ТО-КАНОНЫ
sergey shishkinИСХОДНЫЙ ЯЗЫК И ЯЗЫК РАСШИРЕННЫЙ
Выражения «исходный язык», «расширенный язык», «канонический язык» часто встречаются в работах по математической логике, теории множеств и теории алгорифмов. В данном параграфе мы напомним, в каком смысле употребляются эти выражения в упомянутых областях, с тем чтобы в следующем параграфе использовать их для анализа естественного языка и языков частных наук, подвергнув особенно подробному рассмотрению возникающие при этом различные их интерпретации. Введение понятий, которые мы далее проанали- 91 зируем, поможет нам описать взаимоотношения идиолектов, а также стадий развития одного и того же идиолекта и объяснить операцию определения в терминах отношения между выражениями расширенного языка и выражениями его подъязыка. Алфавитом называется конечное непустое множество знаков или букв. Особенностью всякого алфавита является то, что он служит исходным материалом при построении выражений языка. В логике и математике понятие алфавита не сводится к совокупности графических знаков, обозначающих звуки или фонемы естественного языка, а имеет гораздо более абстрактное и общее значение.
Алфавит здесь — это множество постулированных исходных объектов, из которого затем строится множество всех допустимых в данном языке выражений или значений. А. А. Марков различает конкретный алфавит, то есть конечную непустую совокупность конкретных букв, соответственно физических событий или объектов, наделенных функцией обозначения, и абстрактный алфавит41 — множество конкретных алфавитов одной и той же формы, то есть множество, в котором любые два конкретных алфавита считаются одинаковыми *. Примеры алфавитов Ао- Аг А2- А3- ч. С ■■ Ц М Т = {а,Ь}; = {а, Ъ, с, = {а, Ъ, с, = {а,Ъ,с, = {|}; = {|,*}; = 11, -}; = {|,- -{!. -. ' <*}; d, e); d, e, f, g, h, i, *, □}; *, □, &}. k,l, m)\ Некоторый алфавит В называется расширением алфавита Л, если всякая буква алфавита Л есть буква ^алфавита В. В наших примерах алфавит А\ есть расширение алфавита Л0, Л2— расширение Ль Лз— расширение Лг; точно так же С и Ц суть расширения
См. : А. М. Марков, Теория алгорифмов, «Труды математического института имени В. А. Стеклова», т. XLII. М. ~-Л. , 1954, гл. . I*. tt Ч, алфавит М есть расширение как С, так и Ц.
Отношение расширения между алфавитами Л и В обозначается как Л с= В 43.
По двум данным алфавитам А и В могут быть построены их объединение, пересечение и разность.
Алфавит С есть объединение алфавитов А и В (обозначается через Л U В), если С содержит буквы, каждая из которых принадлежит по крайней мере одному из алфавитов: А или В; он есть пересечение алфавитов А и В (обозначение: ЛГ1В), если С содержит буквы, принадлежащие каждая А и В; он есть разность алфавитов Л и В (обозначение: А\В), если он состоит исключительно из букв, принадлежащих Л и не принадлежащих В. В логико-математических языках и & теории алгорифмов всякий исходный знак (или, как обычно говорят, буква), принадлежащий некоторому алфавиту, эместе с тем является словом, или правильно по- строенным выражением. Словами в алфавите Л называется также всякий ряд исходных букв, построенный по определенным правилам образования или построения, относимым к данному алфавиту. Так, например, правилом образования в искусственном языке может быть прибавление (приписывание) к слову справа некоторой буквы или букв, принадлежащих данному языку.
В качестве правила образования можно рассматривать также присоединение к данному выражению слева некоторого знака, играющего рб^ь одноместного оператора.
Выражение можно также образовать из двух или трех выражений с помощью бинарного или тернарного операторов.
Наконец, выражение можно получить из другого с помощью подстановки на место одного из его компонентов другого правильно построенного выражения. Приведем примеры таких правил44. Ri.
Если а — однобуквенное выражение, то аа — выражение.
Если a, b — однобуквенные выражения, то ab есть выражение.
Если а — выражение, то Па, фа, Па — тоже выражения. Ri.
Если а, Ь —выражения, то выражениями являются Aab, Kab, Dab, lab, Cab, Eab. 93 /?s. Если даны три выражения А, В, С, такие, что В—компонента С, а А относится к той же синтаксической категории, что и В, то мы можем построить новое выражение D, которое имеет ту же форму, что и С, за исключением того, что В в каждом своем вхождении в С будет заменено на А (правило подстановки) .
Re. Если В = ф(А|, ... ,АП) является определением в данном языке, а С — выражением, в котором имеется
С этой точки зрения грамма- тика — механизм, порождающий все правильно сформированные предложения и только их *; это аппарат, производящий новые правильно построенные выражения из некоторого числа данных правильно построенных выражений или слов.
Таким образом, грамматику можно рассматривать как систему норм, регламентирующих расширение языка.
Язык L\ является расширением языка L, если всякое выражение языка L является одновременно выражением языка L\.
Расширение искусственного языка может осуществляться двумя способами: (1) введением новых знаков в алфавит или в словарь; (2) видоизменением правил образования правильно построенных выражений.
Очевидно, что язык, построенный на алфавите Л3, шире, чем языки в алфавитах А0, А и Л2, если во всех этих языках действуют одни и те же правила образования. Пусть в некотором языке L° над алфавитом А0 действует правило.
Видоизменим это правило так, чтобы оно позволяло получать в языке не только дву- буквенные, но и трехбуквенные выражения.
В результате мы получим новое правило /?2, отличающееся тем, что если этим правилом заменить в L° правило /?2, мы получим новый язык Lb являющийся расширением языка L°. Новое правило имеет вид: /?2.
Если а, Ь, с — однобуквенные выражения, то ab — выражение и abc — тоже выражение.
В соответствии с правилом R'2 ряды букв ааа9 ааЪ, aba, abb, baa, bab, bba, bbb являются выражениями языка L\, в то время как их нельзя считать правильно построенными выражениями в языке La, полученными по правилу /?2.
Вместе с тем последовательности аа, ab, ba, bb, относящиеся, согласно правилу R2t к языку L°, принадлежат также языку L\ в соответствии с правилом /?2.
Это показывает, что расширенный язык сохраняет все правильно построенные выражения исходного языка.
Иными словами, всякое выражение, удовлетворяющее свойству грамматической правильности в исходном языке, будет удовлетворять этому свойству и в расширенном языке.
Этот тезис верен, только если * Н. Хомский. Синтаксические структуры, «Новое в лингвистике», вып, II, М. , 1962. 95 видоизменения правил образования не аннулируют ии одно из правил исходного языка.
В используемых в математике формализованных языках наряду с правилами образования имеются также правила вывода и некоторое число исходных рядов букв данного алфавита — слов.
Правила вывода служат для отбора в качестве истинных некоторого подмножества выражений или предложений из всего множества предложений, которые в зависимости от данной интерпретации могут быть истинными или ложными.
Таким образом, правила вывода функционируют как инструмент создания и отбора истинных предложений или теорем.
В этом случае при переходе от исходного языка к расширенному возникает новая проблема — сохранения или несохранения свойства быть теоремой.
Язык Li, представляющий собой расширение языка L, называется консервативным расширением, если любое произвольно выбранное выражение в алфавите языка L тогда, и только тогда, является теоремой в этом языке, когда оно является теоремой и в языке L.
Множество предложений исходного языка L, являющихся теоремами в нем, — теоремами, которые остаются таковыми и в его расширении Li, — оказывается неизменным в любом консервативном расширении языка L.
С помощью понятия консервативного расширения можно ввести понятие класса канонических выражений. Класс выражений (слов) ® в алфавите А языка L называется каноническим *, если существует консервативное расширение языка L — язык L\ и слово а такое, что выражение а является элементом © тогда, и только тогда, когда а является словом в А и оа, является теоремой в L\. Итак, слово а принадлежит классу канонических выражений, если оно состоит из букв алфавита Л, принадлежащего исходному языку L, и последовательность знаков (букв) оа является теоремой в языке L\ — консервативном расширении L.
Элементы канонического класса могут быть порождены с помощью конструктивного процесса.