Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод Ньютона - Математика реферат

Главная

Математика
Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод Ньютона

Биография Исаака Ньютона, его основные исследования и достижения. Описание порядка нахождения корня уравнения в рукописи "Об анализе уравнениями бесконечных рядов". Методы касательных, линейной аппроксимации и половинного деления, условие сходимости.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Пензенский государственный университет
Кафедра "Высшая и прикладная математика"
на тему «Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод Ньютона»
Проверил: доцент кафедры высшей и прикладной математики
Во многих приближённых методах нахождения корня уравнения заранее требуется знать какой-либо отрезок, на котором лежит искомый корень, и притом только один этот корень (то есть предъявляемый отрезок не должен содержать других корней уравнения). В этом случае говорят, что корень отделён на отрезке . Отделить корень - значит указать такой отрезок, на котором корень отделён. Заметим, что отделить корень можно не единственным образом: если корень отделён на каком-либо отрезке, то годится и любой меньший отрезок, содержащий этот корень. Вообще говоря, чем меньше отрезок, тем лучше, но при этом не следует забывать о том, что на отделение корня на меньших отрезках также тратятся вычислительные усилия, и, быть может, весьма значительные. Таким образом, часто для начала довольствуются весьма широким отрезком, на котором корень отделён.
Кроме того, часто нужно знать начальное приближение x 0 к корню (который, заметим, неизвестен). В качестве этого начального приближения берут, как правило, любую точку отрезка, на котором отделён корень, например, его середину, если описание метода не предписывает поступить как-нибудь иначе.
Приведём некоторые утверждения, которые могут помочь при отделении корня.
Теорема 1 Если функция непрерывна на отрезке, причём значения её в концах отрезка и - это числа разных знаков, то на отрезке лежит по крайней мере один корень уравнения.
Практический смысл теоремы в том, что если мы, вычисляя значения функции в некоторых точках, видим, что вычисление в двух соседних точках даёт значения разных знаков, то на отрезке между этими точками лежит отыскиваемый корень. Если же известно заранее, что корень один, то получаем, что корень отделён на найденном отрезке. Этот же способ, когда мы наугад вычисляем значения функции в каких-то точках, может привести к отделению корней и в случае, когда корней несколько, но заранее известно их число или хотя бы оценка сверху для их количества. Рассмотрим иллюстрирующий сказанное пример.
Теорема 2 Если функция строго монотонна на отрезке, то есть возрастает или убывает на, то на этом отрезке уравнение не может иметь более одного корня.
Доказательство сразу следует из того, что строго монотонная функция принимает каждое своё значение ровно один раз. Если 0 является значением функции, то и значение 0 принимается один раз, то есть уравнение имеет один корень.
Тем самым, если отрезок, на котором заведомо имеется хотя бы один корень (например, если и - разного знака), - это отрезок строгой монотонности функции, то на отделён ровно один корень.
Заметим, что интервалы монотонности функции можно отыскивать, решая неравенства (что соответствует возрастанию функции) и (что соответствует убыванию).
Информация о предыдущих приближениях корня используется для нахождения последующих приближений не только в методе касательных. В качестве примера другого такого метода мы приведём метод, основанный на нахождении xi + 1 по двум предыдущим приближениям xi и xi ? 1 с помощью линейной интерполяции, называемый методом хорд .
Идея метода состоит в том, что по двум точкам Mi ? 1( xi ? 1; f ( xi ? 1)) и Mi ( xi ; f ( xi )) построить прямую Mi ? 1 Mi (то есть хорду, соединяющую две точки графика y = f ( x )) и взять в качестве следующего приближения xi + 1 абсциссу точки пересечения этой прямой с осью Ox . Иными словами, приближённо заменить на этом шаге функцию f ( x ) её линейной интерполяцией, найденной по двум значениям : x и xi ? 1. (Линейной интерполяцией функции f ( x ) назовём такую линейную функцию , значения которой совпадают со значениями f ( x ) в двух фиксированных точках, в данном случае -- в точках xi ? 1 и xi .)
Уравнение хорды - это уравнение прямой, проходящей через две точки (a, f(a)) и (b, f(b)).
В зависимости от того, лежат ли точки xi ? 1 и xi по разные стороны от корня x * или же по одну и ту же сторону, получаем такие чертежи:
Рис 3 . Построение последовательного приближения по методу хорд: два случая.
Итак, очередное последовательное приближение будет зависеть от двух предыдущих: . Найдём выражение для функции .
Интерполяционную линейную функцию будем искать как функцию с угловым коэффициентом, равным разностному отношению
построенному для отрезка между xi ? 1 и xi , график которой проходит через точку Mi :
Заметим, что величина ki может рассматриваться как разностное приближение для производной f '( x ) в точке xi . Тем самым полученная формула (1) -- это разностный аналог итерационной формулы метода Ньютона. Вычисление по формуле (1) гораздо предпочтительнее вычисления по другой полученной нами формуле
хотя эти две формулы математически тождественны, поскольку при использовании формулы (1) в случае вычислений с округлениями (например, на компьютере) достигается меньшая потеря значащих цифр.
Имеются две разновидности применения формулы (1). Первая разновидность: вычисления ведутся непосредственно по формуле (1) при , начиная с двух приближений x 0 и x 1, взятых, по возможности, поближе к корню x * . При этом не предполагается, что x * лежит между x 0 и x 1 (и что значения функции f в точках x 0 и x 1 имеют разные знаки). При этом не гарантируется, что корень попадёт на отрезок между xi ? 1 и xi на каком-либо следующем шаге (хотя это и исключено). В таком случае затруднительно дать оценку погрешности, с которой xi + 1 приближает истинное значение корня x * , и поэтому довольствуются таким эмпирическим правилом: вычисления прекращают, когда будет выполнено неравенство , где - желаемая точность нахождения корня. При этом полагают приближённое значение корня равным .
Достаточное условие сходимости, таково: Это неравенство может быть переписано в виде откуда получаем, что сходимость гарантируется, когда, во-первых, так как (тем самым проясняется смысл выбора знака числа ), а во-вторых, когда при всех X на всём рассматриваемом отрезке, окружающем корень. Это второе неравенство заведомо выполнено, если
где . Таким образом, угловой коэффициент K не должен быть слишком мал по абсолютной величине: при малом угловом коэффициенте уже на первом шаге точка X[1] может выскочить из рассматриваемой окрестности корня X[*] , и сходимость итераций к корню может быть нарушена.
Снова предположим, что корень отделён на отрезке и знаки и различны (функция меняет знак при переходе через корень ).
Положим и и вычислим значения функции в левом конце отрезка, , и в его середине ; . Сравним знаки чисел и . Если эти знаки различны, то корень лежит в интервале ; если же одинаковы, то тогда различны знаки и , и корень лежит в интервале . (Возможен ещё случай ; тогда корень уже найден.) В обоих случаях смены знака корень оказывается отделён на отрезке либо , длина которого ровно в два раза меньше длины исходного отрезка . Обозначим этот отрезок половинной длины через (то есть положим в случае, когда и разных знаков, и в случае, когда и одного знака).
Далее повторим процесс для отрезка : снова отыщем его середину , найдём значение функции и сравним знак этого числа со знаком ; если знаки разные, то корень отделён на , если одинаковые, то на (или же оказывается, что ; тогда корень найден). Длина отрезка, на котором отделён корень, уменьшилась ещё в два раза.
Рис 4. Последовательное деление отрезка пополам и приближение к корню
Поступая тем же образом и далее, получаем, что после делений длина отрезка, на котором лежит корень, сокращается в раз и становится равной (если корень не был точно определён на каком-то предыдущем этапе, то есть не совпал с при некотором ).
Пусть  - заданная точность, с которой требуется отыскать корень. Процесс деления отрезков следует остановить, как только станет верным неравенство . Очевидно, что если при этом положить
то расстояние от корня , лежащего где-то в интервале , до середины этого интервала будет не больше , то есть приближённое равенство будет выполнено с нужной точностью. C увеличением точности заметно возрастает объем вычислительной работы, поэтому метод удобно применять для нахождения грубого корня уравнения.
Общая постановка задачи. Отделение корня. Уточнение корня. Метод половинного деления (бисекции). Метод хорд (секущих). Метод касательных (Ньютона). Комбинированный метод хорд и касательных. Задания для расчётных работ. творческая работа [157,4 K], добавлен 18.07.2007
Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости. курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015
Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников. курсовая работа [473,4 K], добавлен 15.02.2010
Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений. лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009
Графическое решение нелинейного уравнения. Уточнение значение одного из действительных решений уравнения методами половинного деления, Ньютона–Рафсона, секущих, простой итерации, хорд и касательных, конечно-разностным и комбинированным методом Ньютона. лабораторная работа [32,7 K], добавлен 11.06.2011
Изучение методов уточнения корней нелинейных уравнений (половинного деления, хорд, касательных, простой итерации). Метод хорд и касательных дает высокую скорость сходимости при решении уравнений, и небольшую - метод половинного деления и простой итерации. контрольная работа [58,6 K], добавлен 20.11.2010
Модифицированный метод Ньютона. Общие замечания о сходимости процесса. Метод простой итерации. Приближенное решение систем нелинейных уравнений различными методами. Быстрота сходимости процесса. Существование корней системы и сходимость процесса Ньютона. дипломная работа [1,8 M], добавлен 14.09.2015
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Метод Ньютона реферат. Математика.
Лабораторная Работа По Биологии Соцветия
Курсовая работа по теме Создание и редактирование таблиц Microsoft Word
Курсовая работа: Роль бюджета в социально-экономическом развитии государства. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая Работа На Тему Загальновизнані Принципи Та Норми Міжнародного Права Та Їх Відображення В Кримінальному Процесі України
Реферат На Тему Модемы И Их Использование
Стих Про Солнце Собственного Сочинения
Контрольная работа по теме Розрахунок косозубої передачі
Реферат: Содружества независимых государств
Приведение законодательства субъектов РФ в соответствие с Конституцией РФ
Отчет О Преддипломной Практике Программиста
Пособие по теме Корекційні заняття
Реферат: Жизнь и творчество Фадеева. Скачать бесплатно и без регистрации
Лекция по теме В. Симоненко — 'лицар на білому коні' в українській літературі. 'Лебеді материнства'
Темы Итого Сочинения 2022 2022
Сочинение по теме Современна ли сатира Маяковского
Сочинение На Тему Уважение
Дипломная работа: Текущая бухгалтерская отчетность организации порядок составления и анализ ее основных показателей
Реферат: Правовой статус арбитражных управляющих и их объединений в РФ
Дипломная работа: Использование дидактических игр для развития познавательного интереса на уроках математики в 5 классе. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат: «Европейская валютная система. Европейский валютный союз как форма европейской валютной интеграции»
Організація маркетингового дослідження на ринку дитячого харчування - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
Оформление и регистрация прав на недвижимое имущество - Государство и право курсовая работа
Криминологическое значение следов биологического происхождения - Государство и право курсовая работа