Геометрия. Задача 17
17. В треугольнике ABC биссектриса AE равна по длине отрезку EC. Причем 2AB=AC. Найдите углы треугольника ABC.
Решение.
Добавляем отрезок ED, который является высотой, медианой и биссектрисой, поскольку треугольник AEC равнобедренный (по условию AE=AC). Угол D = 90 градусов.
По условию AC=2AB, а поскольку ED медиана, то AD=AС/2=АВ.
По условию АЕ биссектриса, тогда треугольники ABE=AED по СУС, поскольку угол А одинаковый, общая сторона АЕ, и AD=AB. Из равенства этих треугольников следует, что угол В = 90 градусов.
Треугольники AED = CED по равенству 3 сторон (ED общая, AE=AC по условию, AD=CD поскольку ED медиана). Тогда углы С, A1, A2 равны. Обозначим их а, и всего 3 угла а.
В треугольнике АВС считаем углы: (180 - 90) / 3= 90/3=30. Угол а=С=30 град. Угол А = 30*2 = 60.
Ответ: угол А=60, угол В=90, угол С=30.
