Решение произвольных систем. Теорема кронекера-капелли

🛑🛑🛑 ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻

о разложении на простейшие множители.
1. Для того, чтобы решить систему уравнений относительно неизвестных x1 и x2 , необходимо выполнить следующие действия:
a) выбрать некоторую систему чисел так, чтобы эта система была системой линейных уравнений с постоянными коэффициентами;
b) найти решения этой системы линейных уравнений, то есть значения x1, x2 ;
c) построить решение нашей системы уравнений (x1 + x2 = y1, y1 x1 + y2 x2 + y3 x3 + ... + ynxn = z1, z1 x1 z2 x3 z3 ... znxn);
о существовании и единственности решения.
1. Теорема Крозекера -- Капелла
Предположим, что в системе уравнений (x, y) = 0, (x', y') = 0 имеется единственное решение. Рассмотрим систему (x'', y'') = (x'' -- x, y'' -- y), (x'''', y'''') = (X'' -- X, Y'' -- Y).
В силу леммы об однородности системы уравнений, имеем
(x'', y)' = (y'', x''),
т.е. (x' -- X', y' -- Y') = 0.
Таким образом, система уравнений (х, у) = (Х, У) имеет единственное решение, т.е. является линейной системой.

В этом видео мы рассмотрим достаточно любопытный пример, который демонстрирует то, как теория графов связана с теорией сложных систем. Дело в том, что здесь мы рассматриваем систему, которая состоит из двух параллельных линий, а нам нужно найти способ ее решения, то есть найти такую фигуру, которая будет их пересекать. В теории графов это называется "решение произвольных систем". Теорема Крокера и Капелли утверждает, что существует такая фигура, которую можно построить, решив такую систему.
Решение произвольных систем с помощью алгебры Ли.
1.Теорема Крокеля-Каппеля (о существовании решения)
Пусть -- произвольная система линейных уравнений. Пусть -- решение данной системы, - матрица системы. Тогда , где .
Доказательство. Пусть - решение, тогда . Так как , то и , -- . Но тогда , откуда и .
2.Теорема о единственности решения.
Пусть - произвольная произвольная система, . Пусть -- её решение. Тогда .
3.Теорема об универсальном разложении.
Замечу, что и задача об определении того, какие системы уравнений можно решить без ограничения общности, также является одной из самых древних математических задач. В частности, в своих "Началах" Евклид пишет: "Я не знаю, каким образом можно было бы решить уравнения, которые имеют более трёх неизвестных, но я знаю, что существуют подобные уравнения с тремя неизвестными, когда все эти неизвестные равны между собой".
В статье рассматриваются системы, в которых элементы или их комбинации не являются элементами самих себя и могут быть заменены другими элементами или комбинациями элементов. Такие системы называются произвольными системами, и их изучение является одной из наиболее важных задач теории множеств.
Задача:
Существует система (S, t) - произвольная система, заданная в пространстве S (пространство всех векторов в Rn), и задача: найти вектор в пространстве Rn, который удовлетворяет некоторой системе (S1, t1) - системе в пространстве (S2, t2).
Решение:
Введем в рассмотрение пространство Rn = S1 \ S2.
Пусть векторы в S1 и S2 заданы в пространстве R1 (т.е. в пространстве всех действительных чисел). Таким образом, S1, S2 - пространства векторов.
В настоящей статье рассматривается задача о решении произвольных систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами, заданных в пространстве произвольной размерности. Показывается, что в общем случае не существует метода решения таких систем, при котором требовалось бы только находить решение системы линейных алгебраических уравнений. Вводится понятие равносильности систем линейных уравнении, показывается теорема Кронекера — Капулли о равносильных системах линейных уравнений.
Ре́шение произво́льных систе́м — это решение системы уравнений, которая может быть записана в виде formula_1.
При построении решения произвольной системы уравнений используются два подхода. Первый подход основан на построении решений одного уравнения, которое называется общим решением системы. Второй подход основан на создании общего решения системы и последующем построении частных решений.
Пусть formula_2 — произвольная система линейных уравнений:
formula_3
Решение произвольных систем — это решение системы линейных алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются коэффициенты системы и свободный член.
Системы линейных уравнений называются "произвольными" если не ясно, какие коэффициенты системы принадлежат к множеству formula_1, а какие нет. Например, если для произвольной системы коэффициентов formula_4
то решения этой системы уравнений можно найти, разделив все коэффициенты системы на formula_5.
Решебник Контрольные Работы 5 Класс
Contextual alternations in English
Дневник производственной практики экономиста