение