Решение. Узел в пятиугольнике (#126)
MathreshkaДля решётки выполняется, так называемое, правило параллелограмма: если три вершины параллелограмма лежат на решётке, то и четвёртая вершина лежит на ней [докажите, это несложно].
На рисунке 1 показано как из правила параллелограмма вытекает следующее утверждение:
1) Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника, лежащего на решётке, пересекаются (или, что то же самое, четырёхугольник не является параллелограммом или трапецией), то внутри него всегда найдётся узел.
2) Теперь рассмотрим выпуклый пятиугольник ABCDE на решётке. Тогда выпуклыми будут четырёхугольники ABCD и ABCE. Если внутри одного из них найдётся узел, то он будет внутренним и для исходного пятиугольника. Если же внутри четырёхугольников не найдётся узлов, то в силу утверждения 1) возможны два случая: либо AB || CE и BC || AD, либо AB || CD и BC || AE . Но и эти оба случая со ссылкой на правило параллелограмма приводят к наличию узла внутри пятиугольника (см. рисунок 2).
