Морфизмы каркасов

Третий параграф третьей главы "СИСТЕМЫ и МОДЕЛИ"

Рассмотренных примеров морфизмов вполне достаточно для сравнения объектов в рамках математики. Однако для теории систем нужны и другие типы морфизмов. Например, как описать динамику систем? Как сравнивать разные состояния одной и той же системы? Известно, что для большинства процессов можно создать условия, в которых они будут обратимы. Допустим, что мы стали описывать изменение с помощью гомоморфизмов или корреспонденций. Но обратимый гомоморфизм или корреспонденция есть просто изоморфизм. Таким образом, вместо сравнения мы получили тождество. Это связано с тем, что при гомоморфизмах отображаются все отношения и потому система лишается всякой свободы.  Даже такой простейший пример изменения, как перестановка подсистем в системе, требует разрыва некоторых связей. Оказывается, существуют более гибкие конструкции морфизмов, способные отражать нетривиальное сходство стадий некоторого процесса.

Вероятно, впервые подобная конструкция была предложена Д'Арси Томпсоном [81]. Он заметил, что контуры тела многих рыб тоnологически гомеоморфны. Поэтому, растягивая и сжимая контур некоторой рыбы, можно получить контур рыбы, на первый взгляд совершенно не похожей на первую.

Интересно в этой конструкции следующее: строение рыбы рассматривается с точностью до метрики - до расстояний между точками, в то время как отображается только топология (т. е. близость соседних точек). Таким образом, отображаемая структура беднее реальной. С точки зрения классической математики такой nрием бессмыслен - все рыбы топологически изоморфны и их просто не надо различать. Для биолога же интересно то, что раз­ные структуры имеют нетривиальное сходство. Эта конструкция вполне содержательна, поскольку устанавливает гомологию частей разных рыб. Подобные морфизмы, позволяющие деформировать объект, называются динамическими, хотя это и не значит, что всякая деформация - продукт изменения (например, в работе Д'Арси Томпсона вовсе не утверждается, что эволюция формы тела рыбы проходила согласно его схемам).

Для описания динамики систем можно использовать конструкцию каркаса, о которой уже шла речь в гл. 2. 

Как же сравнивать состояния каркаса или состояния разных каркасов? Совершенно очевидно, что рисунок и ткань могут сравниваться независимо.

Вводятся понятия и приводятся примеры "тканевого морфизма" и "морфизма рисунка".

Морфизмы такого типа нужны тогда, когда объекты сравниваются лишь по некоторым отношениям, т. е. устанавливаетсн нетривиальное сходство. Например, фразы текста можно сравнивать по синтаксической структуре (скажем, с помощью гомоморфизмов по отношению порядка и по отношению синтаксического управления) или по словарному составу. Любопытно, что «тканевые» морфизмы можно делить на два типа: те, которые являются гомоморфизмами только по одной сигнатуре и те, которые являются гомоморфизмами по двум сигнатурам одновременно. Первые морфизмы отражают лишь сравнение объектов по некоторым отношениям, а вторые - по всем отношениям.

Морфизмы второго типа будем называть структурными. Оказывается, более естественно выделять подмодели с помощью именно структурных инъективных морфизмов, так как иначе подмодель по другой сигнатуре может как угодно отличаться от самой модели. Таким образом, подмоделью будет класс изоморфных пар сл структурным инъективным морфизмом, причем изоморфизмы между эквнвалентными парами должны быть тоже структурными.

Как ранее, определяется наименьший образ для тканевого морфизма, изображенного. Итак, сравнение систем, «нарисованных» на системах, возможно с помощью конструкций морфизмов ткани и рисунка. Но можно поступить иначе: сравнивать одновременно и ткань, и рисунок, но с помощью разных отображений . При этом морфизмом будет пapa (f1, f2) , где f1 - тканевый: морфизм, а f2 - морфизм рисунка.

Такой морфизм будем называть бигомоморфизмом, поскольку он состоит из двух гомоморфизмов. В этом случае каждый элемент несущего множества р ассматривается с двух точек зрения: с позиций его роли в ткани и его роли в рисунке. Поэтому получается двойная гомология: каждый элемент множества А сопоставляется с двумя различными элементами множества В. Один из них сходен с начальным элементом по месту в ткани, а другой - по положению в рисунке. Элемент f1(х) похож на х в отношении одной сигнатуры, а элемент f2(x) похож на х в отношении другой сигнатуры.

Несмотря на то, что при бигомоморфизмах имеет место двойная гомология элементов несущего множества, гомология подмоделей, получающаяся с помощью наименьших образов, двойной не будет. Разберем это положение подробнее. Сначала определим подобъекты. 

Структурным будем называть бигомоморфизм (f1, f2), если f1=f2. Очевидно, при этом f1 будет обыкновенным гомоморфизмом моделей в сигнатуре. Рассмотрим пару (<А, а>, (f1, f2) ), где (f1, f2): <А, а> в <В, в> - структурный инъективный (т. е. f1 и f2 - инъекции) бигомоморфизм. Пары ( <А, а>, (f1, f2)) и ( <А', а'>, (f'1, f'2) ) изоморфны, если существует структурный биизоморфизм (q1, q2) : <А, а> в <А', а'> и f1=q1f'1, f2=q2f'2. 

Класс изоморфных пар является подобъектом. Очевидно, что подобъекты при бигомоморфизмах и при гомоморфизмах совпадают. Наименьший образ определяется так же, как раньше. 

Если делить сигнатуру не на две, а на большее количество частей, то бигомоморфизмы, естественно, обобщаются до мультигомоморфизмов, а двойная гомология до мультигомологии. Гомолоrии такого типа часто встречаются среди реальных объектов. Например, в биологии часто имеет смысл разделять функциональные отношения и структурные. При этом возникает различие между структурной и функциональной гомологией. 

Например, крыло птицы функционально гомологично летательной перепонке птеродатилей, а структурно гомологично лишь их передней конечности. У стрекоз и бабочек летательную функцию выполняют совершенно различные группы мышц, у саранчовых существует несколько типов структурно негомологичных звуковых аппаратов.

Мультигомология может возникать, если различать структурные отношения. Например, существовали летающие ящеры, у которых летательная перепонка располагалась не на передних ногах, как у птеродактиля или у летучей мыши, а на задних. При этом их задняя нога гомологична в отношении порядка ног задней ноге птеродактиля, а в отношении наличия перепонкипередней ноге птеродактиля. 

При сравнении фраз «Мать любит дочь» и «Дочь любит мать» также, естественно, возникает мультитомология (рис. 3.9). f1 сравнивает синтаксические связи слов (т. е. внешнюю структуру слова), а f2 - внутреннюю структуру слова. Тем самым морфизм (f1, f2) как бы «переставляет» слова в предложении, меняет их местами. 

Точно так же можно строить морфизмы, переставляющие подсистемы в системах. Для этого достаточно, чтобы f1 гомологизировало место подсистем в системе, а f2 - саму структуру подсистем.

Чтобы не быть голословным, разберем ситуацию перестановки частей в целом на языке клубных систем [9]. Этот язык для нас удобен, так как в нем эксплицируется понятие внешней и внутренней структуры элемента. Грубо говоря, клубная система - это модель на множестве, элементы которого сами суть модели, которые могут в принципе содержать исходную модель в качестве подмодели. 

Пусть задана модель <М, а> в сигнатуре Q. Стрелкой модели называется пара <R(n), х>, где R(n) из Q, а x из Mn, причем R(n)(х). Множество всех стрелок модели обозначим К. Клубной системой называется пара <<М, а>, р>, где р : Mн в В(К) - инъекция и Мн из М. Элементы множества Мн называются нетерминальными, а элементы множества Мт = М без Мн - терминальными.

Интерпретация следующая: если х из Мн, то р (х) - набор стрелок, образующих «внутреннюю структуру» элемента х. 

Клубные системы изображаются следующим образом: стрелка - это квадрат, в котором записано имя n-арного отношения с n линиями, соединяющими его с кружками - элементами n-ки (эти линии можно перенумеровать, если отношение несимметрично); внутри нетерминальных элементов находятся квадраты тех стрелок, которые составляют его внутреннюю структуру.

В. Б. Борщев и М. В. Хомяков в [9] предложили следующую конструкuию гомоморфизма клубных систем: отображение f : М в М' называется гомоморфизмом из <<М, а>, р> в «М' а'>, р'> , если:

1) f - гомоморфизм из <М, а> в <М', а'>;

2) для любого х из Мн p' (f (x)) =f (p (x)).

Теперь построим аналогичную конструкuию, позволяющую переносить внутреннюю структуру с одного элемента на другой,  т. е переставлять элементы. При этом задаются два отображения:

f: М в М', которое гомологизирует «внешнюю структуру» элементов, и g: М'инд в Мн, где М' инд из М'н, которое индуцирует на элементах множества М'инд внутреннюю структуру соответствующую им элементов из Мн. 

Формально перестановочным морфизмом называется такая тройка (f, М' инд, g), что

1. f - гомоморизм из <М, а> в <М', а'> ;

2. для любого у из М'инд р' (у) =f (q, (g (у))) .

Если М'инд из f (Мн) и для любого х из Мн g (f (x)) = x, то перестановочный морфизм превращается в обычный гомоморфизм. Морфизмы, описывающие перестановку подсистем в системах, могут понадобиться для описания динамики систем. С их помощью можно описать химические реакции замещения. 

Наименьшим образом при перестановочном морфизме будет клубная система <М", а">, р">, где <М", а"> - минимальный образ модели <М, а> при отображении f, М"н= М'инд , а р" - ограничение р' на множество М'инд.