Собственные значения и собственные векторы линейного оператора
Собственные значения и собственные векторы линейного оператораСобственные числа матрицы линейного оператора
=== Скачать файл ===
Пусть — подпространство -мерного линейного пространства V и А — линейный оператор из Определение 1. Число X называется собственным значение оператора А, если существует ненулевой вектор х такой, что При этом вектор х называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению X. Для того чтобы число X было собственным значением оператора А, необходимо и достаточно, чтобы это число было корнем характеристического уравнения 5. Пусть X — собственное значение оператора А и х — собственный вектор, отвечающий этому Перепишем соотношение 5. Так как х — ненулевой вектор, то из последнего равенства следует, что , т. Поскольку, согласно теореме 5. Пусть теперь X — корень характеристического уравнения 5. Тогда справедливо неравенство 5. Поэтому X — собственное значение. Каждый линейный оператор имеет собственное значение. Действительно, характеристическое уравнение всегда имеет корень в силу основной теоремы алгебры. Пусть базисные векторы являются собственными векторами оператора А. Тогда и поэтому матрица А оператора А имеет вид см. Пусть матрица А линейного оператора А в данном базисе диагональна, т. Докажем еще одно свойство собственных векторов. Пусть собственные значения оператора А различны. Тогда отвечающие им собственные векторы линейно независимы. Так как — ненулевой вектор, то для одного вектора утверждение справедливо один ненулевой вектор является линейно независимым. Пусть утверждение теоремы доказано для векторов. Присоединим к этим векторам вектор и допустим, что имеет место равенство Тогда, используя свойства линейного оператора, получим Так как — собственные векторы, то и поэтому равенство 5. Согласно Вычитая это равенство из равенства 5. Индукция проведена, и доказательство теоремы завершено. Если характеристический многочлен оператора А имеет различных корней, то в некотором базисе матрица оператора А имеет диагональный вид. Действительно, в рассматриваемом случае, согласно только что доказанной теореме собственные векторы линейно независимы и поэтому могут быть выбраны в качестве базисных. Но тогда по теореме 5. Основные операции над матрицами и их свойства. Выражение определителя непосредственно через его элементы. Определитель суммы и произведения матриц. Теорема о базисном миноре матрицы 1. Понятие линейной зависимости строк. Теорема о базисном мнноре. Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя. Понятие линейного пространства 2. Некоторые свойства произвольных линейных пространств. Базис и размерность линейного пространства 1. Понятие линейной зависимости элементов линейного пространства. Понятие изоморфизма линейных пространств. Подпространства линейных пространств 1. Понятие подпространства и линейной оболочки. Новое определение ранга матрицы. Сумма и пересечение подпространств. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Преобразование координат при преобразовании базиса n-мерного линейного пространства 2. Связь между преобразованием базисов и преобразованием соответствующих координат. Условие совместности линейной системы 2. Нетривиальная совместность однородной системы. Условие совместности общей линейной системы. Отыскание решений линейной системы 2. Отыскание всех решений общей линейной системы. Свойства совокупности решений однородной системы. Заключительные замечания о решении линейных систем. Вещественное евклидово пространство и его простейшие свойства 2. Простейшие свойства произвольного евклидова пространства. Ортонормированный базис конечномерного евклидова пространства 2. Разложение n-мерного евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения. Изоморфизм n-мерных евклидовых пространств. Комплексное евклидово пространство 2. Неравенство Коши — Буняковского. Ортонормированный базис и его свойства. Метод регуляризации для отыскания нормального решения линейной системы ГЛАВА 5. Действия над линейными операторами. Свойства множества L V, V линейных операторов. Матричная запись линейных операторов 2. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису. Характеристический многочлен линейного оператора. Линейные и полуторалинейные формы в евклидовом пространстве 2. Полуторалинейные формы в евклидовом пространстве. Специальное представление таких форм. Линейные самосопряженные операторы в евклидовом пространстве 2. Дальнейшие свойства самосопряженных операторов. Спектральное разложение самосопряженных операторов. Корни m-й степени из оператора. Линейные операторы в вещественном евклидовом пространстве 2. Итерационные методы решения линейных систем 2. Общий неявный метод простой итерации. Модифицированный метод простой итерации. Случай несимметричной матрицы А. Решение полной проблемы собственных значений методом вращений ГЛАВА 7. Представление билинейной формы в конечномерном линейном пространстве. Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов 2. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм 2. Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов в ортогональном базисе. Одновременное приведение двух квадратичных форм к сумме квадратов в линейном пространстве. Экстремальные свойства квадратичной формы. Гиперповерхности второго порядка 2. Параллельные переносы в евклидовом пространстве. Преобразования ортонормированных базисов в ортонормированные. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при параллельном переносе. Преобразование общего уравнения гиперповерхности второго порядка при переходе от ортонормированного базиса к ортонормированиому. Инварианты общего уравнения гиперповерхности второго порядка. Центр гиперповерхности второго порядка. Стандартное упрощение любого уравнения гиперповерхности второго порядка путем преобразования ортонормированного базиса. Упрощение уравнения центральной гиперповерхности второго порядка. Упрощение уравнения нецентральной гиперповерхности второго порядка. Преобразование базисов и координат 2. Ковариантные и контравариантные координаты векторов. Преобразования базиса и координат. Основные операции над тензорами 2. Основные операции над тензорами. Основные операции векторной алгебры в тензорных обозначениях 2. Операция поднятия и опускания индексов с помощью метрического тензора. Метрический тензор псевдоевклидова пространства 2. Тензор момента инерции ГЛАВА 9. Основные свойства групп 2. Сходимость элементов в группе GL n. Подгруппы группы GL n. Некоторые дискретные и конечные подгруппы ортогональной группы. Приводимые и неприводимые представления. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов Пусть — подпространство -мерного линейного пространства V и А — линейный оператор из Определение 1.
Где взорвалась атомная станция
Накрасить ногти в домашних условиях фото поэтапно