Представления и членения системы

Второй параграф четвёртой главы "СИСТЕМЫ и МОДЕЛИ"

Итак, каждое представление системы - это некоторая модель. Разные представления (модели) связаны морфизмами, которые можно точно определить, используя понятие каркаса [71, 72] . Важно различать систему как органическое целое и ее представления, позволяющие схематизировать и эксплицировать на математическом языке свойства этого целого. 

Далее мы рассмотрим, как язык моделей позволяет говорить о представлениях внутренних систем. Для описания представления удобно ввести понятие каркаса. Каркасом мы условились называть четверку К = <М, {Ri}, {Pi}, {Ak}>, где М - базовое множество; {Ri} - множество отношений на М; {Рi} - множество имен отношений с указанной местностью; {Ak} - совокупность аксиом, в которых участвуют как символы отношений Ri, так и имена отношений - Pi. Ясно, что <М, {Ri} > - это модель, которую мы будем называть базовой моделью каркаса. Базовое множество М состоит из компонентов, на которые членится система, а Ri - постоянные, т. е. не зависящие от конкретного состояния системы, отношения на базовом множестве. 

Например, базовое множество может состоять из ячеек памяти вычислительной машины, а отношения Ri определять конструктивные связи между ними. Базовую модель каркаса уместно назвать членением системы, а сам каркас - представлением. Имена отношений Pj обозначают возможные отношения на базовом множестве М, удовлетворяющие аксиомам Ak. Выбор вместо каждого Pi одного из возможных отношений pj задает некоторую модель <М, {Rj}U{Pj}>, которая определяет состояние каркаса К, представляющее состояние системы. 

Например, одноместные отношения (предикаты) могут определять содержимое ячеек памяти, а аксиомы задают соотношения между этим содержимым, задаваемые конструкцией машины (некоторые авторы определяют систему как частный случаи каркаса, а состояние системы - как его состояние). 

По сути дела каркас - промежуточное образование между моделью и теорией. Можно сказать, что каркас - это недовоплощенная теория: уже задано множество, где она будет воплощена, и часть отношений на этом множестве. Столь же допустимо сказать, что каркас - это модель, где часть отношений еще не зафиксирована, но заданы аксиомы, ограничивающие мыслимое многообразие реализаций их отношений. 

Теперь можно определить класс каркасов, задающих представление некоторой системы. Для этого нужно указать только способ, которым связываются различные представления и их состояния. Ниже приведено определение морфизмов моделей, являющихся состояниями каркасов.

Системой будем называть класс каркасов между состояниями которых определены морфизмы. В этом определении содержится типичная для математики редукция сущностей - утеряно собствено понятие системы как особой сущности, определяющей класс допустимых представлений - каркасов. Объект отождествляется со способом его представления. Такой ценой в математике покупается сама возможность вводить точные определения. 

Но на уровне философского анализа мы обязаны различать собственно систему как некую целостность и класс ее представлений - каркасов. Никакое математическое определение типа «Х есть У, обладающий какими-то свойствами», не может создать понятия о новой сущности. (Математикам известны почти непреодолимые трудности введением понятия функции.) Однако если не стеснять себя математической традицией и допустить некоторое нарушение правил грамматики, то понятие системы можно ввести так: система - это когда есть класс представлений целого каркасами, для состояний которых заданы попарные морфизмы.

После того как получено само определение системы, обратимся к оставшейся непроявленной технической детали - к определению морфизма состояний каркасов. Трудность здесь состоит в том, что эти состояния могут быть весьма разнообразными моделями, обычные определения изоморфизма и гомоморфизма имеют смысл только для моделей с одинаковой сигнатурой (для алгебраических объектов общей природы). Эту трудность удалось преодолеть (см. [72]) за счет довольно сложной логической конструкции. Кратко эта конструкция состоит в следующем.

Сначала определяется композиция каркасов К1 = <М1, {R1i},{Р1j}, {A1k}>, К2= <М2, {R2i}, {P2j}, {A2k}>. Этой композицией называется каркас К= <М, {Ri},{Pj}, {Ak}>, у которого М =M1 U M2 , {Ri} = {R1i} U {R2i}, {Pj}={P1j} U {P2j} U {Ф} (Ф - имя двуместного отношения) и {Ak} = {A1k} U {A2k} U {A3k}, где {A3k множество аксиом, определяющих тип композиции.

Тогда морфизмом состояний S1 и S2 каркасов К1 и К2 называется такое состояние композиции этих каркасов, при котором имя сотношения Ф интерпретируется как соответствие между базовыми множествами М1 и М2. Понятие морфизма специально исследовалось в гл. 3.

Подчеркнем, что морфизмы принципиально определяются не для моделей, а для моделей как состояний каркасов, т. е. в определенном концептуальном контексте. 

Изложенные понятия составляют необходимый категориальный аппарат описания внутренних (организменно подобных) систем. Наличие морфизмов между разными представлениями системы позволяет рассматривать эти представления как категорию. С другой стороны, если рассматривать категорию, объекты которой суть системы, то мы будем вынуждены учесть следующее соображение. Сравнение систем, т. е. гомологизация их подсистем, возможна лишь после того, как определен аспект сравнения или, другими словами, фиксировано определенное представление всех систем.

Поэтому любая категория, объектами которой являются системы, отражает лишь одно из их представлений. Чтобы учесть все представления, надо, очевидно, ввести целый класс категорий на одних и тех же объектах. Разные членения одной и той же системы взаимосвязаны. Поэтому между категориями, отражающими разные представления систем, должны существовать функторы, переводящие каждый объект в самого себя. 

Пусть, например, категория С1 богаче катеrории С, т. е. по свойствам системы в категории С1 можно судить о ее свойствах в категории С2. Тогда существует функтор F : С1 в С2. Проиллюстрируем это одним математическим примером. Пусть заданы категории С1 и С2 на одном и том же классе объектов. Тогда можно определить категорию G, называемую H-произведением категорий С1 и С2 (обозначается G=ПН (С1, С2), следующим образом:

1) ОЬ G = ОЬ С1=ОЬ С2,

2) Нg (А, В)= Нс1 (А, В) Х Нс2 (А, ,В),

3) (u1, u2) (v1, v2) = (u1v1, u2v2), где u1, v1 из C1; u2, v2 из C2.

Если категории С1 и С2 определенными способами сравнивают объекты, то категория G сравнивает объекты одновременно двумя способами. Категория G богаче как категории С1, так и С2. 

Существуют функторы - проекции F1 : G в C1 и F2 : G в C2, сопоставляющие паре морфизмов (u1, u2) первый ее элемент или соответственно второй. 

Например, если С1 - категория морфизмов - «ткани», а С2 - категория морфизмов «рисунка», то G - категория бигомоморфизмов. 

Возьмем другой пример : пусть С1 - категория, объектами которой являются клубные системы, а морфизмами - гомоморфизмы соответствующих моделей клубной системе <М, а>, р> соответствует модель <М, а>). Морфизмы категории С2 из <М, а>, р> в <М', а'>, р'> - это пары <М'инд, g>, где М'инд из М'н, а g - отображение из М'инд в Мн. Композиция морфизмов определяется следующим образом: если (М'инд, g) : <<М, а>, р> в <<М', а'>, р'>, а (М"инд, g') : <<М', а'>, р'> в <<M", а">, р">, то (М' инд, g) (М"инд, g') = (N, u), где N - прообраз множества М' при отображении g', а u = g'g. 

Тогда G - категория перестановочных морфизмов. Пусть задан класс С всех категорий на определенном классе объектов и заданы функторы между этими категориями. Если суmествуют функторы F : С1 в С2 и G : С1 в Сз, то существует композиция этих функторов FG : С1 в С3 . Класс категорий вместе с функторами образует так называемую большую категорию (в больших категориях в отличии от обычных совокупность морфизмов Н(А, В) не множество, а класс). Такие категории - один из возможных сnособов описания систем во всем многообразии их представлений.