Необходимое условие экстремума функции
Необходимое условие экстремума функцииСкачать файл - Необходимое условие экстремума функции
Говорят, что функция имеет вовнутреннейточке области D локальный максимум минимум , если существует такая окрестность точки , для каждой точки которой выполняется неравенство. Если функция имеет в точке локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум или просто экстремум. Теорема необходимое условие существования экстремума. Если дифференцируемая функция достигает экстремума в точке , то каждая частная производная первого порядка от функции в этой точке обращается в нуль. Точки, в которых все частные производные первого порядка обращаются в нуль, называются стационарными точками функции. Координаты этих точек можно найти, решив систему из уравнений. Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции коротко можно сформулировать и так:. Встречаются случаи, когда в отдельных точках некоторые частные производные имеют бесконечные значения или не существуют в то время как остальные равны нулю. Такие точки называются критическими точками функции. В случае функции двух переменных необходимое условие экстремума, а именно равенство нулю частных производных дифференциала в точке экстремума, имеет геометрическую интерпретацию: Выполнение в некоторой точке необходимого условия существования экстремума вовсе не гарантирует наличия там экстремума. В качестве примера можно взять дифференцируемую всюду функцию. Обе ее частные производные и сама функция обращаются в нуль в точке. Однако в любой окрестности этой точки есть как положительные большие , так и отрицательные меньшие значения этой функции. Следовательно, в этой точке, по определению, экстремума не наблюдается. Поэтому необходимо знать достаточные условия, при которых точка, подозрительная на экстремум, является точкой экстремума исследуемой функции. Рассмотрим случай функции двух переменных. Предположим, что функция определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в окрестности некоторой точки , которая является стационарной точкой функции , то есть удовлетворяет условиям. Теорема достаточные условия существования экстремума. Пусть функция удовлетворяет вышеприведенным условиям, а именно: В случае если то функция в точке достигает. В общем случае, для функции достаточным условием существования в точке локального минимума максимума является положительная отрицательная определённость второго дифференциала. Если в точке для функции. Найти точки локального экстремума функции. В первой стационарной точке , следовательно, и Поэтому для этой точки требуется дополнительное исследование. Значение функции в этой точке равно нулю: Следовательно, в любой окрестности точки функция принимает значения как большие , так и меньшие , и, значит, в точке функция , по определению, не имеет локального экстремума. Во второй стационарной точке следовательно, Поэтому, так как то в точке функция имеет локальный максимум:. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Читинский институт Байкальского государственного университета экономики и права. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения функций Необходимое условие существования экстремума Говорят, что функция имеет вовнутреннейточке области D локальный максимум минимум , если существует такая окрестность точки , для каждой точки которой выполняется неравенство Если функция имеет в точке локальный максимум или локальный минимум, то говорят, что она имеет в этой точке локальный экстремум или просто экстремум. Необходимое условие существования экстремума в случае дифференцируемой функции коротко можно сформулировать и так: Достаточные условия существования экстремума Выполнение в некоторой точке необходимого условия существования экстремума вовсе не гарантирует наличия там экстремума. Предположим, что функция определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно в окрестности некоторой точки , которая является стационарной точкой функции , то есть удовлетворяет условиям ,. Тогда, если , то в исследуемой точке функция имеет локальный экстремум, то экстремума нет, то требуется дополнительное исследование. В случае если то функция в точке достигает локального максимума при и локального минимума при. Иными словами, справедливо следующее утверждение. Если в точке для функции для любых не равных одновременно нулю , то в этой точке функция имеет минимум аналогично максимум , если. Найти точки локального экстремума функции Решение. Найдем частные производные функции и приравниваем их к нулю: Решая эту систему, находим две точки возможного экстремума: Найдем частные производные второго порядка для данной функции: Далее, при а при Следовательно, в любой окрестности точки функция принимает значения как большие , так и меньшие , и, значит, в точке функция , по определению, не имеет локального экстремума. Во второй стационарной точке следовательно, Поэтому, так как то в точке функция имеет локальный максимум: Соседние файлы в папке Функции многих переменных
Понятие экстремума функции
Венгрия карта на русском языке озеро хевиз
Необходимые и достаточные условия существования экстремумов. Примеры.
График приема врачей детская поликлиника боровичи
Что значит темпераментная личность
Подробная карта сша на русском языке
Достаточные условия экстремума.
Как сделать глазурь для торта из какао
Должностная инструкция водителя в городской поликлинике
Через сколько месяцев можно делать