Теоретический анализ свойств и признаков нильпотентных групп - Математика курсовая работа
Главная
Математика
Теоретический анализ свойств и признаков нильпотентных групп
Понятие, истоки, систематизация и развитие теории групп. Множество как совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое. Нильпотентные группы - непустые множества, замкнутые относительно бинарной алгебраической операции, их свойства и признаки.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Брянский государственный университет
Теоретический анализ свойств и признаков нильпотентных групп
Понятие группы послужило во многих отношениях образцом при перестройке математики на рубеже 19-20 вв. Истоки понятия группы обнаруживаются во многих дисциплинах. Галуа (1830) принадлежат многие достижения собственно в теории групп: открытие роли так называемых нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных групп степени n; он же ввел термин «группа» (le groupe), хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории групп сыграл трактат К. Жордана (1870) о группах подстановок. А. Кэли (1854 и далее), он явно пользовался термином «группа», систематически использовал таблицы умножения, ныне называемые таблицами Кэли, доказал представимость всякой конечной группы подстановками.
Еще один источник понятия группы - теория чисел. Уже Л. Эйлер (1761), изучая «вычеты, остающиеся при делении степеней», по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение группы на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в «Арифметических исследованиях» (1801), занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая «композицию двоичных квадратичных форм», К. Гаусс, по существу, доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу.
Осознание в конце 19 века принципиального единства теоретико-групповых идей, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия групп. (С. Ли, Г. Фробениус и др.). Уже в 1895 С. Ли определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции. Изучение групп без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О.Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» (1916).
В своей работе я рассматриваю нильпотентные группы, их простейшие свойства и признаки.
- знак строгого включения множеств;
- принадлежность элемента множеству;
- множество всех для которых выполняется условие ;
- является собственной подгруппой группы ;
- является максимальной подгруппой группы ;
- является нормальной подгруппой группы ;
- является минимальной нормальной подгруппой группы ;
Скобки < > применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
- множество всех простых делителей порядка группы ;
- централизатор множества в группе ;
- нормализатор подмножества в группе ;
- факторгруппа группы по подгруппе ;
- прямое произведение подгрупп A и B;
Определение 1. Под множеством понимают совокупность объектов, рассматриваемых как единое целое.
Определение 2. Пусть А и В - множества. Если каждый элемент множества А принадлежит множеству В, то множество А называется подмножеством множества В.
Определение 3. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение .
Определение 4. Группой называется непустое множество G, замкнутое относительно бинарной алгебраической операции «?», если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):
1) операция «?» ассоциативна на G ,т. е. а?(b?c) = (a?b)?c для любых a, b, c?G.
2) в G существует нейтральный элемент относительно операции «?», т. е. ?e?G : a?e=e?a=a, для любого a?G.
3) в G для любого элемента существует симметричный ему элемент, т. е. для любого a?G ?a'?G : a?a'=a'?a=e.
Определение 5. Группа G относительно операции «?» называется абелевой, если операция «?» коммутативна на G, то есть a?b=b?a для любых a, b?G.
Определение 6. Группа относительно операции умножения называется мультипликативной.
Определение 7. Группа G называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.
Определение 8. Порядком конечной группы G называется число элементов группы G.
Определение 9. Пусть , - группы. Взаимно однозначное отображение G на G 1 называется изоморфизмом, если ц(a?b)=ц(a)?ц(b) для любых a, b?G.
Определение 10. Группы G и G 1 называются изоморфными, если существует изоморфизм группы G на группу G 1 .
Определение 11. Непустое подмножество М группы G называется подгруппой группы G, если М является группой относительно той же операции, что и группа G, и обозначается М?G.
Определение 12. Пусть G - группа, и - ее подгруппы. Если , то говорят, что группа G является произведением своих подгрупп и . В этом случае каждый элемент представим в виде , где . Произведение называется прямым, если подгруппы и нормальны в и .
Определение 13. Собственной называется подгруппа, отличная от группы.
Определение 14. Подгруппой группы G, порожденной множеством MG, называется пересечение всех подгрупп группы G, содержащих множество M.
Определение 15. Подгруппа группы называется максимальной подгруппой группы , если MТеоретический анализ свойств и признаков нильпотентных групп курсовая работа. Математика.
Курсовая работа по теме Технология изготовления кухонного гарнитура
Курсовая работа по теме Влияние занятий лечебной гимнастикой на функциональное состояние пациентов с бронхиальной астмой
Доклад по теме Становление научающейся организации
Реферат по теме Преимущества работы на фондовой бирже без посредников
Реферат На Белорусском Языке
Писать Дневник По Практике Медсестры 3 Курс
Контрольная работа: Порядок исчисления и уплаты транспортного налога
Эссе На Тему Не Знаю
Курсовая работа по теме Анализ формирования доходной части федерального бюджета за счет НДС
Переломов Костей Реферат
Курсовая работа по теме Вскрытие рубца при тимпании у крупного рогатого скота
Реферат: Вопрос передачи земли в частную собственность
Курсовая Работа На Тему Налоги И Их Исчисление
Курсовая работа: Реклама на транспорте. Особенности разработки рекламной кампании
Реферат На Тему Антивірусна Програма "Kaspersky Аntivirus Personal 5.0"
Дипломная работа по теме Психологическая совместимость в супружеских парах
Детская Одежда Курсовая Работа
Реферат: Destiny And Fate Essay Research Paper Destiny
Сочинение Моя Школа На Английском С Переводом
Мой Самый Счастливый День Сочинение 3 Класс
Поверхностные интегралы - Математика курсовая работа
Свадебная обрядность у бурят - Краеведение и этнография реферат
Этническая идентичность: факторы и механизмы этнической идентификации в условиях полиэтничного региона - Краеведение и этнография магистерская работа