Применение вейвлет-преобразований. Дипломная (ВКР). Математика.
👉🏻👉🏻👉🏻 ВСЯ ИНФОРМАЦИЯ ДОСТУПНА ЗДЕСЬ ЖМИТЕ 👈🏻👈🏻👈🏻
Вы можете узнать стоимость помощи в написании студенческой работы.
Помощь в написании работы, которую точно примут!
Похожие работы на - Применение вейвлет-преобразований
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Скачать Скачать документ
Информация о работе Информация о работе
Нужна качественная работа без плагиата?
Не нашел материал для своей работы?
Поможем написать качественную работу Без плагиата!
В данной дипломной работе рассматриваются основы теории вейвлетов, применение вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений, вейвлеты
в системе MATLAB.
Вейвлет-анализ представляет собой линейное преобразование сигналов и
отображаемых этими сигналами физических данных о процессах и физических
свойствах природных сред и объектов. Базис собственных функций, по которому
проводится вейвлетное разложение сигналов, обладает многими специальными
свойствами и возможностями. Вейвлет функции базиса позволяют локализовать
особенности анализируемых процессов, которые не могут быть выявлены с помощью
традиционных преобразований Фурье и Лапласа.
Вейвлеты имеют возможность анализировать нестационарные сигналы с
изменением компонентного содержания во времени или в пространстве.
Вейвлеты (wavelet - короткая волна) - это обобщенное название функций
определенной формы, локализованных по оси аргументов (независимых переменных),
инвариантных к сдвигу и линейных к операции масштабирования
(сжатия/растяжения), имеющих вид коротких волновых пакетов с нулевым
интегральным значением. Они создаются с помощью специальных базовых функций,
которые определяют их вид и свойства. По локализации во временном и частотном
представлении вейвлеты занимают промежуточное положение между гармоническими
(синусоидальными) функциями, локализованными по частоте, и функцией Дирака,
локализованной во времени. Впервые этот термин использовали Гроссман и Морле
(A.Grossmann, J.Morlet) [16] при анализе свойств сейсмических и акустических сигналов.
Теория вейвлет-анализа дает удобный и эффективный инструмент для решения
многих практических задач. Основная область применения вейвлет-преобразований -
анализ и обработка сигналов и функций, нестационарных во времени или
неоднородных в пространстве, когда результаты анализа должны содержать не
только общую частотную характеристику сигнала (распределение энергии сигнала по
частотным составляющим), но и сведения об определенных локальных координатах,
на которых проявляют себя те или иные группы частотных составляющих, или на
которых происходят быстрые изменения частотных составляющих сигнала. По
сравнению с разложением сигналов на ряды Фурье, вейвлеты с гораздо более
высокой точностью представляют локальные особенности сигналов, вплоть до
разрывов 1-го рода (скачков). В отличие от преобразований Фурье,
вейвлет-преобразование одномерных сигналов обеспечивает двумерную развертку,
при этом частота и координата рассматриваются как независимые переменные, что
дает возможность анализа сигналов сразу в двух пространствах.
Вейвлет представление сигналов на различных уровнях декомпозиции
(разложения) заключается в разделении функций приближения к сигналу на две
группы: аппроксимирующую - грубую, с достаточно медленной временной динамикой
изменений, и детализирующую - с локальной и быстрой динамикой изменений на фоне
плавной динамики, с последующим их дроблением и детализацией на других уровнях
декомпозиции сигналов. Это возможно как во временной, так и в частотной
областях представления сигналов вейвлет разложениями.
Работа состоит из введения, трех разделов, заключения и списка
использованных источников. Дается краткая характеристика основных вопросов,
которым посвящена дипломная работа, формулируется цель работы. Далее проводится
краткий обзор разделов работы. В последующих разделах предлагаются необходимые
определения, теоремы, формулы (раздел 1), применение вейвлет-преобразований для
решения интегральных уравнений (раздел 2), вейвлеты в системе MATLAB (раздел 3) и заключение.
Детально изучить вейвлет-преобразования, а именно, применение
вейвлет-преобразований для решения интегральных уравнений, изучить особенности
системы MATLAB для исследования
вейвлет-преобразований. Исследовать полученные решения интегральных уравнений с
помощью системы MATLAB.
.1 От анализа Фурье к вейвлет-анализу
Обозначим
через множество всех измеримых функций , определенных на интервале и таких, что
Считаем,
что является кусочно-непрерывными функциями. Всегда можно
предположить, что функции из периодически
продолжаемы на всю вещественную ось , а
именно: для всех . Поэтому
множество называют пространством -периодических
функций, интегрируемых с квадратом, -
векторное пространство. Любую из можно представить рядом Фурье
, (1.1)
где
константы , называемые коэффициентами Фурье, определяются
формулой
. (1.2)
Сходимость
рядов в (1.1) в пространстве означает,
что
Имеются
две явные особенности разложений и ряды Фурье (1.1). Первая особенность состоит
в том, что разлагается в бесконечную сумму взаимно ортогональных
компонент , где ортогональность означает, что
для всех
(1.3)
со
скалярным произведением (1.3), определенным формулой:
(1.4)
где
черта над функцией означает операцию комплексного сопряжения. Условие (1.3)
является следствием факта, что
, (1.5)
образует
ортонормированный базис в .
Вторая
особенность разложения в ряд Фурье (1.1) состоит в том, что ортонормированный
базис порождается растяжением единственной функции
(1.6)
так,
что для всех целых (целочисленное
растяжение).
То
есть каждая -периодическая, интегрируемая с квадратом функция
порождается «суперпозицией» целочисленных растяжений базисной функции .
Из
свойств базиса следует также, что разложение в ряд Фурье (1.1)
удовлетворяет равенству Парсеваля
. (1.7)
Пусть
обозначает пространство всех суммируемых с квадратом
бесконечных последовательностей; другими словами, тогда и только тогда, когда .
Пространству
функций и пространство последовательностей изометричны друг другу. О разложениях в ряды Фурье
(1.1) можно сказать, что каждая -периодическая
интегрируемая с квадратом функция представляет собой -линейную комбинацию целочисленных растяжений базисной
функции . Только одна базисная функция требуется для порождения всех -периодических интегрируемых с квадратом функций. Для
любого целого, большого по абсолютной величине волна имеет высокую частоту, а для малых по абсолютной
величине значений волна имеет
низкую частоту. Таким образом, каждая функция из состоит
из доли различных частот.
Далее
рассмотрим пространство измеримых функций ,
определенных на вещественной оси ,
удовлетворяющих неравенству
Два
пространства функций и совершенно
различны. В частности, каждая функция (ее локальное среднее значение) из должна «затухать» до нуля при стремящемся к , но
синусоидальные (волны) функции не
принадлежат . В сущности, если нужно использовать «волны», порождающие , то эти волны должны были бы затухать до нуля при , и из всех практических соображений это затухание
должно было бы быть очень быстрым. Так мы приходим к рассмотрению вейвлет-разложений,
для порождения . Так же, как и в случае , где одна функция порождает
целое пространство, функция порождает
все . Но если вейвлет имеет
очень быстрое затухание, то как оно может покрыть всю существенную ось сдвигом вдоль . Пусть обозначает множество целых чисел:
Простейший
способ для покрыть все множество состоит
в рассмотрении всех целочисленных сдвигах , а
именно , .
Затем,
также как и в синусоидальном случае, можно рассматривать волны различных
частот. Ради вычислительной эффективности используем для частотного разбиения
целые степени 2. В результате рассматриваем малые волны
, (1.8)
Заметим,
что получена из одной «вейвлет-функции» в результате
двоичного растяжения (т.е. растяжения в раз) и
двухпараметрического сдвига (на ).
«Вейвлет-функция» , двоичные растяжения и двухпараметрические сдвиги
которых достаточны для представления любой функции из . Рассмотрим ортогональный базис, порожденный функцией
.
(1.9)
(1.10)
где
. Заметим, что для любых мы имеем
Следовательно,
если функция имеет единичную норму, то все функции , определенные формулой
, (1.11)
также
имеют единичную норму, то есть
, . (1.12)
Далее
будем использовать символ Кронекера
, (1.13)
Определение
1.1. Функция называется ортогональным вейвлетом, если семейство , определенное формулой (1.11), является
ортонормированным базисом в : это
означает, что
, (1.14)
и
любая может быть представлена как
, (1.15)
где
ряд (1.15) сходится в , а именно
Простейшим
примером ортогонального вейвлета является функция Хаара , определённая формулой
. (1.16)
Ряды,
представляющие функции в (1.15), называются вейвлет-рядами. Аналогично
обозначению коэффициентов Фурье в (1.2) вейвлет коэффициенты определяются формулой
. (1.17)
Если
определить интегральное преобразование в как
, , (1.18)
то
вейвлет-коэффициенты (1.15) и (1.17) принимают вид
(1.19)
Линейное
преобразование называется интегральным вейвлет-преобразованием
относительно «базисного вейвлета».
Следовательно,
- вейвлет коэффициент функции определяется интегральным вейвлет-преобразованием , вычисленным в точке двухпараметрического сдвига с двоичным растяжением , где тот
же ортогональный вейвлет используется для порождения вейвлет ряда (1.15) и для
определения интегрального вейвлет-преобразования (1.18).
Преобразование
Фурье представляет собой важную составляющую анализа Фурье. Если две
составляющие анализа Фурье, явно не связаны друг с другом, две составляющие
вейвлет-анализа: вейвлет ряд (1.15) и интегральное преобразование (1.18), тесно
связаны друг с другом, как это показано формулой (1.19).
Для
того чтобы функции образовывали хороший базис , желательно, чтобы они обладали следующими
свойствами: имели компактный носитель; «присутствовали» бы в любой точке пространства ; могли отражать быстрые колебания функции. Более
формально, от семейства требуется следующие свойства:
.
Компактный носитель каждой функции .
.
Для любой точки существует функция семейства , носитель которого содержит точку .
.
Среди функций семейства имеются такие, которые имеют сколь угодно большую
частоту колебаний.
Первое свойство, в частности обеспечивает существование интегралов,
которые необходимы для вычисления коэффициентов разложения.
Второе
свойство будет выполнено, если потребовать, чтобы наряду с функциями в базис входили бы и их сдвиги по оси , то есть функции вида , для
любых целочисленных .
Третье
свойство будет выполнено, если наряду с функциями в базис будут входить их сжатия и растяжения,
например функции вида , для любых целочисленных .
Если
базис в порождался одной функцией при помощи сдвигов и растяжений, то есть он состоял
из функций вида .
Существует
две функции (всплески) и , сдвиги
и растяжения первой функции порождают
расширяющуюся последовательность подпространств , а
вторая функция порождает базис пространства
. Кроме того, эти функции обладают еще дополнительными
свойствами, которые существенно облегчают вычисленные коэффициенты разложения.
Пример подобного базиса известен сначала прошлого столетия - это базис Хаара.
Однако теория таких функций и базисов всплесков значительно развита позже.
Построим
в пространстве ортонормированный базис Хаара. Он определяется на
основе функции прямоугольной волны
Процедуру
построения базиса Хаара проведем в несколько этапов. Сначала определим
возрастающую последовательность подпространств . На
основе этой последовательности будут естественным образом введены вейвлет
пространства и сами вейвлеты Хаара.
.2.1
Масштабирующая последовательность подпространств
Рассмотрим
систему функций, полученную из целочисленными
сдвигами:
, . (1.20)
Обозначим
- пространство в ,
порожденное линейными комбинациями таких сдвигов ( - замыкание линейной оболочки системы ). Эта система, ,
образует ортонормированный базис пространства .
Рассмотрим
масштабированные сдвиги . Они получаются из сдвигами
на : .
Носитель
функции стал в два раза меньше:
Если
умножить такие функции на , тогда все они будут единичной нормы.
, (1.21)
и
пространство , порожденное ими. Система образует ортонормированный базис пространства .
Пространство
состоит из кусочно-постоянных функций с промежутками
постоянства длины , это линейные комбинации функций . По построению пространство является масштабированной версией пространства , другими словами, . Отсюда
следует, что . Действительно, порождающая функция пространства выражается
в виде линейной комбинации элементов пространства :
Далее
рассмотрим пространство , порожденное функциями:
полученными
из функции сдвигами на по оси . Носитель, , есть
отрезок длины . Система образует
ортонормированный базис пространства , где .
Продолжая
эту процедуру, для любого рассмотрим систему функций:
. (1.22)
Это
ортонормированная система функций, , все
функции системы получаются из сдвигами
на по оси . Пусть - пространство, порожденное системой функций . Имеет место следующее включение:
Продолжим
этот процесс до бесконечности. Тогда мы получим бесконечную систему вложенных
подпространств :
В
каждом пространстве выделен ортонормированный базис , являются
кусочно-постоянными функциями. Поскольку последние образуют плотное множество , то , где
черта сверху обозначает замыкание.
Аналогичным
образом можно ввести пространства с
отрицательным . Тогда получаем систему вложенных подпространств,
бесконечную в обе стороны:
Каждое
из введенных выше подпространств имеет
свой базис, состоящий из функций . При
этом базис следующего пространства не
получается из базиса пространства добавлением
новых элементов. Поэтому пока нельзя из этих базисов пространств получить базис всего пространства . Однако этого можно было бы достигнуть, если бы базис
следующего пространства получался бы из базиса предыдущего пространства
добавлением новых элементов.
Рассмотрим
для простоты пространства и .
Поскольку есть замкнутое подпространство , то
существует ортогональное дополнение к в
пространстве , обозначим его . Тогда
имеем ортогональное разложение пространства : .
Поэтому
к базису пространства можно добавить базис дополнительного пространства и в результате получить базис более широкого
подпространства . Для того чтобы реализовать эту процедуру, выясним,
из каких функций состоит .
Пусть
функция . Поскольку , тогда раскладывается по базису пространства : . Поскольку , то для
любого имеем: .
Пространство входит в ,
следовательно, функции также раскладывается по базису пространства .
Коэффициенты этого разложения были ранее найдены,
. (1.23)
Тогда
условие ортогональности в принимает
вид
Так
как - ортонормированный базис, то из последнего равенства
имеем:
Полученная
система уравнений имеет множество решений (их с овокупность порождает пространство
). Возьмем наиболее простое, состоящее из двух
ненулевых значений:
, (1.24)
называется
вейвлетом Хаара. Она замечательна тем, что ее сдвиг образуют базис пространства . Функции образуют
ортонормированную систему . Кроме того, каждая функция ортогональна каждой функции . Поэтому . Система
функций образует новый ортонормированный базис пространства . Это следует из того, что любой базисный элемент пространства выражается
через и .
Действительно,
Выражения
для остальных получаются сдвигами на .
Таким
образом, получен ортонормированный базис пространства
, где первый набор функций образует ортонормированный базис пространства , а второй выбор - базис
дополнительного пространства в
соответствии с разложением . Новый
базис пространства получается из базиса добавлением
элементов из .
Аналогичным
образом можно получить базис пространства .
Поскольку есть замкнутое пространство , то существует ортогональное дополнение к в пространстве ,
обозначим его , тогда .
Учитывая, что , получаем: .
По
построению пространства является масштабированной версией пространства , другими словами, . Поэтому
и пространство является масштабированной версией пространства . Следовательно, полуцелые сдвиги функции образуют
базис пространства . Обозначим эти
(пронормированные) базисные функции. Поскольку базис пространства образован функциями ,
то базис пространства состоит из элементов .
Он получен из базиса пространства добавлением
новых элементов и . Ясно,
что процесс можно продолжить до бесконечности, используя разложение для любого . Тогда
Ортонормированный
базис пространства образует функции вида
. (1.25)
Следовательно,
ортонормированный базис пространства состоит
из функций
Можно
также продолжить разложение и в «отрицательную сторону», . Поскольку пространства , уменьшаясь при ,
сходятся к нулю, то в пределе мы получаем
. (1.26)
Поэтому
ортонормированный базис пространства будут
образовывать функции
, . (1.27)
Это хорошо известный базис Хаара. Он называется также вейвлетом Хаара.
Определение
1.2. Элементы пространства называются
вейвлетами Хаара. Функции называются базисными вейвлетами. Функция называется масштабирующей функцией Хаара. Функция называется материнским вейвлетом Хаара.
Замечание
1. Формула (1.26) не совсем корректна. Ее правая часть представляет всюду
плотное в множество кусочно-постоянных функций. Для точного
равенства необходимо взять замыкание:
. (1.28)
Замечание
2. Нужно отметить, что вейвлеты Хаара и вейвлеты Добеши первого порядка (db1)
совпадают. Ниже на рис. 1.1 приведен график вейвлета Хаара, а на рис. 1.2 -
график вейвлета Добеши первого порядка.
Вейвлет-функции Мейера определены в частотной области
следующим образом:
Соответствующая
масштабирующая функция есть:
Функция
[PHI, PSI, T]=meyer(LB, UB, N) возвращает масштабирующую функцию и вейвлет-функцию
Мейера, вычисленную в -точках регулярной сетки в интервале [LB,UB].
Переменная должна быть степенью числа 2. Выходными параметрами
являются масштабирующая функция PHI и вейвлет-функция PSI, вычисленные
на сетке . Если требуется в качестве выходного параметра
получить только одну из перечисленных функций, то требуется четвертый аргумент:
[PHI,T]=meyer(LB,UB,N,'phi')
или [PSI,T] =meyer(LB,UB,N,'psi')
Следующий
пример строит графики вейвлета Мейера и его масштабирующей функции, который
изображен на рисунке 1.3.
subplot (211), plot (x,psi); title('Meyer
wavelet')(212), plot (x,phi); title('Meyer scaling function')
.4 Построение вейвлетов Добеши с компактным носителем
Построим
вейвлеты с компактным носителем и с нулевых
моментов. Эти свойства необходимы для обеспечения хороших свойств приближения
вейвлет-разложений. Найдем вещественные вейвлеты и с компактным носителем и с нулевыми моментами.
Из
компактности носителя вытекают следующие факты.
. Фильтр
коэффициентов разложения состоит
из конечного числа вещественных ненулевых членов. Поэтому частотная функция является тригонометрическим членом. Если длина носителя
равна , то
имеется не более ненулевых коэффициентов .
. Преобразование
Фурье является ограничением на целой аналитической функции экспоненциального типа. В
частности, является гладкой класса .
. Из
непрерывности следует [5, стр. 207, 243], что . Тогда из масштабирующего уравнения вытекает: .
Если
требовать нулевых моментов функции , то функция имеет
специальный вид
, (1.29)
Кроме
того, коэффициенты фильтра вейвлета обладает
свойствами:
Поскольку
восстанавливается по функции по формуле
, (1.30)
то
построение ортонормированных вейвлетов начнем с нахождения соответствующей
функции . Такая функция должна удовлетворять отношению
. (1.31)
Замечание
1. Имеются общие условия Коэна и Лоутона на тригонометрический полином , обеспечивающие восстановление вейвлетов и ,
порождающих ортогональный кратномасштабный анализ [5, стр. 253,259,263].
Найдем
функцию в виде ,
удовлетворяющую . Будем искать сначала функцию , удовлетворяющую соотношению
. (1.32)
где
- также тригонометрический полином по . Действительно, тригонометрический полином по степеням имеет
вещественный коэффициенты, поэтому , и тогда
- четная -периодическая
функция, следовательно, полином по .
Поскольку , то его можно записать как полином . Тогда
, (1.33)
удовлетворяющую
условию . Обозначим . Тогда
из двух последних соотношений и из получаем
. (1.34)
Это
равенство выполняется для любого ,
следовательно, и для любого . Для
нахождения из соотношения воспользуемся
следующим фактом.
Лемма
1 (Безу). Если и -
полиномы степеней и без
общих, нулей, то существует единственные полиномы и степени , такие
что
Используем
лемму для многочленов . Тогда существуют единственные полиномы и степени
меньше , такие что
Сделаем
замену . Тогда . Из
единственности многочленов и получаем . Тогда
. (1.35)
Поскольку
искомое выражение для есть . Найдем в явном виде из :
Раскладываем
первый сомножитель в ряд Тейлора:
где
- биномиальные коэффициенты. Тогда
поскольку
степень не превосходит . Итак,
искомое решение уравнения степени имеет вид
Замечание
1. Мы получили единственное решение минимальной
степени . Существуют другие решения более высокой степени.
Если - решение более высокой степени, то разность - это решение однородного уравнения
. (1.37)
Поскольку
сомножитель не делится на , то делится на ,
следовательно, . Подставляя это выражение в уравнение , получаем единственное условие на многочлен :
Последнее
условие означает анитисимметричность относительно , что в свою очередь означает, что является многочленом, содержащим нечетные степени
переменной . Тогда решением уравнения является
, (1.38)
Вывод.
Функция удовлетворяет соотношению тогда и только тогда, когда функция является тригонометрическим полиномом вида
где
- многочлен вида (1.36) или (1.38), в котором подобран так, что на
отрезке .
Для
нахождения нужно «извлечь квадратный корень» из уравнения . Это позволяет следующее.
Лемма
Рисса. Пусть - неотрицательный тригонометрический полином вида
Тогда
существует тригонометрический полином вида
Замечание
2. Многочлен находится по многочлену неоднозначно, например можно умножить на , где - любое целое. Другие возможности выбора вытекают из
неоднозначности выбора первого корня из
четверки корней .
Замечание
3. Для каждой четверки комплексных корней выбираем
пару или , такую
что оба корня лежат либо внутри, либо снаружи единичного круга на комплексной
плоскости.
Хотя
существуют шесть способов выбора двух корней из четырех, легко видеть, что
другие комбинации двух корней не будут давать разложения на множители с
действительными коэффициентами. Из каждой пары действительных
корней выбираем одну любую внутри или снаружи единичного круга. Среди корней на
единичном круге выбираем один корень из пары вырожденных корней.
Замечание
4. В нашем случае ортогонального вейвлета с
компактным носителем частотная функция является
тригонометрическим полиномом, удовлетворяющим соотношению . Если требовать нулевых
моментов функции , то функция имеет
специальный вид
где
- такой тригонометрический полином. Полагаем
где
многочлен (минимальной) степени определяется
формулой
Функция
находится спектральной факторизацией многочлена
где
пробегает индексы всех выбранных корней.
Пример
вейвлета Добеши db2. Вейвлет-функция строится
по формуле . Она называется вейвлетом Добеши и обозначается
символом «db2». Ее график показан на рис. 1.4.
При
нахождении частотной функции ортогонального
вейвлета с компактным носителем используется процедура
спектральной факторизации, «извлечения квадратного корня» из . Как уже отмечалось, находится
по многочлену неоднозначно, например можно множить на , где - любое число. Имеется также произвол в выборе
половины корней многочлена . Эти
различные выборы корней приводят к различным фазам функции и, в свою очередь, к различным коэффициентам фильтра
и вейвлетам, все из которых удовлетворяют условию ортогональности и условию
нулевых моментов. В случае вейвлетов Добеши нули находятся внутри единичной
окружности.
Для
практических целей (например, в обработке изображений) необходимо иметь фильтры
с некоторыми свойствами симметрии. Легко видеть, что если действительный фильтр
является симметричным относительно центрального
коэффициента, т.е. , то
Если
действительный фильтр является антисимметричным относительно центрального
коэффициента, т.е. , то
В
обоих случаях частотна функция имеет
фазу, которая является линейной по , . Такие фильтры называются фильтрами с линейной фазой,
потому что фаза его передаточной функции линейна по .
Кроме
системы Хаара, никакая система функций и не может одновременно иметь компактный носитель и
быть симметричной. Однако попробовать приблизиться, насколько возможно, к
симметрии. Для симметричных вейвлетов фаза частотной функции нулевая. Поэтому можно потребовать, чтобы фаза была минимальной среди всех с тем же самым значением . Это требование определяет некоторый выбор
тригонометрического полинома . Такие
вейвлеты, полученные из вейвлетов Добеши называются симлетами.
Идея
построения симлетов состоит в том, чтобы, выбирая нули, получить наименее
асимметрический вейвлет. Для этого нужно вычислять фазу функции в зависимости от выбора корней.
Если
игнорировать линейную фазу, то фаза может быть вычислена следующим образом.
Поскольку является произведением сомножителей вида или , полная
фаза есть сумма фазовых вкладов каждого сомножителя. Для коэффициента вида
и
соответствующая фаза, игнорируя линейный вклад, имеет вид
Аналогично
для коэффициентов вида , где является
действительным, имеем
и
соответствующая фаза, снова игнорируя линейный вклад:
Отклонение
фазы от линейной фазы определяется суммой разовых фазовых
отклонений.
Для
нахождения наименее ассиметричного фильтра необходимо найти все корни. Выбирая
пары корней внутри единичного круга, либо вне круга, строим с минимальной фазой. Корни, лежащие на единичном
круге, имеют линейную фазу. Замечание 5. Для вейвлета Добеши малого порядка
недостаточно свободы для различных вариантов вы
Похожие работы на - Применение вейвлет-преобразований Дипломная (ВКР). Математика.
Реферат: Культура Древней Индии 7
Дипломная работа по теме Разработка программы государственной поддержки крестьянско-фермерских хозяйств на примере муниципального образования 'Лысьвенский городской округ'
Реферат: Лабораторная работа по Операционным системам
Реферат: РУП Завод Электроника и его система управления качеством продукции
Реферат по теме Секреты блестящего ума или тренируйте свои мозги
Сочинение И Т Хруцкий
Реферат: Твердые отходы. Скачать бесплатно и без регистрации
Контрольная работа: Исследование НДС фрагмента плиты перекрытия в здании детского сада на 120 мест
Курсовая работа по теме Обоснование целесообразности ведения рыбного промысла в Фарерской экономической зоне
Национальная Экономическая Безопасность Реферат
Реферат: Бюджеты субъектов РФ и приоритеты социальной политики. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: План Введение 3 История развития государственного финансового контроля в России. 4 Финансовое управление Россией от основания государства до начала XX века. 5
Доклад по теме Приемы саморегуляции в состоянии гнева и раздражения
Курсовая работа по теме Создание систем электронной торговли энергосберегающими технологиями
Платон Собрание Сочинений
Дипломная работа: Windows ХР
Контрольная работа по теме Расчет и выбор мощности электродвигателя, построение и анализ его механической характеристики
Курсовая работа по теме Методи пошуку та відбору артиста його персональним менеджером
Курсовая работа по теме Практическая ценность института автономии
Сочинение По Картине Мила Хабаров 7
Статья: Системный подход при анализе тепловых агрегатов
Контрольная работа: Политическая ситуация БАССР в 1920-1930 гг. Развитие института президентства в Башкирии
Похожие работы на - Проблема насилия над детьми в современной российской семье