alg04
4. Решите уравнение в натуральных числах 1! + 2! + … + n! = m**2
- примечание: знак ** означает степень.
Решение.
1! = 1 = 1**2 - полный квадрат
1! + 2! = 1 + 2 = 3 - не квадрат, поэтому не подходит.
1! + 2! + 3! = (1! + 2!) + 3! = 3 + 6 = 9 = 3**2 - полный квадрат
1! + 2! + 3! + 4! = (1! + 2! + 3!) + 4! = 9 + 24 = 33 - не квадрат, поэтому не подходит.
1! + 2! + 3! + 4! + 5! = (1! + 2! + 3! + 4!) + 5! = 33 + 120 = 153 - не квадрат, поэтому не подходит.
Все последующие суммы будут заканчиваться на тройку, потому что прибавляемые числа (6!, потом 7!, потом 8!, и так далее) имеют на конце хотя бы один ноль. Но число, заканчивающееся на тройку, не может быть полным квадратом. Поэтому ваше уравнение имеет только две пары n и m, которые являются решениями:
n = 1, m = 1
и
n = 3, m = 2.