Решение задачи 405
Никита ЖуковскийУсловие:
Внутри квадрата ABCD найдите все точки X, для которых AX + CX = BX + DX.
Решение:
Рассмотрим точку Х в квадрате такую, что AX+CX=BX+DX. Возведем обе части в квадрат. С помощью теоремы Пифагора нетрудно увидеть, что AX²+CX²=BX²+DX² (предварительно опустив из точки Х перпендикуляры на все четыре стороны). Получаем, AX⋅CX=BX⋅DX, или, что равносильно, AX/BX=DX/CX. Предположим, AX/BX=DX/CX=k≠1. Тогда точка Х лежит на окружности Аполлония, относящейся к отрезку АВ с коэффициентом k. Также она лежит на окружности Аполлония, относящейся к отрезку CD с коэффициентом k. В силу симметрии, окружности пересекаются на вертикальной средней линии. Если k=1, то Х лежит на горизонтальной средней линии.
Нетрудно видеть, что точки, лежащие на горизонтальной и вертикальной средних линиях, удовлетворяют условия задачи.
Ответ:
