ТО-АППЕНДИКС
sergey shishkinЗАМЕЧАНИЯ ПО ФРЕГЕ
26 Символика Г. Фреге, введенная уже в его основополагающем труде «Исчисление понятий» («Begriffsschrift, eme der arith- metischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens», Halle, 1879), носила не линейный (как обычная математическая символика), а плоскостный, двумерный характер. Записью |—Л Фреге обозначал суждение А, то есть утверждение истинности предложения (высказывания) А. Знак |—при этом рассматривался как сложный знак, составленный из горизонтальной черты — знака содержания предложения — и присоединенной к йему слева вертикальной черты — знака утверждения истинности предложения. Запись — Л, по Фреге, означает некое положение дел А или предложение (высказывание), говорящее об этом положении дел, причем такое предложение, что с ним не связывается признание —I—А истинности его содержания.
Записью Фреге обозначал (неутверждаемое) условное предложение «Если В, то Л», понимаемое как предложение, которое Может быть ложным лишь тогда, когда В принимает истинностное значение «истинно», а Л— истинностное значение «ложно». В отличие от этого! ( выражает, по Фреге, соответствующее суждение, то есть утверждение того, что либо Л истинно, либо В ложно (материальная импликация £->Л). В качестве знака отрицания Фреге использовал вертикальную черту, присоединяемую снизу к знаку 1-Г7-Л содержания. Например, запись1 ' в символике Фреге озна» 1—В чает суждение, являющееся отрицанием предложения В-+А, то есть, в современных обозначениях, ~~\(В-*А). (Стр. 63). 27 Автор использовал английский перевод работ Г. Фреге (Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege, ed. by P. Geach and M. Black. Oxford —New York, 1952; second edition, 1960).
В настоящем издании изложение текстов Фреге сверено с подлинником, а все цитаты переведены с немецкого издания первого и второго томов «Основных законов арифметики». (Стр. 63). 28 Этим оборотом мы переводим фрегевское «das stuckweise Definieren». Отметим, что Фреге различает процесс определения (Definieren) и определение как результат этого процесса (Defi- 215 nition). В тех местах второго тома «Основных законов арифметики», которые излагает и цитирует автор, в смысле «определения» Фреге также употребляет слово «объяснение» (Erklarung); обсуждая требование полноты и завершенности процесса определения, он критически характеризует «частичные объяснения» (Teilerklarungen);-этот термин ниже переводится как «частичные определения». (Стр. 64). 29 G. Frege, Grundgesetze der Arithmetik. Bd I, Jena, 1§93, S. 51.
Для понимания последующего текста следует учесть, что под значением (Bedeutung) Фреге имеет в виду обозначаемый именем предмет, то есть то, что ныне обычно называется денотатом, отличая значение имени от выражаемого им смысла (Sinn). Определение по Фреге устанавливает, что появляющееся в нем новое имя имеет тот же смысл и то же значение, что некоторое имя, составленное из уже известных знаков (ibid. , S. 45) (Стр. 66). 30 Референт (англ. refer — отсылать, адресовать) — предмет (класс предметов), нд который указывает (к которому «адресовано») языковое выражение (знак, имя), то есть предметное значение последнего; референтами предложений считаются истинностные значения; то же, что денотат (см. примечания 5 и 24). Следуя У. О. Куайну, в логической семантике выделяют теорию референции (к которой относят вопросы, касающиеся отношения обозначения, истинности и ложности, объемов предикатов и т. п. ); отличая ее от теории смысла. (Стр. 68).
Семь правил для определений сформулированы Фрегё в § 33 первого тома «Основных законов арифметики» (Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschriftlich abgeleitet. Bd I, S. 51— 52). Принципу полноты (Grundsatz der Vollstandigkeit) посвящены объединенные соответствующим названием § 56—65 второго тома, а принципу простоты определяемого выражения (Grundsatz der Einfachheit des erklarten Ausdrucks) — § 66 и 67. (Стр. 70). 32 Сопоставляя взгляды Фреге и Милля на определения собственных имен, автор недостаточно четок.
Для Фреге собственным именем (Eigenname) является любое языковое выражение, обозначающее некоторый (отдельный) предмет.
По терминологии Фреге собственным является и описательное имя (например, «воспитатель Александра Великого и ученик Платона»), и неописательное собственное имя («Аристотель»), — не говоря уже о том, что к собственным именам Фреге причисляет также и предложения как имена абстрактных предметов «истина» и «ложь». Милль же под собственными именами имеет в виду единичные (индивидуальные) имена, не являющиеся описательными именами (хотя бы они и выделяли единственный предмет), и именно о них говорит, что они не могут иметь определений, (Стр. 71). 83 Об учении Фреге о смысле и значении имен, о различении им предметов и функций (частными случаями которых являются понятия), функций первой и второй ступени — и вообще, о той семантической теории, которую великий немецкий логик кладет в основу своей логико-математической системы, см. в статьях: 216 Б. В. Бирюков. О работах Фреге по философским вопросам математики, в кн. «Философские вопросы естествознания». Вып. 2. Некоторые методологические вопросы физики, математики и химии, [М. ], 1959; Б. В. Б и р ю к о в. Теория смысла Готлоба Фреге, в кн. «Применение логики в науке и технике», М. , 1960. (Стр. 71). 34 Ливиу Ребряну (Rebreanu) (род. в 1885) — известный румынский писатель, его роман «Восстание» («RSscoala») вышел в 1932 г. (Стр. 73). 35 Эта цитата из работы Е. Гейне (Е. Heine. Die Elemente der Funktionenlehre, in «Journal fur die reine und angewandte Mathematik», Bd 74, Berlin, 1872, S. 176) приводится
72 второго тома «Основных законов арифметики». (Стр. 75).
Автор не отмечает ведущую черту учения Фреге об определениях: решительное подчеркивание их некреативности. Тезис о том, что определение не создает определяемого предмета, горячо отстаивался Фреге в полемике с Ьядом философов и математиков. См. статью Б. В. Бирюкова «О работах Фреге по философским вопросам математики», данные о которой приведены в примечании 33. (Стр. 77). 37 О смысле введенного автором понятия регистра идиолекта см. ниже, стр. 88. (Стр. 86). 88 Когерентность (от лат. cohaerens — находящийся в связи) — здесь, по-видимому, в смысле способности языка служить средством общения и взаимопонимания между индивидами. (Стр. 87). 39 Герменевтика (от греч. hermeneutike, от hermeneuo— разъясняю, толкую) — термин, этимологически и по смыслу связанный с именем Гермеса, в древнегреческой мифологии посредника между богами и людьми, который передавал людям послания богов, выражая их на понятном для смертных языке.
В классическом языкознании и литературоведении «герменевтика» — истолкование памятников древних литератур (в частности, Библии).
Постепенно, особенно начиная с работ немецкого философа и богослова Ф. Д. Э. Шлейермахера (1728—1834), этот термин стал пониматься также и как обозначение философского учения о понимании и специально о понимании в гуманитарных науках («науках о духе»).
Вильгельм Дильтей (1833—1911) использовал термин «герменевтика» в смысле «психологии понимания», противопоставляя феномен понимания духовных ценностей, в частности «переживание» произведений искусства и истолкование литературных текстов, методу «объяснения» в естествознании. Этот оттенок смысла присущ и современному употреблению понятия герменевтики на Западе, хотя его используют и в более общем (и не очень определенном) смысле «учения об истолковании» и «теории понимания» вообще. (Стр. 89), 40 По-видимому, автор имеет в виду альтернативные (попарно несовместимые) отношения между двумя произвольными? идиолектами U и /j. Тогда в записи отношения (I) знак с означает строгое включение: язык U включается в язык /j, но не наоборот; записью (II) передается такое отношение между U и hy при котором их пересечение не пусто (то есть 1<П I; ф 0)г 217 но, кроме того, в /< есть часть, йе входящая b/j,8b/j-часть, не входящая в /*; запись (III) выражает полное совпадение двух идиолектов; запись (IV)— что их пересечение пусто (Iif[Ij¥*0). Не учтено пятое возможное отношение между двумя идиолектами It и If. ситуация Ij cz /<. Характеризуя отношения между двумя произвольными индивидуальными языками Л и /;, можно было бы рассматривать и неальтернативные ситуации, например, вместо отношения Л cz /j говорить об отношении Л £ /j (включающем отношение /« = /j как частный случай), а от отношения (II) не требовать, чтобы в /< (или в Ij) имелась часть, не входящая в Ij (соответственно, в/«). Следует заметить, что использование теоретико-множественных операций и отношений для выражения возможных отношений между двумя индивидуальными языками, как это делает автор, предполагает, что индивидуальные языки понимаются как множества выражений или знаков определенного рода (например, построенных по определенным правилам), в отвлечении от многих свойств «структуры» языков, в частности от семантических отношений между выражениями каждого языка (отношений синонимии, определимости одних выражений через другие, логического следования и т. ш). Ниже автор вводит в рассмотрение и структуры языков. (Стр. 89). 41 Понятия абстрактной буквы, абстрактного слова и абстрактного алфавита опираются на абстракцию отождествления, применяемую к конкретным буквам, конкретным словам, кон- кретным алфавитам. Эта абстракция, по А. А. Маркову, состоит в образовании «абстрактного понятия путем объединения, отождествления предметов, связанных отношением типа равенства, путем отвлечения (абстрагирования) от всех различий таких предметов» (А. А. Марков. Теория алгорифмов, «Труды Математического института им. В. А. Стеклова», т.
XLII, стр. 7—8); под отношением типа равенства имеется в виду отношение, обладающее свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности. Подробнее об абстракции отождествления см. : Д. П. Горский. Вопросы абстракции и образование понятий, М. , 1961; М. М. Новоселов. Тождество, «Философская энциклопедия», т. 5, М. , 1970. (Стр. 92). 42 На стр. 9 монографии Маркова мы читаем: «Два конкретных алфавита тогда и только тогда представляют один и тот же абстрактный алфавит, когда они равны». (Стр. 92). 48 Здесь и далее знак cz означает нестрогое включение.
Запись A cz В имеет смысл: алфавит В есть расширение алфавита Л, причем в частном случае В может совпадать с А (всякий алфавит считается расширением самого себя). (Стр. 93). 44 В оригинале правила R\ — /?4 (так же как и правило R2') сформулированы для отдельных букв (так, правило R2 у автора имеет вид: «Если a, b — выражения, то аЬ тоже есть выражение», где а, 6, по-видимому, те же буквы, что и в алфавитах Л© — А$ (иа стр. 92). Мы переформулировали их с помощью метазнаков (а, Ь) для букв, что более естественно для правил, которые 218 обычно имеют в виду не фиксированные ситуации, а классы однотипных ситуаций.
В книге П. Розенблюма, которую излагает здесь автор! говорится: «Мы можем рассматривать канонический класс как такой класс, члены которого могут перечисляться с помощью некоторого конструктивного процесса. Ибо мы можем построить машину, порождающую теоремы языка V и печатающую а на специальной ленте каждый раз, когда получена теорема вида «аа»; таким образом, машина будет шаг за шагом перечислять члены класса ©, каждый из них рано или поздно появится на ленте. В частности, класс теорем канонического языка есть канонический класс, так как мы можем в качестве о взять пустое слово и V окажется самим языком L» (P. Rosenbloom. The Elements of Mathematical Logic, N. Y. , 1950, p. 164). Если слово а не пусто, то на него можно смотреть как на некий штамп доказуемости: получение теоремы вида ста (в U) означает «а доказуемо» (в L). (Стр. 96).
Приведенные в этом абзаце знаки являются знаками операций: логики высказываний — отрицания, конъюнкции, дизъюнкции (союз «или» в неразделительном смысле), импликации, экви- валенции («если, и только если, ... , то») штриха Шеффера (ан- тиконьюнкции — союза «ни... , ни») и логики предикатов — кванторов общности («все») и существования («существует такой предмет, что... »). (Стр.
101). 47 Следует заметить, что примененная автором терминология для проводимого им здесь различия между двумя видами операторов — пропозициональными и интерпропозициональными — неудачна. То, что К. Попа называет «межпропозициональными операторами», * в логике принято называть «пропозициональными операциями (операторами, связками)», то есть обозначать тем же термином, который автор выше использовал в ином смысле. (Стр. 101). 48 Эта запись имеет смысл V cS и ScF. (Стр. 105). 49 Следует заметить, что эти слова обычно служат не только в качестве представителей индивидных переменных, но и в качестве указателей тех предметных областей, предметы (имена предметов) которых могут вместо них подставляться. Так, выражения «некто» или «некоторая личность» подразумевают предметную область людей, выражение «нечто» — область каких-то неодушевленных предметов, и т. п. (Стр. 105). 60 Для условия (2) мы применили более корректную запись, чем в подлиннике.
Подобные изменения либо исправления символики сделаны редактором и в последующем тексте перевода. (Стр. 106). 61 Английское recapitulative definitions; в румынском подлиннике фигурируют термины «inregistrare» и «recapitulative». (Стр. 111). 62 Термин stipulative definition (англ.
stipulate — обусловливать, ставить условием) употребил Р. Робинсон в своей книге «Определение»,
Д. П. Горский переводит «спекулятивные определения» Робинсона как выборочные определения, следующим образом поясняя их смысл: «Выборочные — это определения неизвестного нам выражения, которое употребляется в разных контекстах в различных значениях и которое предполагает процедуру выбора одного из значений, подходящих для данного случая» (Д. П. Горский. Определение, стр. 10). Однако по смыслу, придаваемому К. Попой этому роду определений, для них более уместны термины «постулятивные» или «переквалифицирующие». Это согласуется с толкованием Робинсона, который говорит, что под стипулятивным определением термина он имеет в виду «установление, объявление или выбор одного из его значений» (R. Robinson. Definition, Oxford, 1950, p. 19). В настоящем переводе используются термины «стипулятивное определение» и «переквалифицирующее определение», на которые следует смотреть как на синонимы. (Стр. 112).
Взгляд, что смыслы (значения) языковых выражений (знаковых образований) — как некие абстрактные объекты — задаются правилами их введения в контексты рассуждений и исключения из них («восполнение абстракций»), основан на идеях С. А. Яновской, изложенных в известной ее работе «Проблемы введения и исключения абстракций более высоких (чем первый) порядков» (в кн. «The Foundation of Statements and Decisions», Warszawa, 1965; перепечатана в кн. : С. А. Яновская. Методологические проблемы науки, М. , 1972). Развивая эти идеи, Д.
П. Горский предложил следующую программу: «Общее определение значения, смысла, понимаемости знакового выражения на интеллектуально-семантическом уровне можно сформулировать так: знаковое выражение имеет смысл, значение, является понимаемым, если по отношению к нему могут быть сформулированы соответствующие правила введения и исключения». Эти правила могут быть введены «независимо от понятия смысла, значения, понимаемости и потому могут рассматриваться в качестве экспликации самого общего понятия о значении» (Д. П. Горский. Проблема значения (смысла) знаковых выражений как проблема их понимания, в кн. «Логическая семантика и модальная логика», М. , 1967, стр. 60). (Стр. 133). 64 В русском переводе этой книги Б. Рассела вместо «остен- сивных» говорится о «наглядных» определениях. (Стр. 137). 66 Таким образом, в рассматриваемой коммуникативно-дефи- нициональной схеме присутствуют одно синтаксическое, два семантических и три прагматических отношения, и 2<*е/ более точно было бы записать в виде (R8yn, tf8*m,, Rsem2, Rpr Rp2, tfp3, S\, s2i а, а, ф, pi рг, ... , pn), где R8emx—отношение обозначения между a и a, R8emn —подобное же отношение между ф(рь Рг, ... , рп) и а\ в аналогичном духе истолковываются отношения Rpx, Rp2, #рз. (Стр. 142). 66 Редукционные предложения — конструируемые логиками в результате логико-семантического анализа языков науки суждения (схемы суждений), в которых теоретические понятия (в частности, диспозициональные предикаты — см. ниже примечание 58) в том или ином смысле сводятся к понятиям эмпирическим. 220 Назначение таких суждений (предложений сведения) — зафиксировать некоторые общие логические свойства процедур осмысления и проверки (объяснения, понимания, интерпретации, обоснования) теоретических конструкций в терминах данных наблюдения и эксперимента. О редукционных предложениях и связанных с ними логических аспектах осмысления и проверки теоретического знания через знание эмпирическое см. : R.
Саг пар. Testability and Meaning, «Philosophy of Science», vol. 3, № 4, 1936, vol. 4, № 1, 1937; С. С. Hempel. The Theoretician's Dilemma: A Study in the Logic of Theory Construction, in «Minnesota Studien in the Philosophy of Science», vol. II: «Concepts, Theories, and the Mind-Body Problem», 1958 (см. особенно § 6 «Операциональные определения и редукционные предложения» и § 7 «Об определимости теоретических терминов посредством словаря наблюдений»); W. Craig. Replacement of Auxiliary Expressions, «The Philosophical Review», vol. LXV, № 1, 1956, J. Hintikka and R. Tuomela. Towards a General Theory of Auxiliary Concepts and Definability in First- order Theories, in «Information and Inference», Dordrecht (Holland), 1970; И. Хинтикка, И. Ниинилуото. Теоретические термины и их Рамсей-элиминация: очерк по логике науки, «Философские науки», 1973, № 1; А. И. Уем о в. Нужны ли теории? (по поводу статьи И. Хинтикки. И.
Ниинилуото «Теоретические термины и их Рамсей-элиминация»), там же. (Стр. 155).
В приводимых ниже дефинициях 1—6 отношения между областями применимости операций О* и О а представлены на двух логических языках — на языке классов и языке высказываний. В дефинициях 1, 5, 6 слева и справа от знака =г>/ стоят выражения, обозначающие классы (множества); знак *** в этих дефинициях есть «классовый оператор», или оператор образования класса (имени класса): запись вида хР(х) означает класс тех предметов х, которые удовлетворяют предикату Р (или, иначе, которые имеют свойство Р). В дефинициях же 2, 3, 4 слева и справа от знака = г>/ стоят высказывания. Понятиями, которые определяются в дефинициях 1, 5, 6, являются, соответственно: «пересечение областей применимости операций О* и О*», «симметрическая разность (то есть объединение с исключением общей части) областей применимости операций О* и О*» и «объединение областей применимости операций О* и О*».
Дефиниции 2, 3, 4 определяют отношения между областями применимости двух операций, выраженные высказываниями: «Область применимости операции 0< (строго) включается в область применимости операции Од», «Область применимости операции О* совпадает с областью применимости операции Од» и «Области применимости операций О* и О* не имеют общей части». Аналогично следует читать и дефиниции 7—12, касающиеся операционально открытых областей предметов Xj и хи а также последующие дефиниции этого параграфа. (Стр. 157). 58 Диспозициональные (в другой транскрипции: диспозицион- Hbie\ от лат. dispositio — расположение) термины (предикаты, понятия) — термины, выражающие предрасположение предмета к поведению (реакции) некоторого рода в определенных условиях. Примером диспозиционального термина может служить 221 предикат «ломкий», имеющий смысл: «в случае физического воздействия ломается».
Изучение диспозициональных предикатов важно для проблематики эмпирической интерпретации теоретических утверждений науки. См.
Д. Л а х у т и. Диспозициональный предикат, «Философская энциклопедия», т. 2, М. , 1962; А.
Л. Н и к и ф о р о в. Определения диспозициональных предикатов, в кн, «Логика и эмпирическое познание», М. , 1972. (Стр. 159).
Знаки-индексы, или признаки, — вид знаков, обычно выделяемый при классификации знаков в семиотике.
Так, особенно после исследований Ч. Морриса (Ch. W. Morris. The Foundations of the Theory of Signs, Chicago, 1938), называют знаки, которые связаны с обозначаемыми ими предметами как действия (следствия) с вызывающими их причинами; знаки-индексы — это, иначе, приметы, симптомы, показатели, указывающие на некоторые предметы или события (так, дым есть показатель огня, а озноб — симптом заболевания). См. , например, Л. О. Резников. Гносеологические вопросы семиотики, [Л. ], 1964, гл. IV. (Стр. 161).
Для понимания последующих дефиниций следует учесть, что выражение вида х е. А (О0 V 0\ V ,. . V От) есть сокращение ДЛЯ формулы *€Ei4(Oa)VX€= (02)V... VX€=4(0m). (Стр. 165).
В следующих далее дефинициях 1—5 выражение х=ту\А означает: «В результате измерения с применением измерителя, обладающего признаком А,, х оказалось равно у» (аналогичные выражения, в которых вместо знака = т стоят знаки ф т, <, т и > т, читаются подобным же образом). Запись ИО(х) имеет смысл «я измерено с помощью операции О».
Следует иметь в виду, что измеряемые предметы здесь представлены каждый своей (измеряемой) величиной. Это означает, что символы хну (а также е) — это переменные, определенные на числрвой области (в общем случае, на области действительных чисел). (Стр. 173).
В «Аналитиках» Аристотеля, в том месте, которое имеет в виду автор, мы читаем: «Но так как определение, как полагают, есть высказывание, объясняющее, что есть (данная) вещь, то очевидно, что оно есть или некоторое высказывание, разъясняющее, чтб обозначает название, или высказывание, обозначающее (вещь) другими (словами), например, чтб обозначает треугольник (или) что есть (фигура), поскольку она (называется) треугольником» (Аристотель. Аналитики, первая и вторая, М.
, 1952, Стр. 264—265). (Стр. 176). 83 Русский перевод: Аристотель. Сочинения в четырех томах, т. 1, стр. 193. (Стр. 177).
«Реализм» известного польского философа и логика Тадеуша Котарбиньского (род. в 1886 г. ) означал, фактически, материалистическую установку в логике (в период создания своих основных философско-логических работ он, правда, называл свое онтологическое учение реизмом и конкретизмом). См. статью «Котарбиньский», «Философская энциклопедия», т. 3. М. , 196А (Стр. 117). Ш 65 Русский перевод: Аристотель. Аналитики, Первая и вторая, стр. 259—261. (Стр. 177). 66 Русский перевод: Аристотель» Аналитики, первая и вторая, стр. 253. (Стр. 177). 67 См. примечание 21. (Стр. 182), w Следует заметить, что замена специального термина определяющим его выражением делает текст более понятным — лучше усваиваемым и запоминаемым — лишь в начале изложения. В дальнейшем, если понятие, обозначаемое специальным термином, встречается в тексте вновь и вновь, использование этого термина способствует уяснению хода рассуждений и поэтому целесообразно именно для большей понятности текста (или речи) для читателя (или слушателя).
Поэтому удлинение текста (или речи) за счет использования определяющих частей определений специальных понятий, как способ увеличения его понятности — о чем К. Попа говорит ниже, — имеет естестввхмые ограничения* проистекающие из особенностей психологии восприятия человеком смысловой и логической сторон сообщений. (Стр. 190). 69 См. : Д. Гильберт, В. Аккерман. Основы теорети* ческой логики, М. , 1947, стр. 49. В аксиомах исчисления высказываний, приводимого в этой книге, фигурируют только знаки операций -> и V, причем знак -> используется как сокращение: формула А-+В считается имеющей смысл ~|Л VJ3. Таким обра* зом, исчисление высказываний строится Гильбертом и Аккерма- ном в базисе операций ~] и V. (Стр. 191). 70 В символике логики высказываний, предложенной Я. Лу« касевичем, не используются скобки; вместо «скобочных» формул (схем формул) вида (p&q), (pVq), (p-^q), (psq), (p | q) и "^ p пишется соответственно К pq, A pq, С pq, E pq, D pq и Np.
Ниже в тексте дается индуктивное определение формулы логики высказываний («правила образования») при бесскобочной записи логических выражений. Аксиома 4 из числа приводимых ниже в скобочной записи имеет вид (((р -> q) -> ((г V р) -* (г V а))), Аналогичный перевод на «скобочный» язык можно дать и для остальных аксиом и выводимых из них формул. (Стр. 191). 71 Под символикой Гильберта — Аккермана имеется в виду система обозначений в логике, примененная в книге: D. Hilbert und W. Ackermann. Grundzuge der theoretischen Logik, N. Y. f 1946 (данные о русском переводе см. в примеч.
70). Символика Гильберта — Аккермана является модификацией системы обозначений, восходящей к работам Дж. Пеано и, ближе, к труду «Prin- cipia mathematical A. H. Уайтхеда и Б. Рассела. Во всех этих системах обозначений используются скобки. Скобочные символики, основанные на несущественных изменениях упомянутых систем, — самые распространенные в логике. Ср. выше примечания 69 и 70. (Стр. 193). 72 Преобразование, которое имеет в виду автор (и ниже иллюстрирует на примере), позволяет получать ответ на вопрос, выражает ли данная формула логический закон. Чтобы проверить, выражает ли формула логическое противоречие, следует привести ее к другой нормальной форме — дизъюнктивной, кото- 223 рая является двойственной конъюнктивной, либо произвести отрицание испытываемой формулы и именно его приводить к конъюнктивной нормальной форме (в этом случае, если отрицание испытываемой формулы окажется логическим законом, то есть Тождественно-истинной формулой, сама испытываемая формула выражает логическое противоречие, то есть является тождественно-Ложной). Проверка формулы на выполнимость производится путем приведения ее к дизъюнктивной нормальной форме (если окажется, что формула не выражает логическое противоречие, она выполнима). О нормальных формах, процедурах приведения к ним логических выражений и об использовании нормальных форм в логике см. : П. С. Новиков. Элементы математической логики, гл. I, M. , 1959. (Стр. 193). 78 Это возможно в логике высказываний, о которой говорит автор, но, в общем случае, невозможно в логике (многоместных) предикатов — логической системе, более богатой средствами выражения и дедукции, в которой, помимо действий над высказываниями, представлены и действия над выражениями для свойств и отношений.
Для логики предикатов невозможен единый метод (алгоритм), устанавливающий для любой формулы по ее виду, является ли формула тезисом, то есть доказуемым (из постулатов системы) выражением этой логики, или нет. (Стр. 194). 74 См. работы Б. Паскаля, указанные в примечании 21. (Стр. 195).