Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках - Математика реферат
![](/file/c17a668ccb7333e986a5a.jpg)
Главная
Математика
Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках
Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках, их определение и построение. Теорема Пифагора. Определение площади треугольника, трапеции и параллелограмма. Решение типовых задач по изложенным темам с применением полученных знаний.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
«Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках
Углубить знания по теме «Вписанная и описанная окружности в треугольниках и четырехугольниках»
Систематизировать знания по этой теме
Подготовиться к задачам повышенной сложности в ЕГЭ
Определение: если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.
Теорема: в любой треугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Центр окружности, вписанной в треугольник, находится на пересечении биссектрис треугольника.
Свойство: в любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.
Признак: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.
Определение: если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.
Теорема: около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Центр окружности, описанной около треугольника, находится на пересечении серединных перпендикуляров.
Свойство: в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180?.
Признак: если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180?, то около него можно описать окружность.
Взаимное расположение прямой и окружности:
AB + OH (OH - радиус, проведенный в точку касания H)
Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки:
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c2 = a2 + b2
Медиана (от лат. mediana -- средняя), отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.
Площадь параллелограмма равна произведению его основания на высоту:
Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних его сторон ?на синус угла между ними:
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними:
Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту:
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
Если высоты двух треугольников равны, то их площади относятся как основания.
Если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы:
Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:
Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой:
Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:
Задача 1: окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается его боковых сторон в точках K и A. Точка K делит сторону этого треугольника на отрезки 15 и 10, считая от основания. Найдите длину отрезка KA.
Дано: ? BCD - равнобедренный, K є BC, A є DC, BK = 15, KC = 10
CD = CB = BK + KC, CD = CB = 15 + 10 = 25
CK = CA = 10 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), CB = CD, следовательно AD = CD - CA, AD = 25 - 10 = 15
BE = BK = 15, DE = DA = 15 (отрезки касательных, проведенные из одной точки), следовательно BD = 15 + 15 = 30
? CKA ~ ? CBD (?C - общий, CK : CB = CA : CD), следовательно KA : BD = CA : CD, KA : 30 = 10 : 25, KA = 10 • 30 : 25 = 12
Задача 2: Около равнобедренного треугольника с основанием AC и углом при основании 75? описана окружность с центром O. Найдите ее радиус, если площадь треугольника BOC равна 16.
Дано: ? ABC - равнобедренный, AC - основание, ? ACB = 75?,
? ABC - равнобедренный, BH - медиана, следовательно, BH - высота, а значит ? HBC - прямоугольный
? HBC = 90? - ? ACB, ? HBC = 90? - 75? = 15?
BO = OC = R, следовательно, ? BOC - равнобедренный, значит ?HBC = ?ECB = 15?
? COB = 180? - (? HBC + ?ECB), ? COB = 180? - (15? + 15?) = 150?
S = • BO • OC • sin ? BOC (теорема о площади треугольника), SBOC = • R • R • sin 150? = • R • R • = • R2 ; • R2 = 16; R2 = 16 : = 64; R = = 8
Задача 3: периметр прямоугольного треугольника равен 72 м, а радиус вписанной в него окружности - 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.
Дано: ? ABC - прямоугольный, P = 72 м, r = 6 м
DO = OF = OE = r = 6 м, следовательно AD = AF = 6 м
FC = EC, BD = BE (отрезки касательных, проведенные из одной точки)
Пусть BD = x, FC = y, тогда AB = x + 6, AC = y + 6, BC = x + y
По теореме Пифагора AB2 + AC2 = BC2
P = AB + BC + AC, P = x + 6 + x + y + y + 6 = 2x + 2y + 12
x2 + 12x + 36 + y2 + 12y + 36 = x2 + 2xy + y2
6x - x(30 - x) + 6(30 - x) + 36 = 0
D = (-30)2 - 4 • 1 • 216 = 900 - 864 = 36
Ответ: 30 м - диаметр описанной окружности
Задача 4: вся дуга окружности радиуса R разделена на 4 большие и 4 малые части, которые чередуются одна за другой. Большая часть в два раза длиннее малой. Определить площадь восьмиугольника, вершинами которого являются точки деления дуги окружности.
Дано: окружность, разделенная на 4 большие и 4 малые части, радиус = R, большая часть в два раза длиннее малой.
Пусть ?AOB = 2x, ?BOC = x, тогда по условию 8x + 4x = 360°, x = 30°, 2x = 60°, ?AOB = 60°, ?BOC = 30°
Задача 5: в ромб вписана окружность радиуса R. Найти площадь ромба, если его большая диагональ в 4 раза больше радиуса вписанной окружности.
Дано: ромб, радиус вписанной окружности - R, BD r в 4 раза
Задача 6: внутри правильного треугольника со стороной a расположены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника и двух других окружностей. Найти площадь части треугольника, расположенной вне этих окружностей.
Обозначим O1E = O1K = ED = r, тогда AD = AE + ED = AE + r = .
AO1 - биссектриса угла A, следовательно, ? O1AE = 30? и в прямоугольном ?AO1E имеем AO1 = 2O1E = 2r и AE ===. Тогда AE + r = == , откуда .
Площадь части треугольника, расположенной вне окружностей, равна площади ? ABC без утроенной площади круга:
Задача 7: найдите площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности с радиусом 4, если известно, что боковая сторона трапеции равна 10.
Дано: ABCD - равнобедренная трапеция, r = 4, AB = 10
AB + CD = AD + BC по свойству вписанной окружности
1. «Единый государственный экзамен 2006. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся/ Рособрнадзор, ИСОП - М.: Интеллект-Центр, 2006»
2. Мазур К. И. «Решение основных конкурсных задач по математике сборника под редакцией М. И. Сканави»
3. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк, И. И. Юдина «Геометрия, 7 - 9: учебник для общеобразовательных учреждений»
Определение вписанной и описанной окружности, их свойства и признаки. Взаимное расположение прямой и окружности. Свойства прямоугольного треугольника и теорема Пифагора. Задачи с окружностью, вписанной и описанной в треугольниках и четырехугольниках. реферат [298,7 K], добавлен 16.06.2009
Биссектриса треугольника, центр вписанной окружности треугольника, точка Жергонна. Центр тяжести окружности треугольника. Решение задач на применение свойств биссектрисы. Окружность и прямая Эйлера, свойства окружности. Ортоцентр окружности треугольника. курсовая работа [330,3 K], добавлен 13.05.2015
Меры площади, использовавшиеся в Древней Руси, их эволюция и современное состояние. Площадь многоугольника и прямоугольника. Определение и доказательство площади квадрата. Формула площади параллелограмма и треугольника, трапеции. Теорема Пифагора. реферат [389,2 K], добавлен 05.02.2011
Понятие окружности и круга, основные теоремы и свойства. Касание прямой и окружности, случаи их взаимного расположения. Вписанные и описанные фигуры. Относительное положение двух окружностей. Свойства хорд и расстояние до них. Определение длин и площадей. презентация [536,1 K], добавлен 16.04.2012
Ознакомление с формулами длины окружности, площади круга (частью плоскости, ограниченной окружностью) и исходящими из них формулами расчета радиуса, диаметра. Получение навыков применения формул, закрепление полученных знаний в ходе выполнения упражнений. конспект урока [227,7 K], добавлен 17.05.2010
Преобразования подобия, их свойства. Доказательство теоремы: гомотетия есть преобразование подобия. Основные признаки подобия треугольников, решение типовых задач. Углы, вписанные в окружность. Пропорциональность отрезков хорд и секущих окружности. реферат [729,0 K], добавлен 02.06.2009
Понятие треугольника и его роль в геометрии. Сумма углов треугольника, вычисление площади, свойства различных видов фигур. Признаки равенства и подобия треугольников, теорема Пифагора. Медианы, биссектрисы и высоты, соотношение между сторонами и углами. курс лекций [3,7 M], добавлен 23.04.2011
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Вписанные и описанные окружности в треугольниках и четырехугольниках реферат. Математика.
Дипломная работа по теме Организация поста технического обслуживания и ремонта карбюраторов двигателей легковых автомобилей
Дипломная работа по теме Развитие образовательной организации
Реферат: I R Theory Essay Research Paper Search
Реферат по теме Технология получения монокристаллического Si
Реферат: Налоговый учет векселей, свои особенности
Учебное пособие: Методические указания для выполнения курсового проекта «Технология очистки сточных вод от гексанорастворимых продуктов»
Отчет по практике по теме Бухгалтерский учет на туристическом предприятии
Контрольная работа: Основные элементы расчетов с контрагентами
Интересная Встреча С Баскетболистом Сочинение
Реферат: Ответственность за умышленное убийство при отягчающих обстоятельствах. Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная Работа Петр 1
Сочинение Женские Образы В Романах Гончарова
Курсовая работа по теме Основные направления государственного регулирования экономики
Реферат На Тему Предельное Равновесие Балок И Рам
Реферат: Полная параллельная поддержка для систем планирования, основанных на случаях
Лекция На Тему Состав И Физико-Химические Свойства Молока
Дали Реферат
Дипломная работа по теме Устройства генерирования и канализации субмиллиметровых волн
Дипломная работа: Уровень вещества Р и активность ферментов обмена регуляторных пептидов в сыворотке крови спортсменов
Курсовая работа по теме Повышение эффективности маркетинговой деятельности предприятия ОАО 'Молочные продукты'
Организация работы пиццерия "IL'Patio" - Маркетинг, реклама и торговля бизнес-план
Засоби масової інформації: поняття, риси, функції, маніпулювання - Журналистика, издательское дело и СМИ презентация
Изготовление художественных витражей в различных техниках - Культура и искусство отчет по практике