Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл - Математика реферат

Главная

Математика
Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл, как предел интегральной суммы. Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический и механический смысл определенного интеграла.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Тема: «Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл. Необходимое условие интегрируемости»
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница
Геометрический смысл определенного интеграла
Механический смысл определенного интеграла
Необходимое условие интегрируемости
Интеграл (от лат. integer - целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.
Определенный интеграл - одно из основных понятий математического анализа - является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t). Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = б до t = в. Движение в общем случае предполагается неравномерным.
1). Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов
t 0 = б < t 1 < t 2 < … < t i -1 < t i < … t n -1 < t n = в,
где t i - t i -1 = Дt i . На произвольном участке [t i -1 , t i ] будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью v = v(ф i ), t i -1 ? ф i ? t i . Тогда за время Дt i пройденный путь приближенно равен s i = v(ф i )Дt i . Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).
2). Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме:
Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.
3). Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n>?) и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим л = Дt i , тогда
Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию.
Пусть скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция времени v = v(t). Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t 0 до T. Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи. В результате получим:
Пусть материальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = F S .
Пусть теперь материальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).
Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x 0 ?). Таким образом,
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Естественный ход решения каждой из рассмотренных конкретных задач позволяет установить ту математическую операцию, с выполнением которой связано получение ответа во всех вопросах такого же характера.
Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x).
1). Заданный отрезок разделим на n промежутков (равных или неравных) точками
причем для всякого индекса i, принимающего целые значения от 1 до n, имеет место соотношение x i -1 0). При этом интегральная сумма становится переменной величиной, имеющей конечный предел, если заданная функция непрерывна, а отрезок [a, b] конечен.
Этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b].
Соответствующее математическое выражение таково:
Знак ?, представляющий растянутую S (начальную букву латинского слова «Summa»), символизирует здесь бесконечное увеличение числа слагаемых интегральной суммы. Буквы a и b, указывающие границы отрезка, на котором выполняется суммирование, называются пределами интегрирования.
Таким образом, определенным интегралом функции от f(x) в границах от a до b называется предел интегральной суммы вида
при условии, что длина наибольшего частичного отрезка стремится к нулю.
Выясним теперь возможность непосредственного использования операции, которая привела к понятию определенного интеграла, для решения соответствующих задач. Ограничимся при этом двумя примерами на вычисление площадей.
Вычислить площадь, заключенную между прямой y=x, осью Ox и прямой x=1.
Решение. Так как данная прямая пересекается с Ox в начале координат, то отрезок интегрирования здесь будет [0, 1].
1). Разбиением этого отрезка на n равных между собой частей получим точки деления с абсциссами:
2). В каждом из полученных n отрезков выберем правые концы, т.е.
и слагаемые интегральной суммы выразятся в виде
где i - номер элементарного отрезка и принимает значения от 1 до n.
3). Интегральная сумма выразится в виде
(здесь применена формула n членов арифметической прогрессии).
4). Находим предел этой суммы при n > ?:
Таким образом, искомая площадь равна 1/2 кв.ед. Проведенное вычисление, явно невыгодное из-за своей громоздкости, знакомит с операцией, составляющей сущность определенного интеграла.
Вычислить площадь, ограниченную параболой y=x 2 , осью Ox и прямой x=1.
1). Разбивая отрезок интегрирования [0, 1] на n равных частей, получим такие же абсциссы точек деления, как в примере 1.
2). В каждом из частичных отрезков выберем снова правые концы:
и слагаемые интегральной суммы выразятся в виде
Помещенная в скобках сумма квадратов первых n чисел натурального ряда может быть преобразована по формуле, доказываемой в элементарной алгебре:
4). Переход к пределу интегральной суммы при n > ? дает S = 1/3. Таким образом, искомая площадь равна 1/3 кв.ед.
Выполненное в этих двух примерах непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм
оказалось возможным только благодаря простой структуре операции суммирования, да и то оно потребовало проведения сложных подсчетов. Надо отметить, что такие приемы вычисления (здесь применен способ Архимеда) существовали до появления понятия интеграла.
Поэтому естественным развитием понятия определенного интеграла является выбор целесообразного способа его вычисления. Такой способ, оказывается, дает операция интегрирования ввиду наличия связи между определенным интегралом и интегралом неопределенным.
Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница
Рассмотрим криволинейную трапецию (рис. 2), у которой правая граничная прямая не зафиксирована. Площадь этой трапеции измеряется переменной величиной, зависящей от положения ее правой границы х. Пусть это будет некоторая функция Ц(х). Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема. Функция Ц(х), выражающая площадь переменной криволинейной трапеции (с подвижной правой стороной), является первообразной для функции y = f(х), графиком которой является кривая, ограничивающая эту же трапецию сверху.
По смыслу определения первообразной запись
будет оправдана, если мы докажем, что
Доказательство. Дадим начальному значению х приращение Дх. Тогда функция, выражающая площадь криволинейной трапеции, получит приращение
Это приращение площади (рис. 2) больше площади прямоугольника хМNх 1 , равной f(х)Дх, и меньше площади прямоугольника xN 1 M 1 x 1 , равной
f(х+ Дх)Дх, т.е. f(х)Дх < ДЦ(х) < f(х+ Дх)Дх.
Деление всех членов неравенств на Дх > 0 дает
Если теперь ввести условие Дх > 0, то в силу непрерывности функции
Таким образом, отношение заключено между двумя переменными, имеющими общий предел при Дх > 0. Но из этого следует,
Этим доказано, что функция Ц(х), выражающая площадь криволинейной трапеции, является первообразной для f(х).
Выражение этой функции возможно в двоякой форме.
Исходя из того, что рассмотренная ранее задача о площади криволинейной трапеции (с фиксированными границами) получает свое разрешение с помощью определенного интеграла, можно записать
Вместе с тем эта же площадь может быть выражена как частное значение функции Ц(х) при x = b, и тогда
Аналогично площадь криволинейной трапеции (рис. 2) с переменной правой границей х выражается в виде
Этот интеграл оказывается функцией от верхнего предела.
С другой стороны, если Ц(х), выражающая площадь aAMx, является первообразной для функции f(х), то можно представить ее в виде Ц(х)=F(х)+C, где F(х) - некоторая первообразная для той же функции.
Приравнивая первые части равенств (1) и (2), получаем
Для определения постоянной С используем то, что при х = а трапеция превращается в отрезок, и ее площадь оказывается равной нулю, т.е.
а отсюда С = ? F(а) и, следовательно,
Давая аргументу х значение фиксированного верхнего предела, т.е. при x = b, мы получаем выражение определенного интеграла через значения первообразной в виде следующей формулы:
Это - формула Ньютона-Лейбница. Она связывает определенный интеграл с неопределенным.
Для вычисления определенного интеграла эта формула обычно записывается в виде
где знак служит символическим обозначением разности между значениями первообразной функции F(b) и F(а).
Таким образом, формула Ньютона-Лейбница используется для вычисления определенного интеграла так:
1). Находится первообразная для данной подынтегральной функции.
2). Вычисляются частные значения первообразной подстановкой значений x = a и x = b, где b - верхний и a - нижний пределы интегрирования.
3). Определяется разность частных значений первообразной F(b) - F(а).
Доопределим понятие определенного интеграла при a ? b следующими равенствами:
Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется.
1). Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на
3). Интеграл обладает свойством линейности: для любых функций f(x) и g(x) и любой постоянной A
4). Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a; b], то f(x) · g(x) также интегрируема на этом отрезке.
5). Если f(x) - периодическая функция с периодом T, то для любого a
Для определенных интегралов верны также следующие оценки (предполагается, что функции f и g интегрируемы на [a; b]).
2). В частности, если f(x) ? 0, то
3). Если f(x) ? 0 для любого х  [a; b] и существует х 0  [a; b] такое, что f(x 0 )>0, причем f(x) непрерывна в х 0 то
4). |f(x)| интегрируема на [a; b], причем
5). Если на отрезке [a; b] m ? f(x) ? M, то
Геометрический смысл определенного интеграла
Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a < b,
численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3).
Действительно, при стремлении к нулю ломаная (рис. 4) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.
Учитывая сказанное, можно указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,
(Первый из интегралов - площадь квадрата со стороной единичной длины; второй - площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий - площадь четверти круга единичного радиуса).
Механический смысл определенного интеграла
Пусть материальная точка М перемещается под действием силы , направленной вдоль оси Ох и имеющей переменную величину F = F(x), где х - абсцисса движущейся точки М.
Найдем работу А силы по перемещению точки М вдоль оси Ох из точки х = а в точку х = b (a < b). Для этого отрезок [a; b] точками а = х 0 , х 1 , ..., b = х n (х 0 < х 1 <...< х n ) разобьем на n частичных отрезков [х 0 ; х 1 ], [х 1 ; х 2 ], ..., [х n -1 ; х n ]. Сила, действующая на отрезке [х i -1 ; х i ], меняется от точки к точке. Но если длина отрезка Дх i = х i - х i -1 достаточно мала, то сила на этом отрезке изменяется незначительно. Ее можно приближенно считать постоянной и равной значению функции F = F(x) в произвольно выбранной точке х = c i [х i -1 ; х i ]. Поэтому работа, совершенная этой силой на отрезке [х i -1 ; х i ], равна произведению F(c i )•Дх i . (Как работа постоянной силы F(c i ) на участке [х i -1 ; х i ]).
Приближенное значение работы А силы на всем отрезке [a; b] есть
Это приближенное равенство тем точнее, чем меньше длина Дх i . Поэтому за точное значение работы А принимается предел суммы при условии, что наибольшая длина л частичных отрезков стремится к нулю:
Итак, работа переменной силы , величина которой есть непрерывная функция F = F(x), действующая на отрезке [a; b], равна определенному интегралу от величины F(x) силы, взятому по отрезу [a; b].
В этом состоит механический смысл определенного интеграла.
Аналогично можно показать, что путь S, пройденный точкой за промежуток времени от t = a до t = b, равен определенному интегралу от скорости v(t):
масса т неоднородного стержня на отрезке [a; b] равна определенному интегралу от плотности
Необходимое условие интегрируемости
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.
Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании определения.
Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки [х i -1 ; х i ] разбиения имеют одинаковую длину Дх i , равную 1/n, где n - число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [х i -1 ; х i ] разбиения точка о i совпадает с правым концом этого отрезка, т.е.
где i=1, 2, ..., n. (В силу интегрируемости функции у = х 2 , выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек о 1 , о 2 , ..., о п на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы). Тогда
Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна
Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной. Установление связи между определенным и неопределенным интегралами позволило разработать эффективный метод вычисления определенного интеграла.
1). Баврин И.И. Высшая математика. Учебник для педагогических институтов. Москва: Просвещение, 1993 год, 319 стр.
2). Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридма М.Н. Высшая математика для экономистов. Москва: Юнити, 2000 год, 271 стр.
3). Маркович Э.С. Курс высшей математики с элементами теории вероятностей и математической статистики. Москва: Высшая школа, 1972 год, 480 стр.
Необходимое и достаточное условие существования определенного интеграла. Равенство определенного интеграла от алгебраической суммы (разности) двух функций. Теорема о среднем – следствие и доказательство. Геометрический смысл определенного интеграла. презентация [174,5 K], добавлен 18.09.2013
Понятие и геометрический смысл определенного интеграла, его свойства. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Объем тела вращения. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования. курс лекций [514,0 K], добавлен 31.05.2010
Понятие первообразной функции, теорема о первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства и таблица. Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл и основные свойства. Производная определенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница. курсовая работа [232,5 K], добавлен 21.10.2011
Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов. презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014
Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Вычисление определенного интеграла как предела интегральной суммы по формуле Ньютона–Лейбница, замена переменной и интегрирование по частям. Длина дуги в полярной системе координат. контрольная работа [345,3 K], добавлен 22.08.2009
Способы определения точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница и приближенного значения интеграла по формуле трапеций. Порядок нахождения координаты центра тяжести однородной плоской фигуры ограниченной кривой, особенности интегрирования. контрольная работа [459,6 K], добавлен 16.04.2010
Ознакомление с понятием и основными свойствами определенного интеграла. Представление формулы расчета интегральной суммы для функции y=f(x) на отрезке [а, b]. Равенство нулю интеграла при условии равенства нижнего и верхнего пределов интегрирования. презентация [64,2 K], добавлен 18.09.2013
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл реферат. Математика.
Сочинение по теме Тема совести в произведениях Достоевского
Контрольная работа: Оценка умышленного преступления, хищения и хулиганства
Контрольная Работа По Алгебре Тема Квадратичная Функция
Контрольная Работа На Тему Фундаментальные Исследования И Разработка Перспективных Технологий Нтп
Реферат: Проектирование кабельной линии
Промежуточный Мозг Реферат
Практическое задание по теме Организация аналитической работы и анализа хозяйственной деятельности
Что Я Думаю О Расизме Эссе
Доклад: Д.И. Фонвизин. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Творчество М.М. Зощенко
Реферат: 1 основные определения курса 5
Сочинение Про Руслана И Людмилу
Реферат: Определение технического состояния рабочей тормозной системы и стояночной тормозной системы авто
Развернутый План Сочинения На Тему Наш Класс
Реферат: Методика освоенного объема в Управлении Проектами
Реферат: Русь. Быт и нравы в XV-XVII веках. Скачать бесплатно и без регистрации
Реферат по теме Радіоактивне забруднення водного середовища
Реферат На Тему Изо Герб России
Реферат: Взаимодействие в конфликте
Реферат Повреждение Локтевого Сустава
Установка насосная передвижная ЦА-320 - Геология, гидрология и геодезия курсовая работа
Актуальный ассортимент и приготовление горячих соусов к блюдам из мяса - Кулинария и продукты питания курсовая работа
Оценка и учет активов и пассивов - Бухгалтерский учет и аудит курсовая работа