Застосування чисел Фібоначчі - Математика курсовая работа

Главная

Математика
Застосування чисел Фібоначчі

Коротка біографія Леонардо Пізанського (відоміший як Фібоначчі) - найвидатнішого західного математика Середньовіччя. Значення та основні властивості чисел Фібоначчі. Золотий переріз (формула Біне). Застосування чисел та золотої пропорції в різних галузях.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

1.1 Історичні відомості чисел Фібоначчі
1.2 Означення та основні властивості чисел Фібоначчі
Розділ ІІ. Застосування чисел Фібоначчі
2.1 Математичні застосування чисел Фібоначчі
2.1.2 Метод математичної індукції і числа Фібоначчі
2.2 Застосування чисел та золотої пропорції в різних галузях
Актуальність дослідження. В курсовій роботі розглядаються числа послідовності Фібоначчі, а також феномен золотого перерізу, в якому більшість вчених бачать одне з найбільш яскравіших, давно помічених людиною проявів гармонії природи.
Послідовність та числа Фібоначчі дуже широко застосовуються в різних галузях як математичного, так і не математичного світу. Не дивно, що дослідження даного питання інтенсивно продовжувалося і в ХХ столітті. Цьому сприяли нові проблеми комбінаторики, інформатики, які в той час постали перед інтелектуальною елітою суспільства. Дана тема не втрачає своєї актуальності й до наших днів.
В математиці існує багато задач, часто важких і цікавих, які не пов'язані з будь-чиїм ім'ям, а скоріше носять характер свого роду «математичного фольклору». Ці завдання нерідко мають ходіння в декількох варіантах; іноді кілька таких завдань об'єднують в одну, більш складну; іноді, навпаки, одне завдання розпадається на декілька більш простих; словом, часто, виявляється, важко розрізнити, де закінчується одне завдання і починається інше. Найправильніше було б вважати, що в кожній з таких завдань ми маємо справу з маленькими математичними теоріями , що мають свою історію, свою проблематику і свої методи - все це, зрозуміло, тісно пов'язане з історією, проблематикою і методами «великої математики».
Такою теорією є і теорія чисел Фібоначчі. Породжених знаменитою «задачею про кроликів», що має більше семисот п'ятидесятирічну давність, числа Фібоначчі до цих пір залишаються однією з найбільш захоплюючих розділів математики.
Крім того, і це є фундаментальним фактом історії математики нашого часу, істотно змістився центр математичних досліджень в цілому. Зокрема, втратила свої домінуючі позиції теорія чисел і різко підвищилася питома вага екстремальних завдань. У самостійну галузь математики склалася теорія ігор. По суті виникла обчислювальна математика .
Нарешті було встановлено досить велика кількість раніше невідомих властивостей чисел Фібоначчі, а до самих чисел істотно зріс інтерес. Значне число пов'язаних з математикою людей в різних країнах долучилися до благородного хоббі «фібоначчізма ».
Теорія чисел Фібоначчі використовується в багатьох галузях, тому ці числа залишаються актуальною темою в математиці.
Об'єкт дослідження: число Фібоначчі та його вияви у різноманітних сферах людської діяльності.
Предмет дослідження: методологічні основи практичного використання чисел Фібоначчі та «золотої пропорції» у математиці.
Мета дослідження: виявити застосування чисел Фібоначчі
Відповідно до об'єкта, предмета і мети визначено головні завдання дослідження:
? опрацювати наукову літературу з теми даного дослідження;
? розкрити сутність поняття число Фібоначчі, «золотий переріз»;
? знайти практичне застосування чисел Фібоначчі.
Структура та обсяг курсової роботи. Робота складається із вступу, двох розділів, висновків, списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить 34 сторінки.
Італійський купець Леонардо із Пізи (1180-1240), відомий як Фібоначчі, був, безумовно, найбільшим математиком доби Середньовіччя. Роль його книг у розвитку математики надзвичайно велика.
Роки життя Леонардо Пізанського припадають на часи, коли Європа прокидалася від середньовічної сплячки. Це була своєрідна репетиція історії перед бурхливим і яскравим спалахом Ренесансу. (Саме слово «Ренесанс» у перекладі з італійської якраз і означає «Відродження».) Відродження високих моральних і естетичних ідеалів античності значною мірою відбулося завдяки італійському купецтву. Саме через нього налагоджувались тісні ділові і культурні зв'язки з арабським (ісламським) світом, який переживав тоді період розквіту. Прямих зв'язків з Індією та Китаєм ще не було. Але знаменита подорож італійського купця Марко Поло (1254 - 1324) до Китаю, здійснена ним у 1271- 1295 роках, була не за горами. Все це стало передвістям знаменитого італійського гуманізму, який визначив обличчя усієї європейської цивілізації аж до наших днів.
Купцем був і батько Леонардо Пізанського. Його звали Боначчі (що, до речі, означає «добродушний»). Самого ж Леонардо називали Фібоначчі - від filius Bonacci, що дослівно означає «син Боначчі». Під цим прізвищем Леонардо Пізанський і став відомий як учений. Купець Боначчі у свої зарубіжні подорожі брав і сина. Він найняв для нього вчителів-арабів. Завдяки цьому Леонардо отримав прекрасну освіту. Це, зокрема, дозволило йому постійно перемагати на математичних турнірах, що якраз тоді увійшли в моду і на довгі роки стали неодмінним атрибутом культурного життя Італії.
Тогочасні математичні турніри - це прообраз сучасних математичних «боїв», які організовуються для учнів спеціалізованих фізико-математичних шкіл - щось середнє між математичною олімпіадою та КВК. Правда, учасниками турніру були не команди, а лише два суперники, які по черзі пропонували один одному розв'язати математичні задачі.
Саме на цих турнірах і проявилися талант і знання Леонардо, за що він здобув покровительство самого короля. Це сприяло розвитку торгової справи Леонардо, оскільки полегшувало організацію поїздок до Єгипту, Північної Африки, Сирії і Візантії. З іншого боку - забезпечувало йому умови для подальшого зростання як ученого. В чужих країнах Леонардо здобував нові математичні знання. Нарешті, за покровительства Фрідріха ІІ було організовано випуск наукових трактатів Леонардо. І першим серед них стала «Книга абака».
Не дивлячись на свою назву, ця книга присвячена, власне, не абаку, а вміщує відомості практично з усієї тогочасної математики - аж до методів розв'язування різноманітних рівнянь. Слово «абак» тоді часто вживалося як синонім до слова «арифметика». І при розгляді усіх цих питань, з першої сторінки і до останньої, Леонардо систематично використовує нову індійську систему нумерації. Кращого способу пропаганди цієї системи годі було і придумати. Ефективність нового способу числення показана на багатьох прикладах розв'язування математичних задач найрізноманітнішого змісту. Відтоді індійсько-арабські числа по-справжньому стають європейськими. А «Книга абака» - основною вихідною точкою для розвитку європейської математики. По ній і по її компіляціях вивчали математику аж до часів Декарта (ХVII ст.) та Ейлера (XVIII ст.).
Одна із задач з «Книги абака» (рис.1) Леонардо Пізанського здобула особливу популярність у зв'язку з тим, що послідовність чисел, яка з'являється в результаті її розв'язування, має багато цікавих властивостей, а що найголовніше - неймовірним чином проявляється у найрізноманітніших областях як математики, так й інших наук. Зокрема, саме за цією книгою Європа ознайомилася з індуськими (арабськими) цифрами.
На сторінках даного рукопису Фібоначчі наводить задачу. Ось ця задача: «Хтось помітив пару кроликів у певному місці, огородженому з усіх сторін стіною, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться при цьому протягом року, якщо природа кроликів така, що через місяць пара кроликів народжує не світ другу пару, а народжують кролики на другий місяць після свого народження».
Рис. 1. Сторінка «Книги абака» Фібоначчі
Нехай перша пара кроликів є новонародженою. Тоді на 2-ий місяць ми все ще матимемо тільки 1 пару. На 3-ій місяць ця пара дасть перше потомство і, отже, вже буде 2 пари. На четвертий місяць матимемо 2 + 1 = 3 пари (з двох наявних пар потомство дасть лише перша). На п'ятий місяць буде 3 + 2 = 5 пар, на шостий 5 + 3 = 8 (бо потомство дають тільки ті пари, які народилися не пізніше четвертого місяця). і т. д
Ця задача породила найвідомішу з усіх у світі числових послідовностей, яка тоді ще не знала, яку рол відведе їй в історії людства доля. Числа Fn ,що утворюють послідовність 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,... називаються “числами Фібоначчі”, а сама послідовність -послідовністю Фібоначчі. Суть послідовності Фібоначчі в тому, що, починаючи з 1,1, наступне число одержимо складанням двох попередніх чисел.
Людина розподіляє навколишні предмети за формою. Форма, в основі побудови якої знаходяться комбінації симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та виникненню відчуття краси та гармонії. Ціле складається з частини різної величини знаходяться у визначеному співвідношенні один до одної та до цілого. Принцип золотого перерізу - найвищий вияв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі. Золотий переріз -це таке пропорційне ділення відрізку на частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; тобто менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього
З історії астрономії відомо, що І.Тіціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою послідовності Фібоначчі знайшов закономірність та порядок у відстанях нашої сонячної системи.
У 1997 році декілька особливостей ряду описав російський вчений. Він був переконаний, що Природа (так само і Людина) розвивається за законами, які закладен в цій числовій послідовності. Розвиток цивілізації можна визначити за допомогою різних методів у нумерології. Наприклад, за допомогою приведення складних чисел до однозначних. Проводячи подібну процедуру із всіма складними числами ряду Фібоначчі, було отримано такий ряд цих чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 8, 1, 9. Потім все повторюється 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 4, 8, 8,.. і повторюється знову та знову. Цей ряд також має властивості ряду Фібоначчі; кожний нескінчено наступний член дорівнює сумі попередніх. Виявляється, що цей ряд періодичний, з періодом 24 члени, після чого весь порядок цифр повторюється. Одержавши цей період, він запропонував цікаве припущення - чи не є набір із 24 цифр своєрідним цифровим кодом розвитку цивілізації?
Ральф Нельсон Элліотт (американський фінансист) винайшов сміливе рішення. Якщо практично все в нашому світі базується на коефіцієнтах Фібоначчі, то чому б не використати їх в аналізі посування цін на біржах. Вводячи свій підхід, Элліотт навів думку: “Будь-якій людській діяльності притаманні тpивідмінні особливості: фоpма, час та відношення, -і всі вони підпорядковуються послідовності Фібоначчі”.
Послідовність Фібоначчі залишається математичною кабалою до сьогодні, і кожне нове відкриття проливає новий відблиск на магію цих цифр[21, с.33].
1.2 Означення та основні властивості чисел Фібоначчі
Розглянемо наступну числову послідовність:
в якій кожний член рівний сумі двох попередніх членів, тобто при будь-якому n>2.
Такі послідовності, в яких кожен член визначається, як деяка функція попередніх, часто зустрічаються в математиці і називаються рекурентними.
Звернемось тепер до важливого окремого випадку послідовності (1), коли
Умова (2), як було тільки що зазначено, дає нам можливість вираховувати послідовно один за другим всі члени цього ряду. Неважко перевірити, що в цьому випадку першими чотирнадцятьма його членами будуть числа 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, які нам вже зустрічались в задачі про кроликів.
В честь автора цієї задачі вся послідовність (1) при = = 1. називається рядом Фібоначчі, а її члени - числами Фібоначчі.
Розглянемо деякі основні властивості чисел Фібоначчі. Наприклад, квадрат будь-якого члена послідовності дорівнює добутку попереднього і наступного члена, і плюс або мінус один (згідно з хвильової теорії Еліота, якаще називається правилом чергування). Також цікавий факт в тому, що послідовність є частковим випадком зворотної послідовності її характеристичного многочленна тобто
Числова послідовність Фібоначчі має багато цікавих властивостей.
Наприклад, сума двох сусідніх чисел послідовності дає значення наступного після них, що підтверджує існування, так званих, коефіцієнтів Фібоначчі. Існує основний набір фібоначівських коефіцієнтів. Візьмемо для приклада два числа 1.618 і 0.618. Перше представляє собою відношення кожного числа до попереднього. Число 0.618 знаходиться із співвідношення кожного числа до наступного. Також це число представляє собою постійний коефіцієнт золотої середини і золотої спіралі. Всі ці коефіцієнти спостерігаються як в природі так і в пропорційних відношеннях тіла людини.
Будь-яка пара сусідніх чисел ряду Фібоначчі un та un+1 задовольняє одне із рівнянь
При цьому, якщо у = un, то х = un+1.
Сума n перших членів ряду Фібоначчі на 1 менша від (n + 2)-го члена того самого ряду:
Сума квадратів чисел послідовності Фібоначчі визначається через добуток двох сусідніх членів того самого ряду:
Квадрат кожного члена ряду Фібоначчі, зменшений на добуток попереднього і наступного членів, дає поперемінно то +1, то -1:
Властивість чисел Фібоначчі - Нарайани
Здавалося б, що теорію чисел Фібоначчі можна вважати завершеною, якби видатний індійський математик XIV ст. Нарайана не сформулював своєї задачі про корів і теличок, яка викрила нові пристрасті математиків.
Задача Нарайана. Корова щороку приносить теличку. Кожна теличка, починаючи з четвертого току свого життя, на початку року також приносить по теличці. Скільки буде всього голів корів і телят через 20 років
Міркуючи аналогічно, як в числах Фібоначчі, приходимо до числової послідовності
Обчислюючи її члени послідовно, отримаємо, що U20 = 2745. Введемо таке означення.
Означення. Послідовністю Фібоначчі - Нарайани називатимемо послідовність
а члени цієї послідовності - числами Фібоначчі - Нарайани.
Маємо числову послідовність 0, 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, ….
Якщо в послідовності (1) n = 7k + 4, n = 7k + 6, n = 7k, де k = 0, 1, 2, …, то - парне.
На три діляться тільки ті члени ряду (1), порядковій номер яких має вид 8n, 8n - 1 або 8n - 3.
1.3 Золотий переріз ( формула Біне)
Золотий переріз - це найкомфортніша для ока пропорція, форма, в основі побудови якої лежить поєднання симетрії і золотого перетину, сприяє якнайкращому зоровому сприйняттю і появі відчуття краси і гармонії.
У математиці принцип золотого перерізу вперше сформульовано ще в «Началах» Евкліда, найвідомішому математичному творі античної науки, написаному в III столітті до н.е.
Послідовність Фібоначчі - це не просто гра з числами, а найбільш важливе математичне вираження природних явищ з усіх, що колись було відкрито. Гідно подиву, скільки всього можна обчислити за допомогою послідовності Фібоначчі і як її члени проявляються у величезній кількості комбінацій. Приклади, що наведені нижче, подають деякі цікаві застосування цієї математичної послідовності. Дана послідовність асимптотично (наближаючись усе повільніше та повільніше) прямує до деякого постійного співвідношення (відношення члена послідовності до попереднього йому). Однак це одержимо число 0.382. При діленні будь-якого члена послідовності Фібоначчі нанаступний одержимо зворотну до 1.618 величину (1: 1.618=0.618). При діленні кожного числа на наступне за ним через одне, одержимо число 0.382[15, с.22]. Особові назви цьому співвідношенню почали надавати ще до того, коли Лука Пачіолі (сpедньовічний математик) назвав його “Божественною пpопоpцією”. Найого думку, навіть Бог використовував принцип золотого перерізу для створення Всесвіту. Доречі, цю ідею пізніше використав Кеплер (німецький математик, астроном, механік)[10,с.37]. Водночас Леонардо да Вінчі, другом котрого був Пачолі, використовував для композиційної побудови своєї знаменитої Джокондит.зв. «золотий рівнобедрений трикутник», уякому відношення бедра до основи дорівнює золотому перерізу.
Cеред його сучасних назв є такі, як “Золотий переріз” та “відношення обернених квадpатів”. Kеплеp назвав це співвідношення одним із “скарбів геометpії”. В алгебpі загальноприйняте його позначення грецькою літерою фі: Ф=1.618. Тут необхідно відзначити, що Фібоначчі лише нагадав людству це співвідношення, так як воно було відомо ще в давні часи під назвою “Золотий переріз”. Людина розподіляє навколишні предмети за формою. Форма, в основі побудови якої знаходяться комбінації симетрії та золотого перерізу, сприяє найкращому зоровому сприйняттю та виникненню відчуття краси та гармонії. Ціле завжди складається з частин, частини різної величини знаходяться у визначеному співвідношенні один до одної та до цілого.Принцип золотого перерізу - найвищий вияв структурної та функціональної досконалості цілого та його частин у мистецтві, науці, техніці та природі.
Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом 0,618..., якщо cприйняти за одиницю, a = 0,382.. Як ми вже знаємо, числа 0.618 і 0.382 є коефіцієнтами послідовності Фібоначчі. На цій пропорції базуються основні геометричні фігури.
Це рівняння має єдиний додатній розв'язок
Відношення двох відрізків приблизно дорівнює 13:8.
Число(рис.2) деколи називають золотим числом.
Обчислення значення золотого перетину.
Золотий перетин можна обчислити безпосередньо з означення:
Праве рівняння дає a=b. Підставляючи цю рівність у ліву частину:
Помноживши обидві частини на після перестановки отримаємо:
Це квадратне рівняннямає два розв'язки, один з яких є додатнім
Числа Фібоначчі тісно пов'язані з золотим перетином
Формула Біне виражає за допомогоюзначення в явному вигляді як функцію від n:
При цьомуіє коренями квадратного рівняння .
Оскількизнаходимо, що приТому з формули Біне випливає, що для всіх натуральних n, є найближчим доцілим числом, тому
Розділ ІІ. Застосування чисел Фібоначчі
Принципи «золотого перетину» використовуються в математиці, фізиці, біології, астрономії й інших науках, в архітектурі та інших мистецтвах. Вони лежать в основі архітектурних пропорцій багатьох чудових творів, головним чином античності та Відродження.
У кожній науці є, так звані, «Метафізичні» знання, без яких неможливе існування самої науки. Наприклад, якщо виключити з математики поняття натурального та ірраціонального чисел або аксіоми геометрії, математика відразу ж перестане існувати. З таким же правом до розряду «метафізичних» знань може бути віднесено й «золотий перетин», яке вважалося «каноном» античної культури, а потім і епохи Відродження. Однак, як це не парадоксально, в сучасній теоретичній фізиці і математиці «золота пропорція» ніяк не відображена. Нині робляться спроби показати, що «золотий перетин» є однією з найважливіших «метафізичних» ідей, без якої важко уявити подальший розвиток науки, зокрема, теоретичної фізики і математики [16,с.105].
«Золотий переріз» та математика - невід'ємні поняття, які не можуть існувати окремо. Широке поширення отримали так звані «Золоті фігури», мають у своїй основі «золотий перетин».
«Золотий трикутник» - це рівнобедрений трикутник, у якого відношення довжини бічної сторони до довжини основи дорівнює 1.618.
Є й «золотий кубоід» - це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1.618, 1 і 0.618.
В даний час досліджуються математичні теорії пов'язані з принципами «золотого перетину»: нова теорія гіперболічних функцій, нова теорія чисел, нова теорія вимірювання, теорія матриць Фібоначчі і так званих «золотих» матриць, нові комп'ютерні арифметики, нова теорію кодування і нова теорія криптографії. Суть нової науки, у перегляді з точки зору золотого перерізу всієї математики, починаючи з Піфагора, що, природно, спричинить у теорії нові й напевно дуже цікавій.
Задачі, розгляд яких приводить до послідовності чисел, які тісно пов'язані з числами Фібоначчі.
Знайти число, яке ділиться на 7 і дає в залишку одиницю при діленні на 2, 3, 4, 5 і 6;
Знайти число, добуток якого на сім дає залишки 1, 2, 3, 4, 5 при діленні на 2, 3, 4, 5, 6, відповідно;
Знайти квадратне число, яке при збільшенні або зменшенні на 5 давало б квадратне число.
Це переформульована задача про розмноження кроликів, у якій умови є менш штучними. Вона формулюється так:
Нехай деяке дерево росте таким чином, що кожна нова гілка протягом першого року тягнеться догори або в бік, а потім (починаючи з другого року) щорічно дає по одному бічному пагону. Скільки гілок буде на дереві, яке виросте із саджанця без жодного бічного паростка через 1, 2, 3, 4 і т. д. років?
Задача про розміщення листків на гілці.
Якщо листки на гільці сидять поодинці, то вони завжди ростуть навколо стебла не по колу, а по гвинтовій лінії. При цьому для кожного виду рослин характерний свій кут розходження двох сусідніх листків, який, як стверджують ботаніки, буває більш-менш сталий в усіх частинах стебла. Цей кут звичайно подають дробом, що показує, яку частину кола він становить. Так, у липи і у в'яза кут розходження листків дорівнює , у бука - . Скласти послідовність найбільш поширених кутів розходженння (в частинах кола) для рослин, які ростуть у вашій місцевості. Що складають ряд чисельників і ряд знаменників для такої послідовності? Зауважимо, шо такий самий кут у даного виду рослин зберігається і в розміщенні гілок, бруньок, квіток.
Про фарбування будинків у містечку.
Будинки в містечку потрібно пофарбувати так, щоб кожен поверх виявився пофарбованим або в білий, або в блакитний колір. З естетичних міркувань, ніякі два сусідні поверхи не повинні бути пофарбованими в блакитний колір. Скількома способами можна пофарбувати будинки в містечку, дотримуючись вказаних вимог, якщо число їх поверхів визначено? (рис.3)
Усі можливі способи фарбування одно-, дво- та три поверхових будинків подано на малюнку 3. Зрозуміло, що одноповерхові будинки можна пофарбувати лише двома способами, двоповерхові - трьома, триповерхові - п'ятьма способами. Це означає, що із збільшенням кількості поверхів, число способів зростає так: 2, 3, 5...Якщо в містечку є будинки з більшою кількістю поверхів, цей ряд треба продовжити. Далі знаючи скільки в містечку одно-, дво-, три- і т.д. поверхових будинків, неважко отримати розв'язок цієї задачі.
Золота пропорція в геометричних об'єктах
Якщо у пентагоні провести діагоналі, одержимо п'ятикутну зірку, яка називається пентаграмою або пентаколом. (рис.4).
В пентагоні можна знайти велику кількість відношень золотої пропорції.
Наприклад, відношення діагоналі до його сторони. Кожні вісім років планета Венера описує довершено правильний пентакол по великій небесній сфері. Стародавні люди помітили це явище і були так вражені, що Венера та її пентакл стали символами довершеності та красоти.
Відомо, що зірка ледве не стала символом Олімпійських ігор, але в останній момент її модифікували: п'ять гострих кінців зірочки замінили п'ятьма кільцями (рис.5). За переконаннями організаторів кільця краще відображають гармонію ігор. Слово «Пентагон» нам добре відомо у зв'язку з назвою військового відомства США, будівля якого має форму пентагона.
В античному мистецтві широко відомий закон золотої чаші, який використовували скульптори. Заштрихована частина пентагона дає схематичне уявлення золотої чаші.
Геометрія додекаедра та ікосаедра пов'язана із золотою пропорцією. Гранями додекаедра є пентагони, тобто правильні п'ятикутники, які утворені на основі золотої пропорції. Якщо уважно подивитися на ікосаедр, то можна побачити, що в кожній вершині ікосаедра збігаються п'ять трикутників, зовнішні сторони яких утворюють пентагон (рис.7). Цих фактів достатньо, щоб переконатися в тому, що золота пропорція грає суттєву роль в конструкції цих двох платонових тіл.
Золотий перетин виступає у правильній пентаграмі, який вважався магічним символом у багатьох культурах. Точка перетину сторін ділить їх у золотій пропорції. Більша частина сторони також ділиться у золотій пропорції іншою точкою перетину.
Пентаграма містить п'ять гострокутних та п'ять тупокутних золотих трикутників (рис.8). У кожному з них співвідношення довжини довшої та коротшої сторони утворює золотий перетин.
Червоний:Зелений =Зелений:Синій=Синій:Фіолетовий=
Звернемо увагу на пентаграму. Вона викликає зацікавлення багатьох людей. Пентаграма викликала особливе захоплення у піфагорійців і вважалася їх головним розпізнавальним знаком. Будівля військового відомства США має форму пентаграми і отримало назву «Пентагон», що значить правильний п'ятикутник.
Окрім пентагона і пентаграми золоті відношення є і в правильних многогранниках. Правильний многогранник - це такий многогранник, всі грані якого рівні ті є правильними многокутниками. Ще в «Началах» Евкліда доведено, що існує п'ять видів правильних многогранників: тетраедр, гексаедр, додекаедр, ікосаедр.
Інтерес людини до природи призвів до відкриття її фізичних і математичних закономірностей. Краса природних форм народжується у взаємодії двох фізичних сил - тяжіння та інерції. Золота пропорція - це математичний символ цієї взаємодії, оскільки виражає основні моменти живого зростання: стрімкий зліт юних пагонів змінюється уповільненимз ростанням «за інерцією» до моменту цвітіння.
Аналіз сучасних програм освіти в таких країнах, як США, Канада, Росія та Україна, показує, що в більшості з них немає навіть згадки про «золотий перетин». Тобто, має місце свідоме ігнорування одного з найважливіших відкриттів античної математики. Можливо, причину слід шукати в негативному ставленні сучасної «матеріалістичної» науки і «матеріалістичного» освіти до астрології і так званим «езотеричним» наук. У них «золотий перетин» і пов'язані з ним геометричні фігури - «пентаграма», «Платонова тіла», «куб Метатрон» - широко використовуються як основні «сакральних» символів. І «матеріалістичний» освіта не знайшло нічого більш розумного, як викинути золотий перетин на звалище «сумнівних наукових концепцій» разом з астрологією та «езотеричними» науками. У результаті більшість «освічених» людей добре знають «теорему Піфагора», але мають дуже туманне уявлення про «золотий перетин»
2.1.2 Метод математичної індукції і числа Фібоначчі
f1, f2,f3,…,fn,… - числа Фібоначчі.
Довести, що кожне натуральне число дорівнює сумі кількох (можливо одного) різних чисел Фібоначчі.
Для n=1 твердження вірне, оскільки 1 є числом Фібоначчі.
2. Доведемо, що воно виконується і для числа n. Якщо n - число з послідовності Фібоначчі, то твердження справедливе.
Якщо n не є числом Фібоначчі, то позначимо найбільше з чисел Фібоначчі, яке не перевищує n, через fі. Розглянемо різницю n- fі. Оскільки fіЗастосування чисел Фібоначчі курсовая работа. Математика.
Дипломная работа по теме Ответственность за легализацию (отмывание) денежных средств или иного имущества, приобретенных незаконным путем
Доклад по теме Ульянов Михаил Александрович
Контрольная работа по теме Аналіз виробництва та реалізації продукції
Реферат по теме Проблема голода в мире
Особенности Развития Техносферы В Современном Мире Реферат
Контрольная Работа По Теме Квадратные Уравнения
Курсовая работа по теме Малые предприятия. Правовые основы их деятельности
Мини Сочинение На Тему Мой Автопортрет
Сочинение Второй Класс За Обедом
Курсовой Проект Здания
Контрольная работа: Значение профориентационной работы с молодыми инвалидами в профилактике инвалидности и вопросах реабилитации инвалидов
Дипломная работа по теме Совершенствование маркетинговой деятельности организации (на примере ООО 'Варион')
Сочинение Воспитание И Семья Недоросль
Контрольная работа: Страховой рынок России состояние и перспективы
Реферат: Основные законы диалектики
Эссе Дар Мавзуи Точикистон Кишвари Азизи Ман
Оценка Экономической Эффективности Инвестиционного Проекта Курсовая
Реферат по теме Краткий очерк истории Крымского Ханства
Курсовая работа по теме Програмування обчислювальних процедур та розробка креслення деталі із застосуванням системи 'компас-графік'. Розрахунок змієвикового теплообмінника для загального нагріву резервуару
Курсовая работа: Последовательный автономный резонансный инвертор с обратными диодами
Разработка рекомендаций по улучшению положения товара на рынке города - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
Система оснований прекращения обязательств - Государство и право курсовая работа
Организация бухгалтерии предприятия - Бухгалтерский учет и аудит отчет по практике