Свойства первых интегралов
Свойства первых интеграловСкачать файл - Свойства первых интегралов
Теперь займемся обобщением этого понятия для случаев бесконечного промежутка и неограниченной функции. Необходимость такого обобщения показывают, например, такие ситуации. Если, используя формулу для длины дуги, попытаться вычислить длину четверти окружности , , то придем к интегралу от неограниченной функции:. Пусть тело массой движется по инерции в среде с силой сопротивления , где — скорость тела. Используя второй закон Ньютона , где ускорение , получим уравнение: Нетрудно показать, что решением этого дифференциального! Пусть функция определена и непрерывна на промежутке. Тогда для любого она интегрируема на промежутке , то есть существует интеграл. Конечный или бесконечный предел этого интеграла при называют несобственным интегралом 1-го рода от функции по промежутку и обозначают символом. При этом, если указанный предел конечен, то несобственный интеграл называют сходящимся, в противном случае или не существует — расходящимся. Пусть — некоторая первообразная для функции сущест-вует на , так как — непрерывна. Отсюда ясно, что сходимость несобственного интеграла 1 равносильна существованию конечного предела. Если этот предел обозначить , то можно написать для интеграла 1 формулу Ньютона-Лейбница:. Теперь можем найти интеграл , учитывая, что:. Приведем ряд свойств несобственного интеграла 1 , которые вытекают из общих свойств пределов и определенного интеграла:. Если непрерывна на , то. Если непрерывна на , то принимают по определению. Для этих интегралов, как и для интеграла 1 можно написать соответствующие формулы Ньютона — Лейбница. Чаще всего несобственный интеграл вычислить по определению не-возможно, поэтому используют приближенное равенство. Однако, это соотношение имеет смысл лишь для сходящихся интегралов. Необходимо иметь методы выяснения поведения интеграла минуя определение. Тогда определенный интеграл как функция верхнего предела есть функция возрастаю-щая это следует из общих свойств определенного интеграла. Несобственный интеграл 1 го рода от неотрицательной функ-ции сходится тогда и только тогда, когда функция остается ограниченной при увеличении. Эта теорема — следствие общих свойств монотонных функций. Практического смысла теорема почти не имеет, но позволяет получить т. Теорема 2 1-й признак сравнения. Пусть функции и непре-рывны на и удовлетворяют неравенству. Так как , то. Но тогда и ограничена, а значит, интеграл тоже сходится. Аналогично доказывается и вторая часть теоремы. Этот признак не применим в случае расходимости интеграла от или сходимости интеграла от. Этот недостаток отсутствует у 2-го признака сравнения. Теорема 3 2-й признак сравнения. Пусть функции и непрерывны и неотрицательны на. Тогда, если при , то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Из условия теоремы получим такую цепочку равно-сильных утверждений:. В качестве эталонной функции, с которой сравнивают данную, высту-пает степенная функция ,. Предлагаем студентам самим доказать, что интеграл. Рассмотрим подынтегральную функцию на промежутке:. Так как , тоcуществует такое, что при. Для таких значений переменной:. Интеграл сходится как эталонный. В силу 1-го признака сравнения сходится и. Применяя 2-й признак, получим, что и интеграл сходится. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Если, используя формулу для длины дуги, попытаться вычислить длину четверти окружности , , то придем к интегралу от неограниченной функции: Несобственные интегралы 1-го рода I Определение Пусть функция определена и непрерывна на промежутке. Итак, по определению 1 Примеры 1. Несобственный интеграл из примера 1 сходится, в примерах 2 и 3 интегралы расходятся. II Формула Ньютона — Лейбница для несобственного интеграла первого рода Пусть — некоторая первообразная для функции сущест-вует на , так как — непрерывна. Тогда Отсюда ясно, что сходимость несобственного интеграла 1 равносильна существованию конечного предела. Если этот предел обозначить , то можно написать для интеграла 1 формулу Ньютона-Лейбница: Теперь можем найти интеграл , учитывая, что: III Свойства Приведем ряд свойств несобственного интеграла 1 , которые вытекают из общих свойств пределов и определенного интеграла: IV Другие определения Определение 2. Если непрерывна на , то принимают по определению — произвольное , причем несобственный интеграл в левой части сходится, если только оба ин-теграла в правой части сходятся. Признаки сходимости несобственного интеграла 1-го рода Чаще всего несобственный интеграл вычислить по определению не-возможно, поэтому используют приближенное равенство для больших. I Интегралы от положительных функций Пусть на. Из условия теоремы получим такую цепочку равно-сильных утверждений: Предлагаем студентам самим доказать, что интеграл сходится при и расходится при. Рассмотрим подынтегральную функцию на промежутке: Для таких значений переменной: Известно, что логарифмическая функция растет медленнее степенной, то есть , а значит, начиная с некоторого значения переменной, эта дробь меньше 1. Соседние файлы в папке MATANALIZ - 2
Интеграл и его свойства
Конспект по рассказу в старшей группе
Свойства определенного интеграла.
Стихи о непростых отношениях любовников
Где указывается дата выдачи диплома
Счетчик активной и реактивной энергии на схеме
Первый интеграл
Стихи воспитателям на выпускной
Зима в сердце на душе вьюга текст
Списочные сундуки готика 3 на карте