Производные построение графиков функции

ПЕРЕМЕННОЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

=== Скачать файл ===

Исследование функций и построение их графиков следует проводить по следующей схеме. Переменная величина называется функцией переменной величины , если каждому допустимому значению соответствует единственное значение. Переменная величина при этом называется независимой переменной или аргументом функции. Множество всех значений аргумента, при которых функция принимает определенные действительные значения, называется областью определения этой функции. Множество всех значений функции называется областью ее значений. Область определения и область значений функции f обозначают символами и соответственно. Область определения называется симметричным множеством , если вместе с каждым элементом оно содержит и противоположный элемент. Функция называется четной , если ее область определения - симметричное множество и выполняется равенство при всех. Функция f называется нечетной , если ее область определения - симметричное множество и выполняется равенство при всех. График четной функции симметричен относительно оси ординат О Y , а график нечетной функции — относительно начала координат. Поэтому, если исследуемая функция четная или нечетная, то ее достаточно исследовать при положительных значениях аргумента из области ее определения. Множество называется периодическим с периодом Т , если для любого выполняется и. Функция f называется периодической с периодом Т , если - периодическое множество с периодом Т и для любого выполняется равенство. График периодической с периодом Т функции переходит в себя при сдвиге на Т вдоль оси абсцисс. Найти точки пересечения графика с осями координат и интервалы знакопостоянства, то есть промежутки на которых или. Прямая на плоскости называется вертикальной асимптотой функции , если один из односторонних пределов или равен. Таким образом, прямая является вертикальной асимптотой функции , если точка - точка разрыва второго рода для функции. Исследовать поведение функции на бесконечности и найти ее горизонтальные и наклонные асимптоты. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при , если при. Для существования наклонной асимптоты при функции необходимо и достаточно, чтобы при выполнялись условия:. Функция называется возрастающей убывающей на , если для любых из неравенства следует неравенство. Теорема 2 достаточное условие монотонности. Пусть функция определена и непрерывна на и дифференцируема на. Если , то возрастает убывает на. Точка называется точкой максимума точкой минимума функции , если во всех точках , достаточно близких к точке и отличных от нее, выполнено неравенство. Значение функции в точке максимума минимума называется максимумом минимумом функции. Точка называется точкой строгого максимума строгого минимума функции , если во всех точках , достаточно близких к точке и отличных от нее, выполнено неравенство. Значение функции в точке называется строгим максимумом строгим минимумом функции. Точки максимума и минимума называются точками экстремума , а значения функции в них — экстремумами функции. Теорема 3 необходимое условие экстремума. Если функция имеет в точке экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует. Точка называется стационарной точкой функции , если. Точка называется критической точкой функции , если или не существует. Из теоремы 3 следует, что точками экстремума могут быть только критические точки. Обратное не всегда верно. Теорема 4 Достаточное условие экстремума. Пусть в точке производная функции обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, тогда точка - точка экстремума функции, причем если:. Теорема 5 Достаточное условие экстремума. Если в точке первая производная функции равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то - точка экстремума, причем:. Алгоритм нахождения точек экстремума для функции, непрерывной на:. Найдем критические точки функции на. Расположим их в порядке возрастания: Они делят на интервалы , ,…,. В каждом из них , она знакопостоянна положительна, или отрицательна. Для определения знака производной в интервале надо определить ее знак в любой точке интервала. Затем по изменению знака производной при переходе от одного интервала к другому определим точки экстремума по теореме 4. Пусть функция дифференцируема на. Тогда существует касательная к графику функции в любой точке , , причем эти касательные не параллельны оси. Функция называется выпуклой вверх вниз на , если график функции в пределах лежит не выше не ниже любой из своих касательных. Теорема 6 достаточное условие выпуклости. Пусть функция дважды дифференцируема на. Тогда если на , то функция выпукла вниз вверх на. Точка называется точкой перегиба функции , если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции. Теорема 7 необходимое условие перегиба. Если в точке перегиба функции вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю. Теорема 8 достаточное условие перегиба. Графиком функции называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости. Исследовать функцию на монотонность и направление выпуклости, найти экстремумы и точки перегиба. Следовательно, , , — критические точки функции. Н анесем критические точки функции на числовую прямую и определим знаки производной в каждом из получившихся промежутков. На промежутках , функция убывает, на промежутках , функция возрастает. Точки и — точки минимума функции,. Точка — точка максимума функции,. Нанесем точки х 1 и х 2 на числовую прямую и определим знаки второй производной в каждом из получившихся промежутков. Н а промежутках и функция выпукла вниз, на промежутке функция выпукла вверх. Точки и являются точками перегиба. Следовательно, — критическая точка функции. Нанесем область определения функции и критическую точку на числовую прямую. Определим знаки производной на каждом из получившихся промежутков. Н а промежутках , функция убывает, на промежутке функция возрастает. Точка — точка максимума,. Т очка - точка возможного перегиба. Определим знаки второй производной в промежутках , ,. На промежутках , функция выпукла вверх, на промежутке функция выпукла вниз. Точка — точка перегиба. Провести полное исследование функции и построить ее график. Найдем точки пересечения графика с осями координат и промежутки знакопостоянства. Ось О х график не пересекает, так как для всех. Функция непрерывна на области определения, так как является элементарной, — точка разрыва. Следовательно, — точка разрыва второго рода, прямая — вертикальная асимптота графика функции. Исследуем поведение функции при и при:. Следовательно, прямая — горизонтальная асимптота графика функции при. Так как , то других наклонных асимптот при нет. Выясним, есть ли наклонные асимптоты при:. Следовательно, при наклонных асимптот нет. Исследовать функцию и построить её график. Областью определения функции является множество. Точки пересечения графика данной функции с осями координат: Ордината точки графика при , при. Так как функция является элементарной, то она непрерывна на всей области определения. Легко находим, что - вертикальная асимптота, причем:. Исследуем поведение функции на бесконечности и найдем горизонтальные и наклонные асимптоты:. Так как , то горизонтальных асимптот нет. Таким образом, существует единственная наклонная асимптота. Из следует , откуда ,. В интервале , следовательно, функция возрастает в этом интервале; в , т. Поэтому точка является точкой максимума: В интервале , следовательно, функция убывает на этом интервале; в , т. В точке имеем минимум: Исследуем график функции на направление выпуклости и определим точки перегиба. Очевидно, что в интервале , следовательно, в этом интервале кривая выпукла вверх; в интервале , т. Так как при функция не определена, то точка перегиба отсутствует. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Брянская государственная инженерно-технологическая академия. Применение производной к исследованию функций и построению графиков Исследование функций и построение их графиков следует проводить по следующей схеме. Найти область определения функции. Исследовать, является ли функция четной или нечетной. Исследовать, является ли функция периодической. Найти вертикальные асимптоты графика функции. Для существования наклонной асимптоты при функции необходимо и достаточно, чтобы при выполнялись условия: Найти точки экстремума и промежутки возрастания и убывания функции. Возрастающие и убывающие функции называются монотонными. Пусть в точке производная функции обращается в нуль и при переходе через эту точку меняет знак, тогда точка - точка экстремума функции, причем если: Если в точке первая производная функции равна нулю, а вторая производная отлична от нуля, то - точка экстремума, причем: Алгоритм нахождения точек экстремума для функции, непрерывной на: Определение направлений выпуклости графика функции и точек перегиба. Если и 1 меняет знак при переходе через , то - точка перегиба функции ; 2 не меняет знака при переходе через , то не является точкой перегиба функции. Найдем область определения функции. Исследуем функцию на монотонность, найдем точки экстремума. Найдем вначале критические точки функции. Исследуем функцию на направление выпуклости, найдем точки перегиба. Определим направление выпуклости графика функции и найдем точки перегиба. Функция не является ни четной, ни нечетной. Функция не является периодической. Исследуем поведение функции при и при: Выясним, есть ли наклонные асимптоты при: Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Исследуем функцию на направление выпуклости и перегиб. Построим график функции рис. Рисунок 4 — Иллюстрация к примеру 7. Легко находим, что - вертикальная асимптота, причем: Исследуем поведение функции на бесконечности и найдем горизонтальные и наклонные асимптоты: Таким образом, существует единственная наклонная асимптота Исследуем функцию на монотонность и найдем экстремумы: График функции изображен на рис. Рисунок 5 — Иллюстрация к примеру 7.

Письмо пожилому человеку образец

Контур заземления ктп 10 0.4

Правила регистрации маломерных судовв казахстане 2016

Производные построение графиков функции

ПЕРЕМЕННОЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

=== Скачать файл ===

Применение производной к построению графиков функции

Решебник.Ру / Кузнецов Л.А. Графики. Задача 1

7. Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Report Page