Реферат: Исследование свойств прямоугольного тетраэдра

💣 👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻

Автор работы Андреева Елена Валерьевна, ученица 11 «б» класса

Общеобразовательная муниципальная средняя школа №5
В работе впервые вводится понятие «Прямоугольный тетраэдр». Тетраэдр- многогранник, содержащий 4 грани. Тетраэдр является треугольной пирамидой и содержит 4 трёхгранных угла (рис. 1) Трёхгранный угол- фигура, образованная тремя плоскостями (гранями), имеющими общую точку (вершину) (рис 2) [1,2].
Рис. 1 Тетраэдр. Рис. 2 Трёхгранный угол.
Трёхгранный угол содержит три плоских угла, образованных рёбрами, лежащими на одной грани. Введем понятие прямого трехгранного угла. Назовем прямым трёхгранным углом трехгранный угол, содержащий три прямых плоских угла (рис3), т.е. рёбра трёхгранного угла взаимно перпендикулярны. Введем также понятие прямоугольного тетраэдра. Тетраэдр называется прямоугольным, если содержит прямой трёхгранный угол (рис 4).
Рис. 3 Схема прямого Рис. 4 Схема прямоугольного
Введем также понятия катетных граней, гипотенузной грани, катетов и гипотенуз прямоугольного тетраэдра. Прямоугольный тетраэдр содержит три катетные грани (грани, содержащие прямой плоский угол) и гипотенузную грань (не содержащую прямой угол). Прямоугольный тетраэдр содержит три катета (рёбра прямого трёхгранного угла) и три гипотенузы (рёбра, лежащие на гипотенузной грани). Тетраэдр, катеты которого равны, назовем равнокатет-ным.
Установление или доказательство свойств прямоугольного тетраэдра
Актуальность темы: прямоугольный тетраэдр является простейшей геометрической фигурой, обладающей уникальными свойствами. Изучение этих свойств в школьном курсе математики должно способствовать развитию абстрактного и логического мышления у учащихся.
ІІІ. Доказательства свойств прямоугольного тетраэдра.

I. Квадрат площади гипотенузной грани равен сумме квадратов площадей катетных граней.
Пусть AD- высота гипотенузной грани АВС, проведённая к ребру ВС из вершины А, ОD- проекция AD на катетной грани ОВС, OD перпендикулярно ВС, т.к. AD перпендикулярно ВС и АО перпендикулярно ОВС (обратная теорема о трёх перпендикулярах). SABC= 1/2 BC×AD
S² OBC+S ²OAB +S ²AOC= 1/4(BC²×OD²+OA²×OB²+OA²×OC²)=
=1/4(BC²×OD²+OA²(OB²+OC²))=1/4(BC²×OD²+OA²×BC²), т.к.
S²OBC+S²OAB+S²OAC=1/4 BC²(OD²+OA²)=1/4 BC²×AD² , т.к.
S²1+S²2+S²3=S², что и требовалось доказать.
II
. Сумма квадратов гипотенуз равна удвоенной сумме квадратов катетов.

ВС² = b² + с² (по теореме Пифагора)
АВ² + ВС² + АС² =2а² + 2 b² +2с² , что и требовалось доказать.
III. Объём прямоугольного тетраэдра равен 1/6 произведения катетов.

Поскольку тетраэдр является треугольной пирамидой, его объём
Выберем в качестве основания катетную грань ОВС, тогда катет а будет высотой тетраэдра, т.к. а перпендикулярен ОВС, т.е.
V=(1/3) SOBC· а , т.к.SOBC=(1/2) b·.с
Имеем V=(1/6) а · b · с, что и требовалось доказать.
Расстояние от вершины прямого трёхгранного угла до гипотенузной грани определяется по формуле:
C другой стороны: V = (1/6)abc (свойство 3 прямоугольного тетраэдра).
Из первого свойства прямоугольного тетраэдра:
h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c² , что и требовалось доказать.
Косинусы направляющих углов нормали к гипотенузной грани определяются по формулам:
cos α = h / a= (bc)/√a²b²+b²c²+a²c²
сos β = h / b = (ac) / √a²b²+b²c²+a²c²
α – угол между катетом а и нормалью
β – угол между катетом b и нормалью
γ – угол между катетом с и нормалью.
cosβ = (ac) / √a²b² +b²c² +a²c² α b
Соединим точку Д с точкой А и получим прямоугольный треугольник ОАД
Поскольку h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c²
cosα = (bc)/√a²b²+b²c²+a²c² , что и требовалось доказать.
cosβ = ОД/ОВ = d/b = (ac)/√a²b²+b²c²+a²c²
cos γ = ОД/ОС = d/c = (ab)/√a²b²+b²c²+a²c²
Радиус сферы, описывающей прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:
ОАВС достраиваем прямоугольный параллелепипед ОВДСАКЛМ. Диагонали прямоугольного параллелепипеда являются диаметрами описывающей его сферы, т.к. центр симметрии прямоугольного параллелепипеда совпадает с центром описанной сферы т.е.:
КС = D = √a²+b²+c² (ВС = √b²+c² , ВК = а, КС = √ВС²+ВК² )
Поскольку данная сфера одновременно описывает прямоугольный
VII. Радиус сферы, вписанной в прямоугольный тетраэдр, определяется по формуле:
Дано: ОАВС - прямоугольный тетраэдр
ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катеты. О 1
– центр вписанной сферы
Доказательство: Пусть вписанная сфера касается гипотенузной грани в точке Д. Тогда О 1
Д перпендикулярна гипотенузной грани и О 1
Д = r.
Пусть d o
- единичный вектор нормали к гипотенузной грани, т.е. |d о
| = 1
Координаты этого единичного вектора (cosα; cosβ; cosγ) являются направляющими косинусами нормали к гипотенузной грани.
Найдем проекцию вектора ОО 1
с координатами (r; r; r) на вектор нормали:
ОК = |ОО 1
|cosδ , где δ – угол между вектором ОО 1
и вектором нормали.
|OO 1
|cosδ = (OO 1
·d o
) = r·cosα + r·cosβ + r·cosγ , где (ОО 1
·d о
) – скалярное произведение двух векторов.
Пусть перпендикуляр к гипотенузной грани ОН = h,
(поскольку КНДО 1
является прямоугольником).
С учетом 4-го и 5-го свойств прямоугольного тетраэдра имеем полную формулу:
1 + (bc + ac + ab) / √a²b²+b²c²+a²c² √a²b²+b²c²+a²c² + ab + bc + ac
Свойства равнокатетного прямоугольного тетраэдра.

Стороны гипотенузной грани находим по теореме Пифагора:
т.е. треугольник АВС равносторонний или правильный, что и требовалось доказать.
Проведем отрезок АД перпендикулярно ВС. Отрезок ОД является проекцией отрезка АД на грань ОВС и поэтому ОД будет перпендикулярен ВС по теореме о трех перпендикулярах. Следовательно, угол ОДА является линейным углом двугранного угла между гранями ОВС и АВС
Поскольку АД является высотой правильного треугольника АВС:
АД = (√3/2)АВ = (√3/2)√2 а = √3/2 а
ОД является высотой равнобедренного прямоугольного треугольника ОВС, опущенной с вершины прямого угла. Следовательно:
сos_ОДА = ОД/АД = 1/√3 , что и требовалось доказать.
Результаты исследования: исследования позволили установить свыше 8 важнейших свойств прямоугольного тетраэдра. Поскольку эти исследования проводились впервые, все полученные результаты обладают научной новизной.
Формула, устанавливающая связь между площадями граней прямоугольного тетраэдра, является аналогом теоремы Пифагора для трехмерных фигур и поэтому имеет большую теоретическую значимость.
І
V
. Практическое применение свойств прямоугольного тетраэдра

Результаты исследований можно использовать при решении задач на факультативных занятиях по темам «Пирамида» и «Прямоугольный параллелепипед» в средней школе. С использованием свойств прямоугольного тетраэдра можно найти более рациональные и упрощенные варианты решения задач по сравнению с традиционными методами.
Например: задача №96 (стр.131) учебного пособия: В.М.Клопский, З.А.Скопец, М.И.Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвещение, 1979.
Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник с катетами а и b, высота пирамиды проходит через вершину прямого угла основания и равна Н. Найти площадь полной поверхности.
основанием является прямоугольный H
S полн. = S АОС
+ S АОВ
+ S ВОС
+ S АВС

S АОС
= (1/2)аН; S АОВ
= (1/2)bН; S ВОС
= (1/2)аb;
Найдем основание и высоту боковой грани АВС с помощью теоремы Пифагора:
ВС = √ а² +b² ; АД = √ ОД² +Н² , где ОД – проекция высоты АД на основание ВОС.
Поскольку ОД _ ВС, из подобия треугольников ВОС и ВОД имеем:
ОД/ b = а/ВС или ОД = (аb)/ВС = (аb)/ √ а² +b²
Следовательно, _______________ ________________________
АД = √ (аb)/( а² +b²) + Н² = √[(аb)² +(bH)² + (аH)²]/( а² +b²)
В результате получаем S АВС
= (1/2) √ (аb)² +(bH)² + (аH)²
Cледовательно, S полн.= (1/2) [√ (аb)² +(bH)² + (аH)² + аН + bН + аb]
2) Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:
Sполн.= S АОС
+ S АОВ
+ S ВОС
+ S АВС

S АОС
= (1/2)аН; S АОВ
= (1/2)bН; S ВОС
= (1/2)аb;
___________________ _________________
S АВС
= √ S АОС
² + S АОВ
² + S ВОС
² = (1/2)√ (аb)² +(bH)² + (аH)²
Cледовательно, S полн.= (1/2)(√ (аb)² +(bH)² + (аH)² + аН + bН + аb)
Задача №280 (стр.76) учебного пособия: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия.-М.: Просвещение, 1994.
Ребро куба равно а. Найти площадь сечения, проходящего через диагонали двух его граней
ΔАВС – сечение куба плоскостью, прохо-
Найдем стороны сечения АВС с помощью теоремы Пифагора:
Площадь правильного треугольника АВС найдем по формуле:
S АВС
= (√3/4)(АС) 2
, т.е. S АВС
= (√3/4)(2а 2
) = (√3/2)а 2

2)Решение с использованием первого свойства прямоугольного тетраэдра:
S АОС
= S АОВ
= S ВОС
= (1/2)а 2
(поскольку тетраэдр равнокатетный);
S АВС
= √ S АОС
² + S АОВ
² + S ВОС
²
Cледовательно, S АВС
= (1/2) √ а² + а² + а² = (√3/2)а 2

М.Я.Выгодский. Справочник по элементарной математике. Изд. 6-е, Гостехиздат, М.-Л., 1952.
А.П.Киселев. Геометрия. Учебник для средней школы, ч.1 и 2.- М.: Учпедгиз1951.
Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. Геометрия. Учебник для средней школы.-М.: Просвещение, 1994.

Название: Исследование свойств прямоугольного тетраэдра
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат
Добавлен 23:00:49 22 июня 2005 Похожие работы
Просмотров: 1111
Комментариев: 16
Оценило: 7 человек
Средний балл: 3.9
Оценка: 4   Скачать

Срочная помощь учащимся в написании различных работ. Бесплатные корректировки! Круглосуточная поддержка! Узнай стоимость твоей работы на сайте 64362.ru
Привет студентам) если возникают трудности с любой работой (от реферата и контрольных до диплома), можете обратиться на FAST-REFERAT.RU , я там обычно заказываю, все качественно и в срок) в любом случае попробуйте, за спрос денег не берут)
Да, но только в случае крайней необходимости.

Реферат: Исследование свойств прямоугольного тетраэдра
Мини Сочинение Про Гусаров
Пенсионное Обеспечение Военнослужащих Курсовая Работа
Генератор Списка Литературы Для Курсовой
Реферат: Фауна прісноводних черевоногих молюсків
Курсовая работа по теме Конструктивный расчет червячного редуктора
Банки Практическая Работа
Реферат: Keeping The Rabble In Line Essay Research
Контрольная работа по теме Налоговый федерализм как основа взаимоотношений бюджетов разных уровней
Реферат: Общественная педагогия во время Екатерины II. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: The General Effects Of Fire On Wildlife
Реферат: Назначение и характер аппаратных средств защиты информации
Контрольная работа по теме Особенности коневодства в современной России
Практическая Работа Тема Планирование
Доклад: Нирвана
Расчет Курсовых Разниц
Реферат: Сотрудничество Казахстана и Узбекистана в современных условиях: исторический аспект
Рефераты: Экологическое право
Как Я Вижу Чацкого Сочинение 9 Класс
Региональное Управление Реферат
Практическая Работа На Тему Виды Формы Социальных Институтов
Доклад: Православие и самоидентификация России в XXI веке
Доклад: Дания: Знамя датского короля
Доклад: Должностные обязанности секретаря – машинистки