s19.4
19.4. Клетчатая доска 20 x 20 разрезана на Т-тетрамино. Докажите, что можно разрезать доску по клеткам на 2 части прямолинейным разрезом так, чтобы повредить не более a) 7 фигурок.
Решение.
Нам нужно найти прямолинейный разрез, который повредит не более 7 фигур.
Сколько прямолинейных разрезов повреждает одну фигуру. 3.
Вот такой разрез повреждает, и вот такой, и вот такой. Значит, каждую фигуру разрезают 3 разреза.
Хорошо, значит, у нас есть сколько фигурок всего. Всего 400 клеток значит 100 фигурок. Каждую портит 3 разреза. Всего плохих разрезов типа 300. На самом деле, сколько всего разрезов в квадрате 20х20 = 38, потому что 19 вертикальных и 19 горизонтальных. 300 делим на 38, получается 7 целых и 34/38 (остаток). То есть у нас есть 38 разрезов, и на них в среднем. Они в среднем портит 7 и 34/38. Значит, какой-то разрез портит не больше 7 фигурок. Потому что если на каждый разрез из 38 приходится хотя бы 8 фигурок, которые они портят, то всего пар фигурок хотя бы 8 на 38. А это больше чем 300.
Значит найдется разрез, который портит не больше 7 фигурок.
У нас есть 38 разрезов. И 300 фактов, когда разрез портит фигуру.
В среднем один разрез портит 7 целых 34/38 фигуры. Значит какой-то разрез портит меньше этого числа, то есть не больше 7 фигурок.