alg07
7. Вася расставил по кругу 7 целых чисел. После этого к нему подошёл Петя и нашел сумму для каждой тройки из подряд идущих чисел. Таким образом он получил все числа от 1 до 7. Докажите, что Петя ошибся.
Решение.
Обозначим числа a1,…,a7 (по кругу), а сумму всех семи чисел a1+a2+…+a7 через S.
Тогда 7 требуемых троек - это тройки a1+a2+a3,…a7+a1+a2
Если их сложить - получим, что каждое ai входит в эту сумму ровно три раза: 3S
Но если Петя получил все числа от 1 до 7, то их сумма должна быть 28
(1+2+3+4+5+6+7=28).
То есть должно быть 3S=28.
S=28/3 = 9 с остатком.
Но 28 не делится нацело на 3.
Но если числа ai - целые, то сумма S должна быть целое число.