s04.6
04.6. В таблице n x n расставили целые числа, так что в любом квадратике 2 x 2 сумма положительная, а в любом 3 x 3 отрицательно. При каких n возможна такая ситуация?
Решение.
При n=1 можно. При n=2 можно.
При n=3 можно.
При n=4 и больше - нельзя.
N=4. Давайте посмотрим на квадратик 4 x 4, какие здесь вообще есть квадратики 2 x 2. Эта клетка в одном квадратике 2 х 2, эта клетка в двух, эта - в двух, эта - одном, а эта в 4 квадратиках 2 x 2. Если посмотреть, то квадратики 3 x 3 покрывают эти клетки тоже. Вот эта клетка входит в один квадрат 3 x 3, эта входит в 2 квадрата 3 x 3, эта входит в 4, то есть во все. Получается, если мы сложим все все все квадраты 2 x 2, то получится это число один раз, это число дважды, это дважды, это 4, это 4, и так далее. Если сложить все квадраты 3 x 3, то же самое получится. Получается, что сумма чисел во всех квадратах 2 x 2 равна сумме числе во всех квадратах x 3 x 3.
В квадрате 3х3 сумма 25, таких 4 квадрата, то есть всего 100
Квадраты 2х2: 4 квадрата с суммой 9, 4 квадрата с суммой 12, 1 квадрат с суммой 16. Складываем 4*9+4*12+16=36+48+16=100
Получается, что если взять вот такое вот (пример в тетради). С одной стороны, положительно, с другой отрицательно - противоречие. Если n равно 4 то ответ нет.
Но тогда если n хотя бы 4 ответ нет. Потому, что Если у вас квадрат более чем 4 на 4, то в нем внутри находится квадрат 4 на 4. Для которого это условия тоже должно выполняться. Если у вас есть пример для 5, вы выкидываете нижнюю строчку и правый столбец получается квадрат 4 на 4, в котором это условие тоже выполняется. Такое условие называется наследственные свойства - подквадрат наследует это свойство.