Вид однородного дифференциального уравнения
Вид однородного дифференциального уравненияСкачать файл - Вид однородного дифференциального уравнения
Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями. Например, функция - однородная функция первого измерения, так как. Замена приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Заменяя z на , получим. Найти общее решение уравнения. Его можно представить в виде и решать так же, как и представленное выше. Но используем другую форму записи. Подставляя эти выражения в исходное уравнение, будем иметь. Если , то уравнение 4. Здесь — свободный член, называемый также правой частью уравнения. В этом виде будем рассматривать линейное уравнение в дальнейшем. В линейном однородном уравнении переменные разделяются. Переписав его в виде откуда и интегрируя, получаем: При делении на теряем решение. Однако оно может быть включено в найденное семейство решений 4. Существует несколько методов решения уравнения 4. Согласно методу Бернулли , решение ищется в виде произведения двух функций от х:. Одна из этих функций может быть выбрана произвольно, так как лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению, другая определяется на основании уравнения 4. Дифференцируя обе части равенства 4. Подставляя полученное выражение производной , а также значение у в уравнение 4. Так как одну из неизвестных функций можем выбрать произвольно, выберем функцию u так, чтобы. Ввиду произвольности в выборе v , мы можем не учитывать произвольную постоянную С точнее — можем приравнять её нулю. Подставляя найденное значение v x в уравнение 4. Здесь C писать обязательно, иначе получится не общее, а частное решение. Таким образом, видим, что в результате используемой подстановки 4. Подставляя и v x в формулу 4. Приравняем нулю коэффициент при: Следовательно, общее решение исходного уравнения. Произвольно выбирая функцию u , а не v , мы могли полагать. Этот путь решения отличается от рассмотренного только заменой v на u и, следовательно, u на v , так что окончательное значение у оказывается тем же самым. На основании изложенного выше получаем алгоритм решения линейного дифференциального уравнения первого порядка. Приводим рассматриваемое уравнение к виду. Используя подстановку , находим и подставляем эти выражения в уравнение. Группируем члены уравнения, выносим одну из функций u или v за скобки. Находим вторую функцию, приравняв выражение в скобках нулю и решив полученное уравнение. Подставляем найденную функцию в оставшееся выражение и находим вторую функцию. Записываем общее решение, подставив выражения для найденных функций u и v в равенство. Если требуется найти частное решение, то определяем С из начальных условий и подставляем в общее решение. Отметим далее, что иногда уравнение первого порядка становится линейным, если у считать независимой переменной, а x — зависимой, то есть поменять роли x и y. Это можно сделать при условии, что x и dx входят в уравнение линейно. Однако если рассматривать x как функцию от у , то, учитывая, что ,его можно привести к виду. Заменив на ,получим или. Разделив обе части последнего уравнения на произведение ydy , приведем его к виду. Это линейное уравнение относительно x. Выберем vтак, чтобы , , откуда ;. Далее имеем , ,. Отметим, что в уравнение 4. Отсюда ; ; ; где. Освобождаясь от логарифма, получаем общее решение уравнения. Применим далее для интегрирования неоднородного линейного уравнения 4. Сначала интегрируем соответствующее однородное уравнение 4. Как указано выше, его решение имеет вид 4. Будем считать сомножитель С в 4. Подставляя производную в исходное неоднородное уравнение 4. Отметим, что согласно 4. При решении конкретных уравнений следует повторять приведённые выше выкладки, а не использовать громоздкую формулу 4. Применим метод Лагранжа к уравнению, рассмотренному в примере 1: Интегрируем соответствующее однородное уравнение. Разделяя переменные, получаем и далее. Подставив это выражение в заданное уравнение, получим ; ; ,. Общее решение исходного уравнения имеет вид. Заменой оно приводится к линейному уравнению:. Найти общее решения уравнения. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Московский государственный университет дизайна и технологии. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями. Функция f X,y называется однородной функцией n-ого измерения n-ой степени относительно переменных X и y,если при любом t справедливо тождество. Возможна следующая форма записи уравнения 3. Интегрируем почленно это уравнение , откуда то есть. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид , 4. Согласно методу Бернулли , решение ищется в виде произведения двух функций от х: По виду это уравнение не является линейным относительно функции у. Однако если рассматривать x как функцию от у , то, учитывая, что ,его можно привести к виду 4. Разделив обе части последнего уравнения на произведение ydy , приведем его к виду , или. Освобождаясь от логарифма, получаем общее решение уравнения здесь. В заключение отметим, что к линейному уравнению приводится уравнение Бернулли , 4. Уравнения Бернулли также решаются изложенными выше методами.
Коллективный договор ооо образец
Павловск спб расписание электричек
Маршрут поезда ижевск адлер на карте
Бобренев монастырь коломна официальный сайт расписание богослужений
Племяннику стихи красивыеот тети