Как мы понимаем математику

Понимание математики — очень сложный вопрос. Это индивидуальная и внутренняя составляющая, которую трудно полностью осознать, понять и, зачастую, передать.

Люди очень по-разному понимают те или иные фрагменты математики. Для иллюстрации следует привести пример, воспринимающийся опытными математиками по-разному, но с которым начинающие испытывают трудности. Здесь хорошо подходит производная функции. О ней можно думать следующими способами:

• Инфинитезимально: отношение бесконечно малого изменения значения функции к бесконечно малому изменению аргумента.
• Символически: производная от икс квадрат равна два икс, производная от синуса равна косинусу, производная композиции выражается так-то, и так далее.
• Логически: производная функции равна такому числу, что для любого эпсилон больше нуля существует такая дельта, что выполняется определённая импликация.
• Геометрически: наклон прямой, касающейся графика функции.
• Частотно: мгновенная скорость в данный момент времени.
• Аппроксимативно: наилучшее линейное приближение к функции вблизи точки.
• Микроскопически: предел того, что можно получить, рассматривая функцию под микроскопом все большей мощности.

Это скорее список различных способов мышления или представления о производной, чем её логических определений. Различия начнут исчезать, если начать переводить эти мысленные концепции в точные, формальные и однозначные определения (если только не прилагать значительных усилий для сохранения тона и вкуса исходных инсайтов).

Я помню, как воспринимал каждую из этих концепций как нечто новое и интересное, тратил много умственных сил и времени на то, чтобы переварить и отработать каждую из них, согласовывая ее с другими. Я также помню, как впоследствии возвращался к этим концепциям с новым смыслом и пониманием.

Список выше можно продолжать, и нет никаких причин, чтобы он когда-нибудь закончился. Ниже приведён пример. Нам может казаться, что мы знаем всё, что можно сказать по тому или иному вопросу, но новые открытия не за горами. Кроме того, четкий мысленный образ для одного человека — это запугивание для другого:

• Производная функции — это лагранжево сечение кокасательного расслоения, задающее форму связности для единственной плоской связности на тривиальном расслоении, для которого график исходной функции является параллельным.

Эти различия — не просто какая-то диковинка. Человеческое мышление и понимание не работают по единой схеме, подобно компьютеру с единым центральным процессором. Наш мозг и сознание, по-видимому, организованы в виде множества отдельных мощных систем, которые работают в свободном режиме, “разговаривая” друг с другом на высоких, а не на низких уровнях организации.

Вот несколько основных системных делений, важных для математического мышления.

Человеческий язык

Мы обладаем мощными специализированными возможностями для общения и понимания человеческого языка, которые также связаны с чтением и письмом. Наши языковые возможности — это важный инструмент не только для общения, но и для мышления. В качестве примера можно привести формулу квадратного уравнения, которую люди, возможно, помнят как небольшое песнопение: "икс равно минус бэ плюс минус квадратный корень из бэ квадрат минус четыре а цэ делить на два а". Математический язык символов тесно связан с нашим речевым аппаратом. В части математической символики, доступной большинству изучающих математический анализ студентов, есть только один глагол: "=". Поэтому когда студентам нужен глагол, они используют именно этот. Практически каждый, кто преподавал математику в США, видел, как студенты инстинктивно пишут "икс куб равно два икс квадрат" и т.п.

Пространственное восприятие

Люди обладают очень широкими возможностями для зрительного и кинестетического восприятия информации, а также мышления с помощью пространственных ощущений. В то же время у них не так хорошо развита способность к превращению внутреннего пространственного представления в плоское изображение. В результате количество и качество картинок, представленных в работах математиков, совершенно не выдерживает сравнения с тем, что происходит у них в голове.

Интересно, что большую роль в пространственном мышлении играет масштаб. Мы можем думать о маленьких предметах, которые держим в руках, или о больших структурах размером с человека, которые мы сканируем, или о пространственных структурах, которые охватывают нас и в которых мы передвигаемся. Мы склонны мыслить гораздо эффективнее, когда используем пространственные образы большего масштаба: как будто наш мозг воспринимает крупные объекты более серьёзно и может выделить для них больше ресурсов.

Логика и логический вывод

У нас есть некоторые встроенные способы рассуждать и связывать вещи воедино, которые касаются логических умозаключений: причина и следствие (связанные с импликацией), противоречие, отрицание и т.д. 

Математики, по-видимому, обычно не опираются на сами формальные правила дедукции в процессе мышления. Они скорее держат в голове логическую структуру доказательства, разбивая его на промежуточные результаты, чтобы не держать в голове слишком много логики одновременно. Более того, часто первоклассные математики даже не знают стандартного формального использования кванторов ("для любого" и "существует"), однако все математики, безусловно, проводят те рассуждения, которые кодируют эти кванторы. 

Интересно, что и хотя "или", "и" и "влечёт" имеют равное формальное значение в логике, мы воспринимаем "или" и "и" как союзы, а "влечёт" — как глагол.

Интерпретации и взаимосвязи

Человек обладает удивительными способностями:

• Интуиция. Ощущать что-то, не зная, откуда оно взялось. 
• Ассоциация. Чувствовать, что некоторое явление, ситуация или объект похожи на что-то другое.
• Метафора. Строить и проверять связи и сравнения, удерживая в уме две вещи одновременно.

Эти способности крайне важны для математики. Лично я прилагаю много усилий, чтобы "прислушаться" к своим интуициям и ассоциациям и выстроить их в метафоры и связи, при этом происходит как бы одновременное успокоение и фокусировка сознания. Конкретные же слова, логика и подробные витающие в воздухе картинки могут сдерживать интуицию и ассоциации.

Стимул-реакция

Это часто используется в средней школе; например, если вы видите 3927 × 253, вы пишете одно число над другим и проводите под ним черту и т.д. Это важно и для исследовательской математики: увидев диаграмму узла, мне может сразу захотеться записать копредставление для фундаментальной группы его дополнения с помощью процедуры, которая по ощущениям похожа на алгоритм умножения.

Последовательности и время

Мы обладаем способностью мыслить процессами или последовательностями действий, которую часто можно с успехом использовать в математических умозаключениях. Один из способов понимания функции — это действие, процесс, который переводит область определения в множество значений. Это особенно ценно при композиции функций. Другой способ использования этой способности — запоминание доказательств: люди часто запоминают доказательство как процесс, состоящий из нескольких шагов. С математической точки зрения время ничем не отличается от дополнительного пространственного измерения, но поскольку человек взаимодействует с временем совершенно по-другому, появляется очень сильная психологическая разница.

Источник: W. Thurston, "On proof and progress in mathematics"

Дальнейшее чтение

1. Как развить воображение
2. Как внести вклад в математику
3. Какие математические книги читать

Если вам понравилась статья, не забудьте поделиться ей с друзьями.

Лаунч Контроль Центр в Telegram, VK и YouTube. Математика — это только начало.