Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения
Решить систему дифференциальных уравнений методом исключенияСкачать файл - Решить систему дифференциальных уравнений методом исключения
Решение задач по высшей математике. Решение задач по теории вероятности. Решение задач по сопромату. Решение задач по электротехнике тоэ. Решение задач по теплотехнике. Решение задач по гидравлике. Решение задач по теоретической механике. Решение задач по экономике. Решение задач по материаловедению. Решение задач по физике. Решение задач по химии. Система, которая при этом получается, в общем случае имеет вид Здесь x, у, z — координаты движущейся точки, t — время, f,g,h — известные функции своих аргументов. Система вида 1 называется канонической. Обращаясь к общему случаю системы т дифференциальных уравнений с т неизвестными функциями аргумента t, назовем канонической систему вида разрешенную относительно старших производных. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных от искомых функций, называется нормальной. Если принять за новые вспомогательные функции, то общую каноническую систему 2 можно заменить эквивалентной ей нормальной системой, состоящей из уравнений. Поэтому достаточно рассматривать лишь нормальные системы. Например, одно уравнение является частным случаем канонической системы. Задача Коши для системы 3 формулируется так: Система п функций зависящих от tun произвольных постоянных называется общим решением нормальной системы 3 в некоторой области П существования и единственности решения задачи Коши, если 1 при любых допустимых значениях система функций 6 обращает уравнения 3 в тождества, 2 в области П функции 6 решают любую задачу Коши. Решения, получающиеся из общего при конкретных значениях постоянных называются частными решениями. Решение системы 7 , принимающее при t — to значения , определяет в пространстве некоторую линию, проходящую через точку - Эта линия называется интегральной кривой нормальной системы 7. Задача Ко-ши для системы 7 получает следующую геометрическую формулировку: Теорема 1 устанавливает существование и единственность такой кривой. Нормальной системе 7 и ее решению можно придать еще такое истолкование: Эту кривую называют траекторией системы фазовой траекторией. Траектория системы 7 есть проекция интегральной кривой на фазовую плоскость. По интегральной кривой фазовая траектория определяется однозначно, но не наоборот. Методы интегрирования систем дифференциальных уравнений 2. Метод исключения Один из методов интегрирования — метод исключения. Частным случаем канонической системы является одно уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, Введя новые функции уравнение следующей нормальной системой п уравнений: Можно утверждать и обратное, что, вообще говоря, нормальная система п уравнений первого порядка эквивалентна одному уравнению порядка п. На этом и основан метод исключения для интегрирования систем дифференциальных уравнений. Пусть имеем нормальную систему дифференциальных уравнений Продифференцируем первое из уравнений 2 по t. Имеем Заменяя в правой части произв или, короче, Уравнение 3 снова дифференцируем по t. Обратно, пусть — решение уравнения 5. Дифференцируя это решение по t, вычислим и подставим найденные значения как известные функции По предположению эту систему можно разрешить относительно , хп как функции от t. Можно показать, что так построенная система функций составляет решение системы дифференциальных уравнений 2. Требуется проинтегрировать систему Дифференцируя первое уравнение системы, имеем откуда, используя второе уравнение, получаем — линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами с одной неизвестной функцией. Его общее решение имеет вид. В силу первого уравнения системы находим функцию. Найденные функции x t , y t , как легко проверить, при любых значениях С и С2 удовлетворяют заданной системе. Может оказаться, что функции нельзя выразить через Тогда уравнения n-го порядка, эквивалентного исходной системе, мы не получим. Эта система составлена из пары уравнений 1-го порядка, каждое из которых интегрируется независимо, что дает Метод интегрируемых комбинаций Интегрирование нормальных систем дифференциальных уравнений dXi иногда осуществляется методом интегрируемых комбинаций. Интегрируемой комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений 8 , но уже легко интегрирующееся. Вычитая почленно из первого уравнения системы второе, получаем вторую интегрируемую комбинацию: Одна интегрируемая комбинация дает возможность получить одно уравнение связывающее независимую переменную t и неизвестные функции. Такое конечное уравнение называется первым интегралом системы 8. Если найдено п первых интегралов системы 8 и все они независимы, т. Система дифференциальных уравнений называется линейной, если она линейна относительно неизвестных функций и их производных, входящих в уравнение. Система п линейных уравнений первого порядка, записанная в нормальной форме, имеет вид или, в матричной форме, Теорема 2. Если все функции , непрерывны на отрезке , то в достаточно малой окрестности каждой точки. Если X t является решением линейной однородной системы где с — произвольная постоянная, является решением той же системы. Сумма двух решений однородной линейной системы уравнений является решением той же системы. Линейная комбинация с произвольными постоянными коэффициентами с, решений линейной однородной системы дифференциальных уравнений является решением той же системы. Если X t есть решение линейной неоднородной системы — решение соответствующей однородной системы то сумма будет решением неоднородной системы Действительно, по условию, Пользуясь свойством аддитивности оператора получаем Это означает, что сумма есть решение неоднородной системы уравнений Определение. Векторы где называются линейно зависимыми на интервале , если существуют постоянные числа такие, что при , причем по крайней мере одно из чисел а, не равно нулю. Если тождество 5 справедливо только при то векторы называются линейно независимыми на а, Ь. Заметим, что одно векторное тождество 5 эквивалентно п тождествам: Определитель называется определителем Вронского системы векторов. Пусть имеем линейную однородную систему где -матрица с элементами Система п решений линейной однородной системы 6 , линейно независимых на интервале , называется фундаментальной. Теорема 7 о структуре общего решения линейной однородной системы. Общим решением в области линейной однородной системы с непрерывными на отрезке коэффициентами является линейная комбинация п линейно независимых на интервале а решений системы 6: Система имеет, как нетрудно проверить, решения Эш решения линейно независимы, так как определитель Вронского отличен от нуля: Фундаментальная матрица Квадратная матрица столбцами которой являются линейно независимые решения системы 6 , называется фундаментальной матрицей этой системы. Нетрудно проверить, что фундаментальная матрица удовлетворяет матричному уравнению Если X t — фундаментальная матрица системы 6 , то общее решение системы можно представить в виде — постоянная матрица-столбец с произвольными элементами. Полагая в имеем откуда следовательно, Матрица называется матрицей Коши. С ее помощью решение системы 6 можно представить так: Теорема 8 о структуре общего решения линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений. Общее решение в области линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений с непрерывными на отрезке коэффициентами и правыми частями fi t равно сумме общего решения соответствующей однородной системы и какого-нибудь частного решения X t неоднородной системы 2: Метод вариации постоянных Если известно общее решение линейной однородной системы 6 , то частное решение неоднородной системы можно находить методом вариации постоянных метод Лаг-ранжа. Пусть есть общее решение однородной системы 6 , тогда dXk причем решения линейно независимы. Будем искать частное решение неоднородной системы где — неизвестные функции от t. Этот определитель отличен от нуля всюду на интервале так что система имеет единственное решение где МО — известные непрерывные функции. Интегрируя последние соотношения, находим Подставляя эти значения , находим частное решение системы 2: Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений в которой все коэффициенты — постоянные. Чаще всего такая система интегрируется сведением ее к одному уравнению более высокого порядка, причем это уравнение будет также линейным с постоянными коэффициентами. Другой эффективный метод интегрирования систем с постоянными коэффициентами — метод преобразования Лапласа. Мы рассмотрим еще метод Эйлера интегрирования линейных однородных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Он состоит в следующем. Метод Эйлера Будем искать решение системы где — постоянные. Уравнение 4 называется характеристическим. В его левой части стоит многочлен относительно А степени п. Построенные таким образом п частных решений линейной однородной системы 1 образуют, как можно проверить, фундаментальную систему решений этой системы. Следовательно, общее решение однородной системы дифференциальных уравнений 1 имеет вид — произвольные постоянные. Случай, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни, мы рассматривать не будем. М Ищем решение в виде Характеристическое уравнение Система 3 для определения 01,02 выглядит так: Подставляя получаем откуда Следовательно, Полагая находим поэтому Общее решение данной системы: Запишем систему 1 в виде матрица с постоянными действительными элементами a,j. Напомним некоторые понятия из линейной алгебры. Вектор g Ф О называется собственным вектором матрицы А, если Число А называется собственным значением матрицы А, отвечающим собственному вектору g, и является корнем характеристического уравнения где I — единичная матрица. В этом случае собственные векторы линейно независимы и существует п х п-матрица Т, приводящая матрицу А к диагональному виду, т. Пусть B — вектор-столбец. Если собственные значения матрицы А различны, то общее решение системы 7 имеет вид где — собственные векторы-столбцы матрицы произвольные постоянные числа. Введем новый неизвестный вектор-столбец по формуле где Т — матрица, приводящая матрицу А к диагональному виду. Вводя единичные п-мерные векторы-столбцы решение можно представить в виде Так как столбцы матрицы Т есть собственные векторы матрицы собственный вектор матрицы А. Поэтому, подставляя 13 в 11 , получим формулу Таким образом, если матрица А системы дифференциальных уравнений 7 имеет различные собственные значения, для получения общего решения этой системы: Решить систему Матричный метод 4 Матрица А системы имеет вид 1 Составляем характеристическое уравнение Корни характеристического уравнения. Так как по предположению коэффициенты ау системы 7 действительные, то характеристическое уравнение будет иметь действительные коэффициенты. При комплексном Л решение системы 7 taioKe будет комплексным. Действительная часть и мнимая часть этого решения являются решениями системы 7. Пусть — действительные собственные значения, комплексные собственные значения. Тогда всякое действительное решение системы 7 имеет вид где с, — произвольные постоянные. Решить систему -4 Матрица системы 1 Характеристическое уравнение системы Его корни Собственные векторы матрицы 3 Решение системы где — произвольные комплексные постоянные. Найдем действительные решения системы. Пользуясь формулой Эйлера получаем Следовательно, всякое действительное решение системы имеет вид произвольные действительные числа. Упражнения Методом исключения проинтегрируйте системы: Методом интефируемых комбинаций проинтефируйте системы: Матричным способом проинтефируйте системы: Информация расположенная на данном сайте несет информационный характер и используется для учебных целей.
Лекция 12. Системы дифференциальных уравнений
Магазины где проводят розыгрыши арз
Решение системы дифф. уравнений
Информационные технологии в образовательном процессе
Системы дифференциальных уравнений
Тест на беременность блю отзывы
Кострома казань расписание автобусов
Чемпион нефтекамск каталог товаров