Основные правила вычисления производных

Правила вычисления производных

=== Скачать файл ===

Вроде бы все понятно. Если все делать по определению, то через пару страниц вычислений вы просто уснете. Поэтому существуют более простые и эффективные способы. Для начала заметим, что из всего многообразия функций можно выделить так называемые элементарные функции. Это относительно простые выражения, производные которых давно вычислены и занесены в таблицу. Такие функции достаточно просто запомнить — вместе с их производными. Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Производные этих функций надо знать наизусть. Тем более что заучить их совсем несложно — на то они и элементарные. Если элементарную функцию умножить на произвольную постоянную, то производная новой функции тоже легко считается:. Очевидно, элементарные функции можно складывать друг с другом, умножать, делить — и многое другое. Так появятся новые функции, уже не особо элементарные, но тоже дифференцируемые по определенным правилам. Эти правила рассмотрены ниже. Пусть даны функции f x и g x , производные которых нам известны. К примеру, можно взять элементарные функции, которые рассмотрены выше. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций:. Итак, производная суммы разности двух функций равна сумме разности производных. Слагаемых может быть больше. Функция f x — это сумма двух элементарных функций, поэтому:. Аналогично рассуждаем для функции g x. Только там уже три слагаемых с точки зрения алгебры:. А вот фиг вам! Производная произведения считается совсем по другой формуле. Формула несложная, но ее часто забывают. И не только школьники, но и студенты. Результат — неправильно решенные задачи. Функция f x представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто:. У функции g x первый множитель чуть посложней, но общая схема от этого не меняется. Очевидно, первый множитель функции g x представляет собой многочлен, и его производная — это производная суммы. Обратите внимание, что на последнем шаге производная раскладывается на множители. Формально этого делать не нужно, однако большинство производных вычисляются не сами по себе, а чтобы исследовать функцию. А значит, дальше производная будет приравниваться к нулю, будут выясняться ее знаки и так далее. Для такого дела лучше иметь выражение, разложенное на множители. Для такой функции тоже можно найти производную:. Это одна из самых сложных формул — без бутылки не разберешься. Поэтому лучше изучать ее на конкретных примерах. В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного:. Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. У нее тоже есть производная, однако найти ее по правилам, рассмотренным выше, не получится. Как правило, с пониманием этой формулы дело обстоит еще более печально, чем с производной частного. Поэтому ее тоже лучше объяснить на конкретных примерах, с подробным описанием каждого шага. Ищем производную сложной функции по формуле:. А теперь — внимание! Теперь разберемся с функцией g x. Например, штрих от суммы равен сумме штрихов. Ну, вот и хорошо. Таким образом, вычисление производной сводится к избавлению от этих самых штрихов по правилам, рассмотренным выше. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем:. Немногие знают, что в роли n вполне может выступать дробное число. Например, корень — это x 0,5. А что, если под корнем будет стоять что-нибудь навороченное? Снова получится сложная функция — такие конструкции любят давать на контрольных работах и экзаменах. Находим производную по формуле:. Производные элементарных функций Элементарные функции — это все, что перечислено ниже. Итак, производные элементарных функций: В общем, константы можно выносить за знак производной. Производная суммы и разности Пусть даны функции f x и g x , производные которых нам известны. Тогда можно найти производную суммы и разности этих функций: Функция f x — это сумма двух элементарных функций, поэтому: Только там уже три слагаемых с точки зрения алгебры: Функция f x представляет собой произведение двух элементарных функций, поэтому все просто: Для такой функции тоже можно найти производную: В числителе и знаменателе каждой дроби стоят элементарные функции, поэтому все, что нам нужно — это формула производной частного: По традиции, разложим числитель на множители — это значительно упростит ответ: Производная сложной функции Сложная функция — это не обязательно формула длиной в полкилометра. В таких случаях помогает замена переменной и формула производной сложной функции: Ищем производную сложной функции по формуле: Как видно из последнего выражения, вся задача свелась к вычислению производной суммы. В качестве последнего примера вернемся к производной степени с рациональным показателем: Для начала перепишем корень в виде степени с рациональным показателем: Находим производную по формуле: Наконец, возвращаемся к корням:

Викинг 2016 история

Какое и сколько масла заливать в уаз

Демонстрационный вариант по истории 9 класс 2017