Как развить воображение

Как вы представляете геометрические фигуры в своей голове? Большинство людей говорят о своем воображении как о «визуализации», но это не совсем правильно. Изображение, которое вы формируете в своей голове, является более концептуальным, чем плоская картинка — вы располагаете вещи скорее в трехмерной модели. На самом деле, перейти от мысленного образа к плоской картине непросто. Трехмерные образы хоть и связаны с вашим зрительным восприятием, но они также связаны с вашим чувством места и движения. Так, формируя образ, часто бывает полезно представить, как вы двигаетесь вокруг него или вычерчиваете его руками.

Геометрическое воображение — это не просто то, с чем вы родились или нет. Как и любой другой навык, его нужно развивать.

Ниже приведен ряд ”изображений” для развития геометрического воображения. Некоторые плоские, некоторые трехмерные, некоторые простые, некоторые сложные (не обязательно в порядке возрастания). Выполняйте эти упражнения попарно. Вызывайте изображения, говоря о них, а не рисуя их. Вероятно, с закрытыми глазами это сделать проще, хотя иногда помогают жесты и рисунки в воздухе. Пропустите сложные для вас упражнения и постарайтесь найти свой уровень. При решении нужно не пользоваться ручкой и бумагой.

1. Представьте свое имя и прочитайте буквы в обратном направлении. Если вы не можете увидеть свое полное имя сразу, сделайте это группами из трех букв. Попробуйте то же самое для имени вашего друга и для нескольких других слов. Обязательно делайте это визуально, а не звуком.
2. Отрежьте каждый угол квадрата до середины его сторон прямой линией. Какая фигура осталась? Можете ли вы собрать ещё один квадрат из вырезанных четырёх углов?
3. Разделите каждую из трёх сторон равностороннего треугольника на три равные части. Отрежьте каждый угол треугольника до крайних меток прямой линией. Сколько углов у получившегося многоугольника?
4. Разметьте стороны квадрата на три равные части и отрежьте каждый из его углов до отметок. На что это похоже?
5. Возьмите два одинаковых квадрата. Поместите второй квадрат по центру первого квадрата, но под углом 45 градусов. Что получилось в объединении двух квадратов? А в пересечении?
6. Сколько вершин у куба? А граней? А рёбер?
7. Представьте каркас куба, собранный из проволоки. Постройте замкнутый путь по рёбрам, который проходит через каждую вершину куба ровно один раз.
8. Представьте систему координат на плоскости. Возьмите 4 точки на оси абсцисс и 3 точки на оси ординат. Проведите через каждую точку вертикальную и горизонтальную прямую. Сколько прямоугольников получилось?
9. Постройте замкнутый путь по краям картинки из предыдущего упражнения, который посещает каждую вершину ровно один раз. Можете ли вы сделать это для набора точек 3 × 3?
10. Сколько разных цветов требуется для окраски граней куба, чтобы никакие две смежные грани не имели одинаковый цвет?
11. Сколько вершин у тетраэдра? А граней? А рёбер?
12. Положите тетраэдр на основание и разрежьте как–нибудь его плоскостью напополам. Какую форму имеет меньший кусок? Какую форму имеют грани большего куска?
13. Отрежьте каждый угол равностороннего треугольника до середины его сторон прямой линией. Что осталось?
14. Отрежьте углы тетраэдра плоскостью до середин его сторон. Какая фигура осталась?
15. Вы видите силуэт куба, если смотреть с угла. На что это похоже?
16. Сколько вершин у октаэдра? А граней? А рёбер?
17. Сколько цветов требуется для окраски граней октаэдра, чтобы грани с общим ребром имели разные цвета?
18. Представьте себе ломаную в трёхмерной системе координат, состоящую из отрезков единичной длины, идущих вдоль осей. Пусть эта ломаная идёт ”вверх, вправо, вперёд, вверх, вправо, вперёд, вверх, вправо, вперёд...” и так далее. Как она выглядит, если смотреть с разных сторон?
19. В игре тетрис есть фигуры, чьи формы — это все возможные способы склеивания четырех квадратов по сторонам. Опишите эти формы и найдите их общее количество.
20. Кто–то разрабатывает трехмерный тетрис и хочет использовать все возможные фигуры, образованные склеиванием четырех кубиков. Опишите эти фигуры и найдите их общее количество.
21. Что получится, если разрезать октаэдр плоскостью вдоль граничного квадрата?
22. Представьте систему координат в пространстве. Возьмите 3 точки на каждой оси. Мысленно проведите через каждую точку по три прямые, параллельные осям, и рассмотрите получивишеся 27 точек пересечения. Соедините их ребрами вверх-вниз, влево-вправо и вперед-назад. Можете ли вы найти замкнутый путь, который посещает каждую точку, кроме одной, ровно один раз? А такой, который посещает каждую точку ровно один раз?
23. Сделайте то же самое для набора из 4 × 4 × 4 точек.
24. Какое трехмерное тело имеет круговой профиль, если смотреть сверху, квадратный профиль, если смотреть спереди, и треугольный профиль, если смотреть сбоку? Эти три профиля определяют единственное трехмерное тело?
25. Сколько вершин у додекаэдра? А граней? А рёбер?
26. Найдите путь через ребра додекаэдра, который посещает каждую вершину ровно один раз.

Выдающийся тополог Уильям Тёрстон, которого называют лучшим геометрическим мыслителем за всю историю математики, рассказывал, что всё его мастерство происходит из принятого им на первом курсе решения практиковать подобные упражнения ежедневно.

Источники:

• Дж. Конвей, У. Тёрстон, П. Дойл, Дж. Гилман, "Геометрия и воображение"
• B. Farb, "On being Thurstonized"

Дальнейшее чтение

1. Как понять математику
2. Как читать математические книги
3. Научная работа с высоты птичьего полёта

Если вам понравилась статья, не забудьте поделиться ей с друзьями.

Лаунч Контроль Центр в Telegram, VK и YouTube. Математика — это только начало.