Разложение функций в степенной ряд

🛑🛑🛑 ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻

(в частности, разложение функции в ряд Фурье).
В этом параграфе мы рассмотрим несколько примеров разложения функций в ряды Фурье.
Разложение в ряд Фурье функции одной переменной.
Пусть f(x) - функция одной переменной, непрерывная на отрезке .
Тогда можно записать
, (1.1)
где - произвольный элемент множества .
Очевидно, что
. (1.2)
Теперь можно ввести оператор Фурье:
(1.3)
При этом, например,
. (1.4)
Далее, мы будем использовать следующее обозначение:
, . (1.5)
Если f(x)=0, то
. При этом

в комплексной форме.
Понятие степенного ряда.
Ряд Тейлора и Маклорена.
Вычисление разложения функций в ряд Тейлора, определение суммы ряда Тейлора.
Определение разложения функции в ряд Маклорена
Изучение свойств функции и построение ее графика.
Исследование основных свойств элементарных функций.
Построение графика функции y = sin(x). Исследование функций на монотонность, экстремумы и выпуклость.
Правила вычисления производных.
Преобразования графиков.
контрольная работа, добавлен 14.05.2012
В данном случае нам необходимо разложить в ряд по степеням t функцию f(t) = f0 + f1t + f2t2 + ... , где f0, f1, f2, ... – некоторые функции, зависящие от n переменных, причем f0, ..., fn – заданные функции.
Пример 1. Разложить в ряд с точностью до члена порядка n = 3 функцию вида
Решение.
Так как в формуле разложения функции в ряд разность степеней не превышает n, то в силу свойства 3 (см. п. 4) можно записать для данного ряда разложение вида:
, где

Теорема единственности разложения.
Определение предела последовательности функций.
Свойства пределов: последовательность функций имеет предел, если и только если бесконечно малая последовательность имеет предел
Изучение основных свойств функций, их производные и дифференциал.
Исследование основных теорем дифференциального исчисления.
Понятие предела функции в точке и на бесконечности.
Техника вычислений производных и дифференциалов сложных функций
Пример:
Разложить в ряд Фурье функцию
Решение:
Функция имеет вид:
Ее разложение в ряд в окрестности точки х=0 имеет вид
где
. В силу теоремы Котельникова функция имеет распределение вероятностей
, где
и
. Согласно теореме Котельникова разложение функции в ряд по степеням х имеет вид
, . Тогда,
. Пример:
Найти предел
Решение: Так как
, то
. Теорема Котельникова о разложении функции показывает, что разложение имеет вид
. Следовательно,
, т.е.
. Так как , то предел равен нулю.
Предел функции в точке.
Степенные ряды.
Приближенное вычисление значений функций.
Ряд Тейлора.
Разложение функций по формуле Маклорена.
Решение задач с использованием функции и ее производной
Понятие функции, её свойства и график.
Основные элементарные функции: их свойства и графики.
Способы задания функции.
Линейная функция, ее свойства и график, способы задания.
Квадратичная функция, свойства и график квадратичной функции, способы задания
Вычисление интегралов
Положим, что функция f (x) является непрерывной на отрезке [a,b] с тем условием, чтобы в окрестности точки x0 функция была дифференцируема и в этой окрестности выполнялось условие f (x0) = 0. Тогда можно рассматривать функцию, как непрерывную на [a, b], т. е. записать непрерывную функцию в виде совокупности непрерывных функций:
f (x) = f (a) + (x - a) f (b) + ... + ( x - x0) f (x0),

Теорема единственности разложения.
Степенные ряды.
Разложение функции по степенному ряду.
Область сходимости степенного ряда.
Определение и основные свойства.
Ряды Тейлора и Маклорена, их применение.
Нахождение области сходимости.
Ряд Фурье
Понятие функции комплексного переменного и ее разложение в ряд Фурье.
Свойства ряда Фурье, его вычисление.
Применение производной для интегрирования ряда Фурье и разложения функций.
Построение и вычисление ряда Фурье функции на отрезке [a;b].
Функция, имеющая бесконечный ряд:
, и не имеющая такого ряда, называется периодической.
Периодический ряд сходится, если существует предел
. Это выражение называют суммой ряда.
Если ряд расходится, то его можно представить как сумму бесконечно убывающих геометрических прогрессий или как сумму бесконечного количества слагаемых.
Задача 1. Найти сумму ряда: .
Решение.
Построим ряд по формуле:
; ; . Вычислим сумму:
. Ответ: сумма ряда равна
. Задача 2. Найти сумму ряда .
Решение:
Теорема.
Если функция f(x) определена и непрерывна на отрезке [a,b], то для любого действительного числа r > 0 и для любой функции g(x), непрерывной на отрезке (–r,r), справедлива формула
, (1)
где степенная функция:
. (2)
Доказательство.
Обозначим через f(t) функцию f(x). Рассмотрим сначала случай, когда f(x)=x, то есть .
Тогда из формулы (1) следует, что
. (3)
Из определения функции x можно записать
. (4)
По определению непрерывности функции в точке x, имеем,
. (5)
Практическая Работа В Экселе
Реферат Народные Праздники
Критерии направления самопроизвольных процессах в изотермических условиях. Термодинамические потенциалы.