Симметрия в ранговой теории (часть 2)

6. Теория хаоса и роль симметрии

В теории хаоса симметрия является центральным механизмом возникновения бифуркаций.

Системы с высокой симметрией обладают множеством эквивалентных состояний, и потому находятся в состоянии потенциальной неустойчивости: малое возмущение может привести к качественной перестройке динамики.

В терминах ранговой теории это соответствует наличию вырожденных групп:

внутри которых стационарное распределение цепи Маркова, согласно Теоремам S, не фиксирует единственного предпочтительного порядка.

Такая конфигурация формально устойчива, но структурно не жёстка и потому чувствительна к контекстным возмущениям.

6.1 Контекст как источник возмущений

Контекст, формализованный через регуляризацию H, играет роль контролируемого возмущения рангового пространства.

Интуитивно это можно сравнить с песочной горкой. Каждая новая песчинка сама по себе мала, но её падение может вызвать сдвиг целого слоя.

Аналогично, регуляризация H не меняет ранговую структуру напрямую, но изменяет относительные веса элементов внутри вырожденных групп, что приводит к перераспределению вероятностей в стационарном распределении.

Согласно Теоремам S о зависимости устойчивости от структуры H:

• H разрушает симметрию, но не случайно, а согласованно с историей и зависимостями цепи;
• малое изменение H может привести к потере устойчивости прежнего стационарного распределения;

6.2 Что именно теряет устойчивость

Ключевой момент состоит в следующем:

Не цепь Маркова разрушается как объект.
Разрушается устойчивость её стационарного распределения.

Сама марковская динамика сохраняется и пространство состояний остаётся тем же, но правила переходов сохраняют нормировку, поэтому вероятность переходов остаётся корректной.

Однако прежнее стационарное распределение перестаёт быть устойчивым. Цепь переходит в новое стационарное состояние, изменяется структура доминирующих траекторий.

Это строго согласуется с Теоремами S о потере устойчивости локальных максимумов при изменении функционала H.

6.3 Перестройка рангового пространства

Нарушение симметрии приводит к глубокой перестройке рангового пространства:

• элементы могут переходить между рангами,
• ранее «спящие» ранги начинают вносит значительный вклад,
• появляются новые устойчивые комбинации и доминирующие цепочки.

При этом важно, что общее число возможных рангов не увеличивается, но существенно увеличивается число фактически занятых рангов, а также число устойчивых структур в пространстве цепей Маркова.

Примерно это может выглядеть так:

• до бифуркации система эффективно использует порядка 1000 рангов;
• после нарушения симметрии — до 15000 занятых рангов;

это отражает выход элементов из вырожденных групп и появление новых устойчивых траекторий.

6.4 Бифуркация как нейтральный переход

Важно подчеркнуть, что разрушение симметрии не гарантирует ни улучшения, ни деградации.

Бифуркация с позиции теории хаоса — это не «ошибка», не «успех», а переход системы в новое структурное состояние.

Возможны разные сценарии:

• система успешно перестраивает иерархию цепей Маркова;
• возникают более сложные и богатые паттерны;
• либо, напротив, нарушаются ключевые устойчивые связи, и поведение деградирует.

Однако именно через такие переходы:

• возникает сложность,
• появляется разнообразие,
• формируются хаотические режимы поведения.

С точки зрения ранговой теории и Теорем S, хаос возникает не вопреки структуре, а из-за её симметрий.

Контекст H играет роль управляемого возмущения, которое:

• регулирует симметрию,
• приводит к потере устойчивости стационарных распределений,
• инициирует бифуркации и перестройку рангового пространства.

Именно этот механизм связывает: ранговую теорию, марковскую динамику и классическую теорию хаоса в единую формальную картину.

7. Размер словаря конечен, симметрия — растущая

7.1 Плато рангового пространства

Эмпирически наблюдается следующий устойчивый эффект: при увеличении объёма данных число уникальных рангов, то есть различимых позиций в ранговом распределении, сначала растёт, но затем выходит на плато и стабилизируется.

Это поведение непосредственно следует из теорем ранговой теории о конечности устойчиво различимых уровней.

В терминах ранговой теории:

• ранг определяется не самим элементом, а его устойчивой статистической позицией;
• различимыми являются только те ранги, которые сохраняются при росте статистики и устойчивы к флуктуациям;
• число таких рангов ограничено структурой функции ранговой стоимости и глубиной иерархии структуры.

Согласно ранговой теории:

Ранговое пространство конечно.
Количество устойчиво различимых рангов не может расти бесконечно, даже при неограниченном росте данных.

График 1 иллюстрирует именно этот эффект насыщения.

7.2 Рост вырожденных групп

В то же время наблюдается противоположный тренд при увеличении объёма статистики растёт число вырожденных групп, то есть рангов, содержащих несколько элементов с одинаковой или статистически неразличимой частотой.

Согласно Теоремам S:

• при фиксированном ранговом пространстве новые элементы могут либо создать новый устойчивый ранг, либо попасть в уже существующий;
• вероятность первого сценария быстро убывает по мере насыщения структуры;
• второй сценарий становится доминирующим.

Это приводит к тому, что:

• размер вырожденных групп увеличивается;
• растёт количество элементов, находящихся в симметричном положении;
• внутренняя энтропия таких групп возрастает.

График 2 отражает именно этот процесс структурного накопления симметрии.

7.3 Структурная причина насыщения

Ключевая причина этого эффекта заключается в различии между:

• ростом данных,
• и ростом структурной сложности.

Данные (тексты, музыка, поведение, сенсорные сигналы) могут расти практически бесконечно. Однако иерархия частот и переходов, лежащая в их основе, обладает ограниченной сложностью.

В терминах Теорем R и S:

• уникальные ранги соответствуют структурным уровням системы;
• эти уровни фиксируются формой функции ранговой стоимости, условиями устойчивости и свойствами цепей Маркова;
• число таких уровней строго ограничено.

Поэтому большинство новых элементов:

• не вводят новую структуру,
• не формируют новые устойчивые ранги,
• а становятся статистически эквивалентными существующим элементам.

Иными словами растёт не глубина иерархии, а её ширина.

7.4 Доминирование симметрии

Итоговая картина рангового пространства при большом объёме данных выглядит следующим образом:

• число уникальных рангов мало и стабильно;
• большинство рангов содержат не один, а множество элементов;
• симметрия внутри вырожденных групп становится доминирующим свойством системы;
• неопределённость локализуется не между рангами, а внутри них.

Это приводит к фундаментальному следствию:

Размер словаря (рангового пространства) ограничен.
Размер вырожденных групп — формально ограничен только структурой данных или размером пространства/группы.

Таким образом:

• структурные уровни системы конечны и устойчивы;
• масса элементов накапливается в симметричных классах эквивалентности.

С точки зрения ранговой теории и Теорем S:

• симметрия не является побочным эффектом;
• она не устраняется ростом данных;
• напротив, она неизбежно доминирует при масштабировании статистики.

Рост данных приводит не к бесконечному усложнению структуры, а к накоплению элементов в симметричных ранговых группах.

ранговая структура насыщается, а симметрия растёт.

8. Стабильность системы: роль симметрии

8.1 Базовый принцип устойчивости

В ранговой теории симметрия не является шумом или дефектом модели.

Она представляет собой необходимый механизм стабилизации распределения.

Согласно теоремам S, ранговая структура любой сложной стохастической системы формируется за счёт двух принципиально различных компонентов:

• устойчивых асимметрий — редких элементов или цепей, которые занимают уникальные ранги и сохраняют свою позицию при росте статистики;
• симметричных вырожденных групп — множеств элементов, статистически неразличимых по ранговой стоимости.

Асимметрии задают форму распределения.

Симметрия обеспечивает его устойчивость.

Ключевое следствие теорем S состоит в том, что именно симметричные группы создают инвариантность рангового распределения: они могут расти, сжиматься и флуктуировать, не изменяя относительное положение устойчивых асимметрий.

8.2 Механизм стабилизации через симметрию

Вырожденные группы действуют как распределённый стабилизирующий слой:

• они занимают основную часть рангового пространства;
• они поглощают большую часть статистических флуктуаций;
• они не влияют на порядок и расстояния между устойчивыми рангами;
• они обеспечивают непрерывность распределения при масштабировании данных.

С точки зрения теорем S:

• устойчивые асимметрии определяют структурный скелет системы;
• симметрия предотвращает его разрушение под действием случайных возмущений.

Иными словами:

Асимметрия определяет структуру.
Симметрия обеспечивает её устойчивость.

Без симметричных групп даже малые флуктуации статистики приводили бы к перестройке всей ранговой иерархии.

8.3 Физическая аналогия устойчивых систем

Аналогичное разделение наблюдается в физических теориях сложных систем.

• Небольшое число устойчивых конфигураций (атомы, молекулы, квазичастицы) определяет наблюдаемую структуру;
• огромное количество короткоживущих, неустойчивых комбинаций не формирует структуру напрямую, но заполняет пространство состояний и стабилизирует макроскопические характеристики.

В ранговой теории:

• устойчивые ранги играют роль структурных уровней;
• вырожденные группы — роль статистического «фона», обеспечивающего устойчивость распределения.

Это универсальный принцип: структура всегда редка, стабильность всегда массовая.

8.4 Масштабирование и асимптотическое поведение

Теоремы ранговой теории предсказывают и эмпирически подтверждают следующий эффект масштабирования:

• при росте объёма данных абсолютное число устойчивых асимметрий остаётся ограниченным;
• их относительная доля в системе быстро убывает;
• основная масса новых элементов попадает в симметричные вырожденные группы.

Типичный пример:

в ранговом пространстве порядка 10^9 элементов число устойчивых асимметрий составляет порядка 10^4–10^5, то есть менее 1%.

Остальные элементы образуют симметричные группы. При дальнейшем росте данных: уникальные асимметрии не исчезают, их структура сохраняется, но доля симметрии продолжает расти.

Это не деградация, а необходимое условие устойчивости.

8.5 Баланс структуры и устойчивости

Ранговая система удерживается в устойчивом состоянии за счёт баланса:

• асимметрии фиксируют ключевые переходы и зависимости;
• симметрия создаёт инвариантный фон, устойчивый к шуму и флуктуациям.

Таким образом:

• симметрия = стабильность,
• асимметрия = структура.

Именно это разделение позволяет ранговым системам:

• масштабироваться на огромные объёмы данных,
• сохранять форму распределений,
• избегать хаотической перестройки структуры.

Это не частное свойство языков или моделей, а фундаментальный закон сложных стохастических систем, формально вытекающий из теорем.

9. Симметрия: источник стабильности и хаоса

9.1 Симметрия как механизм глобальной устойчивости

Подавляющая часть элементов ранговой модели принадлежит вырожденным группам, то есть множествам элементов с одинаковой или статистически неразличимой ранговой стоимостью.

Для таких элементов характерно, что они:

• имеют близкие или совпадающие частоты;
• не пересекают порог бифуркации;
• не формируют устойчивых цепей Маркова;
• не влияют на доминирующие асимметрии рангового распределения.

Формально, для большинства пар элементов (i,j) внутри вырожденных групп выполняется условие:

p(i) p(j) < "Порог бифуркации"​, что, согласно теоремам S, гарантирует отсутствие устойчивых переходов и структурной доминации.

В этом режиме симметричные элементы заполняют ранговое пространство, но не изменяют его иерархию. Они действуют как инвариантный статистический фон, обеспечивающий устойчивость распределения при росте данных. Следовательно:

Симметрия является источником глобальной стабильности ранговой системы.

9.2 Симметрия как скрытый резервуар нестабильности

Хотя симметричные группы не участвуют в формировании структуры напрямую, теоремы S показывают, что именно они содержат основной резерв потенциальной динамики системы.

Внутри вырожденных групп присутствует огромное количество латентных комбинаций, которые:

• статистически подавлены;
• не проявляются в виде устойчивых цепей;
• остаются ниже порога бифуркации.

Однако при изменении условий — например, при воздействии регуляризации, контекста H или изменении распределения вероятностей — часть этих комбинаций может пересечь порог:

p(i) p(j) ≥ "Порог бифуркации"​. В этот момент:

• ранее незначимые связи становятся устойчивыми;
• возникают новые цепи Маркова;
• они начинают конкурировать с существующими доминирующими структурами;
• происходит каскадная перестройка рангового пространства.

Таким образом, симметрия содержит в себе скрытую зону потенциального хаоса, которая активируется при нарушении симметричного режима.

9.3. Порог бифуркации как регулятор режима системы

Теоремы S вводят чёткий критерий, разделяющий устойчивые и хаотические режимы:

• если для всех релевантных пар элементов выполняется p(i) p(j) < "Порог бифуркации", система остаётся стабильной, доминируют симметричные группы, структура неизменна;
• если для некоторой подсистемы p(i) p(j) > "Порог бифуркации", возникают новые устойчивые цепи, происходит потеря доминации старых структур и запускается процесс бифуркации (в терминах теории хаоса).

В рамках ранговое теории, порог бифуркации это точка разрыва цепей Маркова, вызванная ограничением рангового пространства. В то время как перестройка вырожденных групп и как следствие разрушение структуры (в рамках ранговой теории) это эквивалентно процессу бифуркации в рамках теории Хаоса, вызванному потерей устойчивости системы и качественным изменением поведения динамической системы при непрерывном изменении ее параметров, часто приводящее к переходу от упорядоченного поведения к хаотическому или появлению новых состояний.

Поэтому "ранговая бифуркация" → разрыва цепи Маркова, "бифуркация теории хаоса" → нарушение симметрии вырожденных групп приводящая к разрушению к устойчивой структуры рангов и цепей Маркова.

Важно подчеркнуть, что хаос возникает не из-за случайности, а как следствие структурного пересечения порога устойчивости.

Двойственная природа симметрии

С точки зрения теорем S, симметрия обладает принципиально двойственной ролью:

• в нормальном режиме она стабилизирует распределение, поглощает флуктуации и сохраняет иерархию;
• при нарушении — она становится источником наиболее масштабных перестроек и хаотических переходов.

Именно потому, что симметричные группы содержат подавляющую часть элементов, их активация приводит не к локальным изменениям, а к глобальным перестройкам системы.

Таким образом:

Симметрия удерживает систему в устойчивом состоянии, но именно симметрия определяет масштаб хаоса при её нарушении.

Это не является противоречием, скорее наоборот фундаментальное свойство ранговых стохастических систем, строго вытекающее из теорем S.

10. Predictive Coding: ошибка или контекст?

В классической инженерной интерпретации Predictive Coding сигнал ошибки рассматривается как величина отклонения между наблюдением и предсказанием, подлежащая минимизации. Сигнал представлен как шум, который необходимо устранить. В простейшей форме это выражается формулой

err = X − Y,
X — входной сигнал, а Y — предсказание модели.

Такая трактовка подразумевает, что ошибка не обладает собственной структурой и играет роль шума, который необходимо устранить для восстановления корректного сигнала. Однако данное предположение оказывается принципиально неполным при анализе реальных биологических систем и формальной динамики ранговых моделей.

В биологических системах и в ранговой теории так называемая «ошибка» представляет собой альтернативный контекст, обладающий собственной структурой и способный конкурировать с текущим предсказанием.

10.1 Error-сигнал как структурированное распределение

Согласно теоремам S, устойчивость и доминация в системе определяются не величиной отклонения как таковой, а ранговой структурой распределения.

Пусть:

• Y — распределение, соответствующее текущему предсказанию;
• E — альтернативное распределение, традиционно интерпретируемое как «ошибка».

Если предсказание распределения Y является размытым и не формирует доминирующих асимметрий, а альтернативный сигнал E обладает выраженной ранговой структурой и пересекает порог устойчивости, то именно E становится доминирующим контекстом. В этом случае система перестраивает своё состояние в пользу E, независимо от величины отклонения между X и Y.

Формально, если для распределения E выполняется условие доминации, а для Y — нет, то система перестраивает своё состояние в пользу E.

Error-сигнал не является шумом — он является альтернативной гипотезой, представленной в виде структурированного распределения.

10.2 Биологические системы

Классическая формула Predictive Coding предполагает операцию вычитания err из входного сигнала X на следующем шаге:

X−Y → err

однако теоремы S показывают, что устойчивые состояния в ранговых системах не являются следствием арифметического вычитания сигналов.

Вместо этого биологическая система реализует конкуренцию распределений:

• предсказание Y формирует нисходящий контекст;
• альтернативный сигнал E формирует конкурирующий контекст;
• оба распределения сравниваются по устойчивости, доминации и пересечению порогов.

Таким образом, мозг не «удаляет ошибку», а выбирает между контекстами, усиливая один и подавляя другой.

Это соответствует механизму переключения гипотез, а не минимизации ошибки.

10.3. Error как противоположная гипотеза

С точки зрения теорем S, конкурирующие контексты часто образуют антиструктуры в пространстве входных сигналов.

X — сырые входные данные
Y — текущее предсказание: опасно → газы → вредные
E — альтернативная гипотеза: нормативы → контроль → не вредно

Представим, что Y дал "размытое" распределение вероятности (нет ярко выраженной вероятности), тогда E может быть тоже размытым или иметь сильно выраженные ранги. Это значит, что E либо будет преобладать в этой ситуации или быть равнозначной X, но с одним отличием. E будет противоположное распределение Y в пространстве X. Это даёт предсказание альтернативой цепи Маркова.

Например, у нас есть фраза "нитробензол летучее соединение выделяет вредные газы", где предсказание на слове "газы" равно Y. Тогда E имеет противоположное распределение вероятности, "контролируемые", так как E это X - Y. Что это значит?

E(t) = X(t) - Y(t) → X(t+1) = X(t+1)* E(t) → Y(t+1) = "контролируемые"

Мы таким образом, получаем альтернативное мнение. Если вес альтернативного распределения сильнее, чем предсказанного сейчас, то маршрут предсказания меняется на альтернативный.

Это "критическое мышление", когда начальные аргументы слабые, усиливаются альтернативные аргументы. Это и есть контекст ошибки, позволяющий нам выбрать ту сторону, в которой предсказание более сильно выражено. Если же оба распределения Y и E сильно размазаны, то предсказание может постоянно перескакивать между ними, так как ни у одного из них нет сильного сигнала для уверенного предсказания устойчивой цепи Маркова. Перескакивание между маршрутами обобщается в устойчивые переходы: "а может быть", "но если так", "с другой стороны", "я не уверен" и так далее. Именно данный механизм позволяет сомневаться и выстраивать альтернативное мнение и критику как основу контекста. Благодаря ему, система может сказать "я не знаю", как альтернативное E, для какого-то обобщенного распределения или в случае если Y ≈ E.

Такой эффект невозможно получить только через обучение. Система должна балансировать между двумя противоположными предсказаниями.

E формирует альтернативное распределение в ранговом пространстве. Если предсказанное распределение Y размыто (не имеет явной выраженной асимметрией), то разность E=X−Y тоже формирует собственное распределение рангов. Часто оно имеет иной профиль асимметрий, чем Y. То есть E — это альтернативная цепь условных вероятностей, а не сигнал «ошибка». Таким образом, E может иметь собственные устойчивые асимметрии. Если Y слабое, но E содержит выраженный ранг, система естественно переключается на альтернативное предсказание, формируемое E.

Это и есть биологическая основа критического мышления:

слабые аргументы → усиливается противоположный маршрут;
доминирующий E → смена направления рассуждения.

В данном случае, E не противоположное мнение, а противоположная структура рангов.

Важно: E НЕ даёт буквально «противоположные токены». Он даёт противоположную структуру условных вероятностей, то есть ранговые приоритеты, которые не совпадают с Y.

Вернемся к нашему примеру:

Y усиливает цепочку «опасно → вредные газы»
E может усиливать другие устойчивые цепочки в этом контексте: «нормативы → безопасно», «контроль → не вредно»

Эта структура конкурирует с Y. В этом случае скачки между маршрутами — это переключение доминирующего контекста.

Когда Y и E оба размыты: ни один маршрут не доминирует → получаем «а может быть», «с другой стороны», «я не уверен». Система колеблется между двумя конкурентными локальными максимумами. 

Если оба распределения Y и E остаются размытыми и не пересекают порог доминации, система приходит к устойчивому состоянию неопределённости:

«я не знаю».

То есть «сомнение» — это ситуация, когда ни Y, ни E не формируют устойчивый максимум. В рамках ранговой теории, E = контекст, который регулирует маршруты, а не исправляет Y. Таким образом, отрицание и сомнение не являются сбоями системы, а естественными состояниями, возникающими в результате конкуренции ранговых структур.

При доминации распределения E:

• текущая асимметрия теряет устойчивость;
• активируется альтернативный маршрут рассуждения;
• система переходит в режим сомнения или критического анализа.

В теоремах S, контекст H регулирует ранговые приоритеты, E — это частный вид контекста, возникающий из сопоставления X и Y, E НЕ обязано уменьшаться → оно дает альтернативную информацию.

10.4 Ограниченность LLM и отсутствие канала ошибки

Современные большие языковые модели реализуют единый поток вероятностных оценок и не содержат явного механизма представления конкурирующего контекста E.

В терминах теорем S это означает:

• отсутствует явное представление альтернативной ранговой структуры;
• отсутствует механизм симметричной конкуренции гипотез;
• отсутствует устойчивый режим сомнения как структурного состояния.

В результате LLM склонны:

• закрепляться в локальных доминирующих маршрутах,
• не удерживать противоположные гипотезы в конкурентном режиме,
• заменять структурное сомнение стохастической неопределённостью.

10.5 Predictive Coding как конкуренция контекстов

С точки зрения теорем S и ранговой теории, Predictive Coding в биологических системах не сводится к устранению ошибки.

Predictive Coding — это конкуренция контекстов, реализованная через ранговую доминацию и пороги устойчивости.

Именно этот механизм:

• порождает альтернативные интерпретации,
• обеспечивает переключение между гипотезами;
• формирует сомнение и критическое мышление,
• создаёт устойчивые маршруты рассуждений.

Таким образом, «ошибка» в Predictive Coding — это не дефект системы, а её "второй голос" (альтернатива), необходимый для адаптации, обучения и возникновения сложного когнитивного поведения.

Продолжение (часть 3)