Способы задания ориентированных графов

3 Элементы теории графов

=== Скачать файл ===

Основные понятия теории графов. Графы возникли в восемнадцатом столетии, когда известный мате матик, Леонард Эйлер, пытался решить теперь уже классическую задачу о Кенигсбергских мостах. В то время в городе Кенигсбер ге было два острова, соединенных семью мостами с берегами реки Преголь и друг с другом так, как показано на рисунке. Задача состо ит в следующем: Решая эту задачу, Эйлер изобразил Кенигсберг в виде графа, отождествив его вер шины с частями города, а ребра — с мостами, которыми связаны эти части. Эйлеру удалось доказать, что искомого маршрута обхода города не существует. Два ребра инцидентные одной вершине называются смежными. Две вершины инциденты одному ребру называются смежными. Степенью или валентностью вершины называется количество ребер инцидентности этой вершины d V. Минимальная степень графа G. Максимальная степень графа G. Вершина называется изолированной , если ее степень равна 0. Вершина называется висячей , если ее степень равна 1. Кратными ребрами называется ребра инцидентные одной и той же паре вершин. Граф называется полным , если любая пара вершин соединена одним ребром. Длиной маршрута называется количества ребер в нем. Маршрут, в котором все вершины различны, называется простой цепью. Замкнутая простая цепь называется простым циклом. Замкнутая цепь называется циклом. Кратчайшая цепь, соединяющая вершины называется геодезическая. Диаметром графа G называется длина длиннейшей геодезической цепи. При описании с помощью графов различных сетей, алгоритмов и т. Началом ребра называется вершина, указанная в паре первой, концом — вторая вершина этой пары графически она указана стрелкой. Ребра при изображении ориентированных графов представляют стрелками. Ребро ориентированного графа называется дугой. Степенью входа выхода вершины орграфа называется число ребер, для которых эта вершина является концом началом. Дуги орграфа называются кратными , если они имеют одинаковые начальные и конечные вершины, то есть одинаковые направления. Контуром в ориентированном графе называют путь начинающейся и заканчивающейся в одной вершине. Граф, в котором нет контура, называется безконтурным. Для G составим собственный, правильный и остовн ый граф. Во многих задачах, особенно, решаемых на ЭВМ, графы удобно описывать матрицами. Задание графов матрицей смежности: Задание графов матрицей инцидентций. Найти дополнение графа G 1 V 1 , E 1. В ажным при рассмотрении графов является вопрос о том, какие графы можно и нужно считать различными, а какие — одинаковыми. Изоморфизм графов означает, что можно так переобозначить вершины первого графа, что в новых обозначениях вершины и ребра будут совпадать со вторым графом. Графы приведенные на рисунке изоморфны: Е ще один из выделяемых видов графов связан с возможностью попадания из одной его вершины в другую. Д ве вершины называются связными , если существует маршрут между ними. Связность для вершин является бинарным отношением. Н еориентированный граф называется связным , если между любыми двумя вершинами есть маршрут. Любой граф G можно разбить на непересекающиеся подмножества вершин по признаку связности. Вершины одного множества являются связными между собой, а вершины различных множеств — несвязны. Тогда все выделенные таким образом подграфы называют компонентами связности графа G. При этом связный граф имеет одну компоненту связности. Доказано, что в конечном связном графе всегда можно построить ориентированный цикл, проходящий через каждое ребро по одному разу в двух направлениях. Такой цикл называют способом обхода графа и используют при решении многих прикладных задач. Ребро v 3 , v 4 связного графа является мостом, т. Граф называется взвешенным или нагруженным , если каждому ребру поставлено в соответствии некоторое число w вес. Найти матрицу весов для графа. Граф называется гамильтоновым , е сли для каждой вершины графа найдется маршрут начинающейся и заканчивающей в этой вершине и проходящий через все вершины только один раз. Такой маршрут называется гамильтоновым циклом. Г амильтоновы графы применяются для моделирования многих практических задач, например, служат моделью при составлении расписания движения поездов. Основой всех таких задач служит классическая задача коммивояжера: Графическая модель задачи коммивояжера состоит из гамиль тонова графа, вершины которого изображают города, а ребра — связывающие их дороги. Для решения задачи необходимо найти гамильтонов цикл минимального об щего веса. К сожалению, эффективный алгоритм решения данной задачи пока не известен. Для сложных сетей число гамильтоновых циклов, которые необходимо просмотреть для выделения минимального, не померно огромно. Однако существуют алгоритмы поиска субопти мального решения. Выбрать исходную вершину и включить её в маршрут. Выбрать вершину ближайшую к данной по весу, включить её в маршрут. Выбрать не использованные вершины ближайшую к последней, включить её в маршрут. Вернуться к шагу 2 если не использованы все вершины. Включить в маршрут исходную вершину. Граф называется эйлеровым , если для всякой вершины графа найдется маршрут начинающейся и заканчивающейся в этой вершине и проходящий через каждое ребро только один раз. Такой маршрут называется эйлеровым циклом. Граф является Эйлером тогда и только тогда, когда степени всех его вершин четные. Задача о поиске эйлерова цикла в данном графе имеет практическое значение. Рассмотрим задачу уборки улиц города, состоящую в следующем: Схему улиц района можно представить в виде графа, ребрам которого соответствуют улицы, а вершинам — перекрестки. В этом случае сформулированная задача сводится к построению эйлерова цикла в графе. З адачу построения эйлерова цикла если он существует можно решить, например, с помощью алгоритма , основанного на следующем правиле: Так как к каждой вершине подходит четное число ребер, этот процесс может окончиться только в исходной вершине не а. При этом получится замкнутый маршрут, проходящий через каждое свое ребро по одному разу. Если маршрут Р содержит не все ребра графа G , удалим из G все ребра, входящие в Р. Такой маршрут может закончиться только при возвращении в вершину а S. Когда процесс закончится, эйлеров цикл будет построен. Любая пара вершин соединена единственным маршрутом. Количество ребер меньше на одну чем вершин. Удаление хотя бы одного ребра не нарушает его структуру. Дерево называется деревом с корнем , если одна вершина выделена и расположена выше остальных. Вершины, не имеющие сыновей, называются листьями. Вершины отличные от корня и листьев называют внутренними. Деревья используются для описания структур организаций, предприятий и др. Такие структуры называются иерархическими. Примером может быть структура управления, где корень дерева - управляющий, с ним связаны непосредственно подчиненные ему руководители - вершины 1-го уровня, которым, в свою очередь непосредственно подчинены другие - вершины 2-го уровня и так вплоть до исполнителей нижнего уровня — листьев. Дерево образует структура предприятия, где корень - само предприятие, под ним - входящие в него цехи и службы, ниже - входящие в цехи участки и т. В жизни мы постоянно сталкиваемся с проблемой принятия решения из множества возможных решений - с проблемой выбора. В результате выбора мы попадаем в новую ситуацию, когда снова нужно делать выбор. Возможности выбора при решении проблемы можно представить в виде ориентированного дерева, где в корне — проблема, дуге соответствует один из вариантов выбора, вершине - новая ситуация, возникающая в результате реализации приписанного дуге варианта. Тогда возникает задача поиска среди возможных путей от корня когда проблема поставлена к одному из листьев когда проблема решена пути, имеющего оптимальную оценку. Если ребра графа взвешены, то возникает задача выделения остова с минимальной или максимальной оценкой. Предположим, что вершинам графа сопоставлены полюса схемы, на которые необходимо подать питание, а ребрам - разрешенные связи для цепи питания. Действительно, цепи сопоставляется граф без петель, включающий все вершины. Если веса определяют расстояние между полюсами, то остову с минимальной суммой весов соответствует разводка питания с минимальной суммарной длиной проводников. Такая задача решается при трассировке печатных плат. Может быть предложена такая трактовка задачи. Тогда задаче выделения остова с минимальным произведением весов, входящих в остов ребер, соответствует задача определения наиболее надежной сети для передачи информации. Рассмотрим алгоритм решения задачи: Процесс продолжается до тех пор, пока все вершины не будут включены в остов. Алгоритм прост для понимания и обеспечивает получение минимального решения. Однако сложность его состоит в том, что в нем неявно присутствует процедура проверки на появления циклов, которая связана с перебором по всему графу, так же как и поиск очередного ребра. Рассмотрим все ребра, исходящие из вершин, включенных в остов к оставшимся вершинам, и из них выберем ребро с минимальным весом. Его концевую вершину включим в остов. Повторяем этот пункт, пока не все вершины включены в остов. В этом алгоритме не нужно следить за образованием циклов. Алгоритм начинает работу с произвольно выбранной вершины.

Должностная инструкция секретарю руководителя

Интернет банкинг как заплатить за интернет

Самсунг см т561 характеристики

Способы задания ориентированных графов

3 Элементы теории графов

=== Скачать файл ===

Способы задания графа. Изоморфные графы

Способы задания графов

41.Способы задания графов.

Report Page