Задачі з параметрами в курсі математики середньої школи - Математика дипломная работа

Главная

Математика
Задачі з параметрами в курсі математики середньої школи

Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром. Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами. Лінійні та квадратні нерівності. Застосування графічних методів паралельного переносу в розв’язанні задач з параметрами.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ
ДНІПРОПЕТРОВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ЗА ОСВІТНЬО-КВАЛІФІКАЦІЙНИМ РІВНЕМ СПЕЦІАЛІСТА
«Задачі з параметрами в курсі математики середньої школи»
«__»_____________ 2013 р. _________________Тарасенко Ю.В.
РОЗДІЛ 1. РІВНЯННЯ В ЗАДАЧАХ З ПАРАМЕТРАМИ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ'ЯЗАННЯ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ
1.2 Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром 2
1.3 Квадратні рівняння з параметром
1.4 Системи квадратних рівнянь з двома змінними з параметром
1.5 Ірраціональні рівняння з параметрами
1.6 Показникові рівняння з параметрами
1.7 Логарифмічні рівняння з параметрами
1.8 Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами
РОЗДІЛ 2. НЕРІВНОСТІ В ЗАДАЧАХ З ПАРАМЕТРАМИ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ'ЯЗАННЯ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ
2.1 Лінійні та квадратні нерівності з параметром
2.2 Системи лінійних та квадратних нерівностей з двома змінними з параметром
2.3 Ірраціональні нерівності з параметрами
2.4 Показникові нерівності з параметрами
2.5 Логарифмічні нерівності з параметрами
2.6. Тригонометричні нерівності та системи тригонометричних нерівностей з параметрами
РОЗДІЛ 3. ЗАСТОСУВАННЯ ГРАФІЧНИХ МЕТОДІВ РОЗВ'ЯЗАННЯ ЗАДАЧ З ПАРАМЕТРАМИ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ З ВИКОРИСТАННЯМ ПРОГРАМНО-ГРАФІЧНОГО КАЛЬКУЛЯТОРА MICROSOFT MATHEMATICS
3.1 Застосування графічних методів паралельного переносу в розв'язанні задач з параметрами
3.2 Застосування графічних методів повороту в розв'язанні задач з параметрами
3.3 Застосування графічних методів гомотетії в розв'язанні задач з параметрами
3.4 Застосування графічних методів двох прямих на площині в розв'язанні задач з параметрами
РОЗДІЛ 4. ОХОРОНА ПРАЦІ ТА БЕЗПЕКА В НАДЗВИЧАЙНИХ СИТУАЦІЯХ В ЗАГАЛЬНООСВІТНІЙ ШКОЛІ
4.1 Законодавчі основи організації охорони праці в галузі освіти та безпеки життєдіяльності в загальноосвітній школі
4.2 Аналіз стану охорони навчання і праці та безпеки в надзвичайних ситуаціях в приміщенні кабінету математики та інформатики 11 класу
4.3 Обґрунтування заходів щодо покращення санітарно-гігієнічних умов навчання учнів в кабінеті математики та інформатики 11 класу загальноосвітньої школи
4.3.1 Вимоги до штучного освітлення на робочому місці при роботі за комп'ютером
4.3.2 Вимоги до природнього освітлення
4.3.3 Розробка системи штучного освітлення
4.3.4 Практичний розрахунок штучного освітлення
Орієнтація освіти на особистісний розвиток, варіативність школи вимагає переусвідомлення всіх чинників, в тому числі змісту, методів, форм і засобів навчання, від яких залежить якість навчально-виховного процесу. Реалізація цієї мети можлива у збагаченні шкільного курсу математики таким навчальним матеріалом, який міг би забезпечити учню можливість активно залучатися до дослідницької діяльності, у процесі якої в нього відбувалося б формування дослідницьких умінь. Таким матеріалом можуть стати системи задач із параметрами, тобто задачі, в яких умова, хід розв'язку і форма результату залежать від величин, чисельні значення яких не задані конкретно, але повинні вважатися відомими.
Залучення до навчального процесу задач із параметрами дозволяє природно й педагогічно доцільно імітувати повний процес прикладного математичного дослідження або окремих його етапів, що сприяє розвитку в учнів глибокого стійкого інтересу до дослідження. В процесі розв'язування задач із параметрами учні знайомляться з великою кількістю евристичних прийомів загального і спеціального характеру .
У методичній літературі зустрічається ряд робіт, пов'язаних із задачами з параметрами, автори яких В.І.Голубєв, О.М.Гольдман, Г.В.Дорофєєв, М.Я.Ігнатенко, К.С.Кочарова, О.А.Корміхін, В,С,Крамор, В.М.Лейфура, В.К.Марков, С.І.Мещерякова, Г.Ф.Олійник, Н.О.Тарасенкова, І.І.Чучаєв, І.Ф.Шаригін та ін., але анкетування учнів 10х - 11х класів й їх учителів показало, що задачам з параметрами, навіть у класах із поглибленим теоретичним і практичним вивченням математики, не надається належної уваги.
Таким чином, проблема формування й розвитку дослідницьких умінь учнів у процесі розв'язування математичних задач з параметрами є актуальною з точки зору розвитку творчої особистості школярів в умовах впровадження нової парадигми освіти.
Об'єкт дослідження - процес навчання математики учнів загальноосвітніх класів та класів з поглибленим теоретичним і практичним вивченням математики. Предмет дослідження - система задач із параметрами як засіб розвитку дослідницьких умінь учнів і методика навчання їх розв'язуванню. Мета дослідження - розробка системи задач із параметрами й методик їх розв'язання в процесі навчання з метою реалізації розвиваючого навчання, ідей моделювання і прикладної спрямованості курсу математики.
Гіпотеза дослідження - якщо в процесі навчання математики використовувати систему задач із параметрами, яка містить їх як моделі реальних систем і процесів, їх дослідження, а також узагальнення математичних задач і тверджень, реалізуючи при цьому дидактичні і психологічні принципи розвиваючого навчання, то це буде сприяти інтелектуальному розвитку учнів, підвищенню їх інтересу до математики як навчального предмета, розвитку дослідницьких умінь і загального рівня математичної підготовки.
Теоретичне значення дослідження полягає в тому, що:
1) запропонована система задач з параметрами во всіх розділах шкільної програми алгебри; 2) запропоновані аналітичні способи досліджень при розв'язанні рівнянь та нерівностей з параметрами; 3) запропоновані інтерактивні способи графічного розв'язання задач з параметрами з використанням комп'ютерної графіки в системі MICROSOFT MATHEMATICS, встановлена їх ефективність впровадження у плані формування дослідницьких умінь в учнів.
Практичне значення результатів дослідження полягає в тому, що в ньому розроблена методика конструювання і використання в навчальному процесі системи задач з параметрами на основі методології математичного моделювання, запропонована методика сприяє розвитку інтелектуальних і дослідницьких умінь і навичок, оволодінню корисними прийомами евристики та прикладного застосування комп'ютерних систем професійного рівня.
РОЗДІЛ 1. РІВНЯННЯ В ЗАДАЧАХ З ПАРАМЕТРАМИ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ'ЯЗАННЯ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ
Задачі з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення й математичної культури в школярів, але їхнє рішення викликає в них значні утруднення. Це пов'язане з тим, що кожне рівняння з параметрами являє собою цілий клас звичайних рівнянь, для кожного з яких повинне бути отримане рішення. Такі задачі пропонуються на єдиному державному іспиті й на вступних іспитах у вузи [15].
Розв'язування рівнянь з параметрами визначається залежно від допустимих значень параметрів. Параметр - це змінна або постійна величина в рівняння, яка не розглядається як така, що треба знайти, а навпаки, корені рівняння знаходять залежно від цієї величини.
Означення. Рівнянням з параметрами а1, а2, …, аn називаємо рівняння виду:
Значення шуканого невідомого х залежить від значення параметрів.
Значення параметрів при яких вираз має зміст при деяких значеннях х, називають допустимими. Множину всіх допустимих систем значень параметрів рівняння (1.1.1) називають областю зміни параметрів цього рівняння.
Розв'язати рівняння з параметрами означає знайти всі розв'язки цього рівняння для кожної допустимої системи значень параметрів.
Щоб розв'язати рівняння (1.1.1) треба:
визначити область допустимих значень параметрів
розв'язати рівняння (1.1.1) відносно х і подати невідоме х у вигляді функції від параметрів;
з'ясувати, при яких допустимих значеннях параметрів значення функції є розв'язками даного рівняння;
розглянути рівняння (1.1.1) при таких допустимих значеннях параметрів, при яких його не можна розв'язати відносно х і з'ясувати чи має рівняння при цих значеннях параметрів розв'язки і, якщо має, то які.
де х -- невідоме, -- параметри, називають лінійним рівнянням з параметрами.
Якщо , то рівняння (1.1.2) має єдиний розв'язок:
Якщо , то рівняння (1.1.2) має безліч розв'язків.
Якщо то рівняння (1.1.2) не має розв'язків.
Приклад 1.1.1. При якому значенні параметра в рівняння
1. Використовуючи схему дослідження лінійного рівняння, маємо:
Відповідь. При система рівнянь має безліч розв'язків.
Приклад 1.1.2. При якому значенні параметра b рівняння
1. Після перетворення рівняння до виду
Останнє рівняння не має розв'язків якщо
ах - 3 = b залежно від параметрів а і b.
1. Виконавши у рівняння ах-3 = b тотожні перетворення, дістанемо: ах = b+3.
1) якщо а?0, то х = при будь - якому b;
2) якщо а =0, то при b= -3 рівняння набуває вигляду 0х=0, тобто коренями рівняння є всі числа;
3) якщо а=0 і b?-3, дістанемо 0х = b +3 ?0, така рівність неможлива, тому рівняння коренів не має.
Відповідь. при а ?0 і будь - якому b х =;
при а =0 і b = -3 корені рівняння - всі числа;
Приклад 1.1.4. Розв'язати рівняння :
(а-1)(а+1)х - а -1 =0 залежно від а.
1. Запишемо рівняння у вигляді: (а-1)(а+1)х = а+1.
2. Добуток (а-1)(а+1) дорівнює нулю при а =1 або
а = -1, тому розглянемо такі випадки:
1) при а = 1 рівняння набуває вигляду 0х = 2, яке коренів не має;
2) при а = -1 дістанемо рівняння 0х =0, корені якого є всі числа;
при а = -1 корені рівняння - всі числа;
Приклад 1.1.5. Розв'язати рівняння з параметрами .
1. Область допустимих значень невідомого і параметрів х ?0, х ? а. Маємо а - х = bх, (b+1)х = а.
2. Якщо b = -1, а = 0, то рівняння а - х = bх, (b+1)х = а набирає вигляду 0х = 0. Це рівняння справджується для будь - яких значень х, що входять до області допустимих значень.
3. Якщо b = - 1, а ? 0, то рівняння набуває вигляду 0х = а. Коренів немає.
4. Якщо b ? - 1, то рівняння має єдиний розв'язок х = .
Перевіримо, при яких значеннях параметрів а і b утворений корінь задовольняє рівняння.
Виходячи з умови, х ? 0 та а - х ?0, Отже, Звідси а ? 0 та b ? 0.
Висновок: 1. якщо b = -1, а =0, то рівняння має безліч коренів, тобто має смисл при будь - яких дійсних х, крім х = 0, х =а. 2. Якщо b - 1, а ?0, то розв'язків немає. 3. Якщо х ? 0, а ? 0, b ? 0, то х = .
1.2 Системи лінійних рівнянь з двома змінними з параметром
Дослідження та розв'язання систем лінійних рівнянь з двома невідомими та з параметрами складається з етапів встановлення:
- чи є система визначеною тобто має єдиний розв'язок, і при яких умовах;
- чи є система несумісною тобто немає розв'язків, і при яких умовах;
- чи має вона безліч розв'язків і при яких умовах.
Дослідження системи рівнянь в загальному алгебраїчному вигляді здійснюється за наступним алгоритмом:
1. Якщо то система має єдиний розв'язок.
При цьому графіки рівнянь, що входять у систему, мають одну спільну точку, координати якої є розв'язком системи.
2. Якщо то система не має розв'язків.
Графіки рівнянь при цьому є взаємно паралельними прямими.
Якщо то система рівнянь має безліч розв'язків.
Найпоширенішими способами розв'язання системи рівнянь з двома змінними є спосіб підстановки та спосіб додавання.
Спосіб підстановки. Щоб розв'язати систему (1.2.1) способом підстанов-ки, треба:
1) виразити з якого небудь її рівняння одну змінну через другу змінну та коефіцієнти, наприклад із системи (1.2.1):
2) підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної здобутий вираз;
3) розв'язати утворене лінійне рівняння (1.2.3) з однією змінною ;
4) знайти відповідне значення (1.2.1) другої змінної .
Приклад 1.2.1. При якому значенні параметра а система має безліч розв'язків?
1. Система має безліч розв'язків, якщо
Приклад 1.2.2. При яких значеннях а система не має розв'язків?
4. Підставимо в останній вираз замість а значення дістанемо
5. Якщо то система немає розв'язків.
Приклад 1.2.3. При яких значеннях система рівнянь має розв'язки ?
2. Розв'язуючи систему рівнянь, матимемо
4. Оскільки , то остання система рівносильна системі:
Приклад 1.2.4.Знайдіть значення параметра а, при якому система не має розв'язків.
Щоб система не мала розв'язків, потрібно, щоб виконувалися умови
Приклад 1.2.5. Знайдіть значення параметра а, при якому система рівнянь
, має нескінченну кількість розв'язків.
Система має нескінченну кількість розв'язків тоді, коли виконуються умови
Приклад 1.2.6. Знайдіть значення параметрів а і b, при яких система рівнянь
Система має безліч розв'язків, якщо
Приклад 1.2.7. Знайдіть значення параметра а, при яких розв'язки системи рівнянь , задовольняють умови:
Додавши почленно рівняння системи, дістанемо 4, х = . Здобутий вираз підставимо в друге рівняння системи: ,
З'ясуємо, при яких значеннях параметра розв'язки системи задовольняють умову
Для цього розв'яжемо систему нерівностей
1.3 Квадратні рівняння з параметром
Рівняння виду де -- шукане невідоме, -- параметри, називається квадратним рівнянням з параметрами.
Корені квадратного рівняння знаходимо за формулою:
Якщо то рівняння має 2 дійсні корені.
Якщо , то рівняння має єдиний корінь.
Якщо , то рівняння не має дійсних коренів.
Для коренів і квадратного рівняння виконуються наступні теореми, для чого розглянемо деякі властивості квадратного тричлена. Виділяючи повний квадрат, дістанемо формулу:
із якої маємо, що графік квадратичної функції отримується із графіка функції за допомогою 2-х паралельних переносів -- зсуву на вимогу вздовж осі ох і зсуву на величину вздовж осі оу.
Тому координати визначаються параметром
Теорема (Вієта). Між коренями і квадратного рівняння існують співвідношення:
Теорема. Для того щоб корені квадратного рівняння мали однакові знаки, необхідно і достатньо виконання співвідношень:
при цьому обидва корені будуть додатні, якщо додатково виконується умова
і обидва кореня будуть від'ємні, якщо
Теорема. Для того щоб корені квадратного рівняння мали різні знаки, необхідно і достатньо щоб виконувалися співвідношення
Наведемо також теореми про розташування коренів квадратного рівняння.
Теорема. Нехай числа і корені квадратного рівняння де і дані деякі точки і на осі
1. Обидва корені менше числа , тобто
2. Корені лежать по різні боки від числа тобто
3. Обидва корені більше числа , тобто і тоді і тільки тоді, коли
4. Обидва кореня між точками і тобто
5. Корені рівняння лежать по різні боки відрізка , тобто тоді і тільки тоді
Приклад 1.3.1. При яких значеннях а число 2 знаходиться між коренями рівняння ?
1. Нехай і -- корені квадратного рівняння причому Формалізуючи умови задачі, дістанемо
2. Якщо розв'язувати цю систему рівнянь, то будемо мати значні труднощі.
Приклад 1.3.2. При якому значенні параметра в рівняння має єдиний розв'язок?
1. Спочатку перетворюємо рівняння до виду
2. Це рівняння має єдиний розв'язок, якщо його дискримінант дорівнює нулю, тобто
Приклад 1.3.3. Обчислити суму цілих значень параметра а при яких рівняння має два різні дійсні корені.
1. Рівняння має два різні дійсні корені якщо
2. Далі знаходимо суму цілих значень параметра а:
Приклад 1.3.4. Визначити найбільше ціле значення параметра а, при якому рівняння має два різні розв'язки.
1. Введемо заміну (наочно, що ) і залишимо рівняння у виді:
2. Це рівняння має два розв'язки, якщо тобто . Звідци
Приклад 1.3.5. Знайти кількість цілих значень параметра при яких сума розв'язків рівняння належить проміжку ?
3. Параметр набуває наступних цілих значень: 9, 10, 11, 12, 13.
Тоді після зведення до спільного знаменника рівняння набуває вигляду
або на області допустимих значень невідомого та параметра
2. Знайдемо дискримінант цього рівняння
Приклад 1.3.7. Розв'язати рівняння а(а+1)х2- (2а2-1)х+ а(а-1)=0.
1. Дане рівняння при а=0 і а=-1 є лінійним і має відповідно вид: х=0; -х+2=0. Отже при а=0, х=0; при а=-1, х=2.
2. Нехай а?0 і а ? - 1. Тоді, рівняння є квадратним, знайдемо його дискримінант.
Відповідь: Коли а=0, х=0; коли а=-1, х=2; коли а?0, а ? - 1,
Приклад 1.3.11. Знайти всі значення а, для яких один корінь рівняння
2ах2 - 2х - 3а - 2 =0 більше 1, а другий менше 1.
1. Для того щоб корені рівняння задовольняли умову задачі потрібно, щоб виконувалася умова:
Приклад 1.3.8. Розв'яжіть рівняння .
Розв'язання. Многочлен додатний при будь-якому значенні . Отже, вихідне рівняння рівносильне рівнянню або рівнянню .
1.4 Системи квадратних рівнянь з двома змінними з параметром
Враховуючи, що кожне окреме лінійне рівняння з двома змінними має безліч розв'язків, розв”язком системи квадратних та лінійних рівнянь назива-ється спільний розв'язок усіх її рівнянь. Тобто розв'язати систему квадратного та лінійного рівнянь з двома змінними:
- при заданих коефіцієнтах - це знайти множину значень (), які задовольняють кожному рівнянню.
Найпоширенішими способами розв'язання системи рівнянь з двома змінними є спосіб підстановки та спосіб додавання.
Спосіб підстановки. Щоб розв'язати систему (1.4.1) способом підстанов-ки, треба:
1) виразити з якого небудь її рівняння одну змінну через другу змінну та коефіцієнти, наприклад із системи (1.4.1):
2) підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної здобутий вираз;
3) розв'язати утворене квадратне рівняння (1.4.3) з однією змінною ;
4) знайти відповідне значення (1.4.2) другої змінної .
Спосіб додавання.При вирішенні системи рівнянь способом додавання:
1) Виконуємо рівносильними перетвореннями зрівнювання коефіцієнтів перед однією парою однакових змінних в першому та другому рівнянні;
Для цього перше рівняння (праву і ліву частину) домножуємо на , друге рівняння (праву і ліву частину) на .
Отримуємо рівносильну систему з рівними коефіцієнтами з різними знаками перед змінною :
2) Додаючи одне рівняння від другого по частинам, отримуємо рівняння з однією змінною, яке вирішуємо.
3) підставляючи отримане значення в одне з рівнянь системи (1.4.4), отримуємо рівняння з однією змінною, яке вирішуємо, таким чином знаходячи розв'язок системи.
Приклад 1.4.1. При яких значеннях параметра система:
1. Підставивши вирази для з першого рівняння системи (1.4.8) в друге, одержимо
2. а) Якщо , то рівняння (1.4.9) не має розв'язків.
б) Якщо , то рівняння (1.4.9), а отже і система (1.4.8) має більше одного розв'язку.
в) Якщо , то має розв'язок тільки при
Приклад 1.4.2. При яких значеннях параметрів та система:
1. Перепишемо перше рівняння системи (1.4.10) у вигляді
2. Тоді початкова система (1.4.10) рівносильна сукупності наступних двох систем:
Кожна з цих систем може мати або не більше двох, або нескінченну множину розв'язків, тому система має не менше п'яти розв'язків у тому і тільки в тому випадку, коли хоча б одна з систем рівнянь (1.4.12а) чи (1.4.12б) має нескінченну множину розв'язків.
3. Виразивши з першого рівняння системи (1.4.12а) змінну і підставив-ши її у друге рівняння цієї системи, отримаємо:
4. При розв'язком рівняння (1.4.13) є будь-яке . При рівняння (1.4.13) має не більше двох розв'язків.
5. Виразивши з першого рівняння системи (1.4.12б) змінну і підставив-ши її у друге рівняння цієї системи, отримаємо:
звідки випливає, що при та , система (1.4.14) має нескінчен-ну множину розв'язків.
Відповідь: система має більше 5 розв'язків при:
Приклад 1.4.3. При яких значеннях параметра система:
1. Нехай - шукане значення параметра, а пара чисел () - розв'язки системи. Легко встановити, що пари чисел () , (),(), також будуть розв'язками системи (1.4.15).
2. Розв'язки (),() також різні, оскільки в противному разі , але тоді пара чисел () не задовольняє друге рівняння системи.
3. Розв'язки (),() також різні, оскільки в противному разі , але тоді пара чисел () не задовольняє друге рівняння системи.
4. За умовою, система має два розв'язки, отже розв'язки (),() повинні збігатися, тобто повинна виконуватись рівність .
5. Підставивши замість у друге рівняння системи, отримуємо рівняння:
6. Отже, якщо при данному а пара () - розв'язок початкової системи, то . В обох випадках, підставивши () у перше рівняння системи, одержимо:
7. Таким чином, якщо - шукане значення параметра, то воно може приймати значення тільки .
8. При початкова система рівнянь набуде вигляду:
9. Помножимо перше рівняння системи (1.4.16) на 2 і віднімемо результат від другого рівняння системи (1.4.16). Одержимо систему:
10. Система (1.4.17) у свою чергу рівносильна системі:
яка має 2 розв'язки ( та (. Отже значення параметра
і тільки це значення задовольняє умові задачі.
1.5 Ірраціональні рівняння з параметрами
Рівняння називається ірраціональним, якщо невідоме входить під знаком чи радикала невідоме зводиться в ступінь із дробовим показником. Рішення ірраціонального рівняння зводиться до звільнення від ірраціональності і рішенню отриманого рівняння. При зведенні рівняння в ступінь можуть з'явитися сторонні корені. Тому необхідно робити перевірку, чи є знайдені корені рішеннями вихідного рівняння. Основним методом рішення ірраціональних рівнянь є зведення обох частин рівняння в ступінь. Основними способами рішення ірраціональних рівнянь є наступні:
Знаходимо ОДЗ з умов того, що підкореневе вираження вираження задовольняє умові . При рішенні ірраціонального рівняння перевіряємо, чи входять знайдені корені в ОДЗ.
Заміна підкореневого вираження спрощує зведення ірраціонального рівняння до раціонального.
При рішенні ірраціональних рівнянь часто використовують прийом виділення повного квадрата.
6. Зведення до однорідних ірраціональних рівнянь
називається однорідним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною
8. Рівняння з кубічними ірраціональностями
Розглянемо ірраціональні рівняння виду
Зведемо обидві частини рівняння в куб
Використаємо для спрощення рівняння (3)
Зведемо обидві частини рівняння в куб
Якщо рівняння (3) маємо корінь, те він є коренем рівняння (4). Однак рівняння (4) може мати корінь, який не є коренем рівняння (3).
Це рівняння відрізняється від рівняння (30, яку можна записати у виді . Якщо рівняння (4) має зайві корені, те смороду є коренями рівнянь
Якщо при рішенні рівняння (4) з'явилися зайві корені, то вони задовольняють системі рівнянь (5).
9. Заміна радикалів новими невідомими
Основним способом рішення складних ірраціональних рівнянь є заміна кожного радикала новим невідомої. Це дозволяє звести ірраціональне рівняння до системи алгебраїчних рівнянь.
Приклад 1.5.1. Розв'язати відносно х рівняння:
2. Нехай , тоді рівняння набуде вигляду . Таким чином - будь-яке невід'ємне число.
3. Нехай , тоді рівняння набуде вигляду . Як видно, це рівняння не має рішення.
Приклад 1.5.2. Розв'язати відносно х рівняння:
1. Піднявши обидві частини рівняння (1.5.1) до квадрата, одержуємо:
2. Нехай , тоді рівняння (1.5.3) набуде вигляду , тобто воно не має розв'язків.
3. Нехай , тоді рівняння (1.5.3) набуде вигляду
4. Для перевірки підставимо отриманий вираз (1.5.4) у ліву і праву частину рівняння (1.5.1):
5. Звідси випливає, що є коренем рівняння (1.5.1) при і при . При - розв'язків немає.
Приклад 1.5.3. Залежно від значення параметра а розв'язати відносно х рівняння:
1. Приймемо заміну , де . Тоді і рівняння (1.5.5) набуде вигляду
2. Рівняння (1.5.6) рівносильне системі рівнянь
3. Розв'язавши перше рівняння системи (1.5.7), отримуємо:
4. Система (1.5.7) буде мати розв'язки у наступних трьох випадках:
з якої випливає, що . При таких значеннях параметра а одержуємо два корені:
7. Випадок в) можливий, коли виконуються умови:
Розв'язавши систему (1.5.8), знаходимо, що при , одержуємо один корінь:
1.6 Показникові рівняння з параметрами
Приведемо деякі властивості показників функції , які застосовуються при рішенні рівнянь з параметрами:
При показова функція зростає при всіх значеннях х, при показова функція убуває при всіх значеннях х (Рис. 1.6.1).
Приклад 1.6.1. Знайдемо значення параметра n, при яких рівняння
15·10 х - 20 = n - n · 10х + 1 не має коренів?
Розв'язок: 1. перетворимо задане рівняння:
2. Рівняння (1.6.1) не буде мати рішень при ? 0, оскільки 10 х завжди позитивно.
3. Вирішуючи зазначену нерівність методом інтервалів, маємо:
Приклад 1.6.2. Указати найбільше ціле значення параметра а, при якому корінь рівняння 4х2 - 2х + а = 0 належить проміжку (- 1; 1).
Розв'язок: 1. Корені заданого рівняння рівні:
3. Рішенням, що задовольняють зазначеним подвійним нерівностям, буде рішення подвійної нерівності: - 3 < < 3.
4. Нерівність - 3 < виконується при всіх а ? , нерівність < 3 - при - 2 < а ? . Таким чином, припустимі значення параметра а лежать в інтервалі (-2; .
Найбільше ціле значення параметра а із цього інтервалу, що одночасно належить і проміжку (-1; 1), дорівнює 0.
Приклад 1.6.3. Указати значення параметра а, при якому рівняння
х4 + (1 - 2а)х2 + а2 - 4 = 0 має три різних корені.
Розв'язок: 1. Усяке біквадратне рівняння в загальному випадку має дві пари корінів, при чому корні однієї пари різняться тільки знаком. Три корені можливі у випадку, якщо рівняння має одну пару у вигляді нуля.
Одна з пар корінів буде дорівнює 0, якщо (2а-1) = . Вирішуючи це рівняння за умови 2а-1 > 0 > , маємо: (2а - 1) = (2а - 1)2 = 17 - 4а
1.7 Логарифмічні рівняння з параметрами
Визначення. Логарифм числа b по заснуванню а називається степінь, в яку потрібно звести до основи а, щоб отримати число b
При визначенні логарифма (1.7.0) приймають наступні обмеження на ОДЗ параметрів - .
Логарифмічна функція є функція зворотна до показової функції .
При логарифмічна функція зростає при , при логарифмічна функція убуває при (Рис. 1.7.1).
Приклад 1.7.1. Знайти всі значення а, при яких рівняння
Має два розв'язки. У відповіді вказати найбільше ціле значення а.
1. Рівняння (1.7.1) за визначення логарифма має зміст, якщо та , тобто якщо
2. Із рівності логарифмів в рівнянні (1.7.1) випливає, що
3. Отримане квадратне рівняння має два розв'язки, якщо дискримінант , звідки .
4. Враховуючи ОДЗ, знаходимо, що дане рішення має наступні розв'язки в проміжках, якщо
Відповідь: Найбільше ціле значення а=-2.
Приклад 1.7.2. Знайти всі значення а, при яких рівняння
1. Зрозуміло, що ОДЗ даного рівняння визначається системою нерівностей .
2. Отже рівняння (1.7.3) має єдиний корінь тільки тоді, коли система
робимо висновок, що воно має розв'язок при додатному дискримінанті
тобто, якщо або . При виконанні цих умов рівняння має два корені
б) при із системи коренів по теоремі Вієтта
Випливає, що обидва корені рівняння (1.7.5) -від'ємні.
Для коренів виконуються наступні нерівності:
тому при система (1.7.4), а отже і рівняння (1.7.3) мають єдиний розв'язок .
При система (1.7.4) має тільки один розв'язок .
випливає, що обидва корені рівняння (1.7.5) додатні, тобто система (1.7.4), а з ним і система (1.7.3) мають два розв'язки.
Отже, рівняння (1.7.3) має єдиний розв'язок, якщо або .
Приклад 1.7.3. Розв'язати відносно рівняння
1. Рівняння (1.7.6) має зміст при - це область визначення данного логарифмічного рівняння.
2. У визначеній області рівняння (1.7.6) рівносильне наступному:
3. Користуючись означенням логарифма, від рівняння (1.7.7) перйдемо до рівносильного рівняння
4. Розглянемо два випадки: а) ; б) .
а) нехай , тоді рівняння (1.7.8) набуде вигляду
Зауважуємо, що обидва отримані корені задовольняють умові .
б) Нехай , тоді рівняння (1.7.8) набуде вигляду
При цьому корінь не задовольняє умові , а корінь при.
Відповідь: 1. якщо , то три корені , ,
Приклад 1.7.4. Знайти всі значення , що задовольняють рівняння
при будь-яких значеннях параметра а.
1. Оскільки рівняння (1.7.9) повинне мати розв'язок при будь-яких значеннях параметра , то воно буде мати розв'язок і при .
2. При такому значенні рівняння (1.7.9) набуде вигляду
3. Рівняння (1.7.10) має зміст, якщо виконується умова . За цієї умови маємо
4. Спростивши рівняння (1.7.11), отримуємо рівняння
5. Ці два значення дають потрібні умови існування розв'язків рівняння (1.7.9) при всіх значеннях параметра .
6. Підставивши значення у рівняння (1.7.9), отримуємо співвідношення
Тобто якщо . Таким чином, у даному випадку рівняння (1.7.9) задовольняється не при будь-яких значеннях , що суперечить вимозі задачі.
7. Якщо ж , то рівняння (1.7.9) стає правильною рівністю
1.8 Тригонометричні рівняння та системи тригонометричних рівнянь з параметрами
При розв'язанні тригонометричних рівнянь з параметрами застосовують основні тригонометричні тотожності та основні властивості тригонометричних перетворень взаємопов'язаних тригонометричних функцій.
Вкажемо застосовуємі вісім основних груп формул тригонометрії:
1. Основні співвідношення між тригонометричними функціями того самого аргументу:
3. Формули подвійного і потрійного аргументів:
5. Формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму:
6. Формули перетворення суми і різниці однойменних тригонометричних функцій:
7. Формули, які дають раціональний вираз тригонометричних функцій через тангенс половинного аргументу:
8. Формули тригонометричних функцій половинного аргументу:
Знак перед радикалом в останніх трьох формулах залежить від того , в'якій кординатній чверті знаходиться кут .
Крім основних формул тригонометрії, при розвязуванні прикладів часто використовують метод введення допоміжного кута для виразів виду
Цей вираз можна перетворити у добуток у такий спосіб:
Розглянемо розв' язання найпростіших тригонометричних рівнянь з параметрами.
Оскільки, то рівняння має розв'язки тільки при . Корені рівняння можна розглядати як абсциси точок перетину синусоїди з прямою (рис. 1.8.1)
Нехай .Тоді при и - точки перетину синусоїди і прямої . Абсциси цих точок мають координати і . Враховуючи періодичність функції , дістанемо дві серії (дві множини) розв'яків:
Серії(групи) коренів і можна показати однією формулою
Дійсно, якщо (серія коренів ); якщо ( серія коренів ).
Можна довести, що формула що дає розв'язок рівняння , лишається справедливою і для ,а також для ,, тобто вона справедлива для Однак при цією формулою користуватися недоцільно.
Зазначимо , що для запису розв'язків тригонометричних рівнянь часто використовують символіку з теорії множин. Наприкла, множина розв'язків рівняння можна записати у вигляді .
Оскільки, то рівняння має розв'язки тільки при . Використовуючи рис.1.8.2, і провівши міркування, аналогічно при розв'язанні рівняння , остаточно дістаємо:
Відповідні геометричні ілюстрації наведені на рис. 1.8.2.

Задачі з параметрами в курсі математики середньої школи дипломная работа. Математика.
Курсовая работа по теме Изучение проблем и структуры безработицы в Российской Федерации, Республике Бурятии и в федеральных округах
Рефераты По Терапии Для Врачей Скачать Бесплатно
Реферат: Молочная промышленность
Реферат На Тему Сертификация В Управлении Качеством
Мини Сочинение По Спящей Царевне
Курсовая Работа На Тему Договір Дарування Та Пожертви
Доклад: Метод решения уравнений Ньютона - Рафсона
Реферат: Джон Ланкастерский, герцог Бедфорд
Курсовая Работа Титульный Лист Мгуту
Сочинение По Произведению Пушкина 5 Класс
Курсовая Работа На Тему Нестаціонарні Задачі Теплопровідності В Напівобмежених Багатошарових Ортотропних Клиновидних Циліндрично-Кругових Областях
Реферат по теме Организация международных грузовых автомобильных перевозок
Курсовая работа по теме Сучасний стан існування видів в природних та напівприродних умовах мішаних лісів Овруцького спецлісгоспу
Курсовая работа по теме Взаимодействие права и религии
Реферат: Влияние физических факторов на здоровье человека
Контрольная работа: Экономика туризма
Реферат: Things Fall Apart An Analysis Essay Research
Культурный Город Москва Реферат
Реферат: Магистральный транспорт газа
Практика По Юридическому Консультированию Отчет Пример Синергия
Правовые аспекты усыновления - Государство и право контрольная работа
Специфика социальных PR-проектов в регионе - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
Кабінет Міністрів України - Государство и право реферат