Морфизмы моделей

Второй параграф третьей главы "СИСТЕМЫ и МОДЕЛИ"

В теории систем очень важно иметь способ сравнения объектов, позволяющий находить в них сходные (гомологичные) части. Эту роль выполняют морфизмы. 

Изучать морфизмы очень удобно на примере морфизмов между моделями некоторой формальной теории. 

Модели - одни из наиболее общих математических конструкций, и потому свойства морфизмов моделей отражают основные свойства морфизмов вообще.

Простейшим морфизмом является гомоморфизм.

Далее идёт определение гомоморфизма между двумя моделями на одной сигнатуре. Приводятся рисунки схем моделей со стрелками. Несколько примеров - гомомофизма с одним бинарным отношением, с отношением на широком множестве пар для моделей из точек, модель (где отношение не выполнено ни для одной пары) отображается в модель с одной стрелкой, две точки отображаемой модели имеют общий образ.

Изоморфизм моделей, определенный в гл. 2, является частным случаем гомоморфизма. С помощью гомоморфизмов можно устанавливать соответствия между частями моделей. Это соответствие не ограничивается тривиальным фактом, что каждому элементу несущего множества А модели <А, а> соответствует элемент несущего множества В модели <В, в>. Оказывается, существует соответствие между произвольными подмоделями моделей.

Сначала рассмотрим, что такое подмодель. Из названия следует, что это какая-то структура, входящая в модель. Возьмем модель с одним бинарным отношением, которое будем изображать стрелками. Тогда подмоделью будет модель, несущее множество которой - подмножество несущего множества, а множество стрелок - подмножество множества стрелок исходной модели.

Приводится рисунок модели А с подмоделью модели В (одинаковые элементы обозначены одной и той же цифрой). Подмодель получается из модели «стиранием» некоторых элементов и некоторых стрелок. 

Легко обобщить понятие подмодели на любые модели. Дается строгое определение подмодели.

Именно ради конструкции «подмодель» мы стали различать отношение и его имя.

Если бы они отождествились, то получилось бы парадоксальное явление: на одних и тех же элементах с точки зрения одной модели выполняется некоторое отношение, с позиций другой модели оно не выполняется. Но элементы остаются теми же самыми, на них не может одновременно выполняться и не выполняться некоторое отношение. Очевидно, что существует каноническое вложение - гомоморфизм из подмодели в модель.

Каждому элементу множества А' (несущего множества подмодели) сопоставляется тот же самый элемент во множестве А, а каждой стрелке подмодели сопоставляется та же самая стрелка в целой Модели.

Оказывается, что это универсальный способ задания подмоделей с точностью до изоморфизма. Точнее, мы будем утверждать, что если существует инъективный гомоморфизм <А, а> -> <В, b>,  то модель < А, а> изоморфна некоторой подмодели < В', b'> модели <В, b> c определенными условиями на отношения В' и А.

Рассмотрим пару (<А, а>, им), состоящую из некоторой модели и инъективного морфизма из нее в модель <В, b>. Будем считать пары ( <А, а>, им) и (<А', а'>, им') изоморфными, если существует изоморфизм между <А, а> и <А', а'>, причем им=b (им'). Класс изоморфных пар и будет называться подмоделью. 

Подмодель будем обозначать [<А, а>, им] , если (<А, а>, им) - представитель этой подмодели.  Такое отношение к подмоделям уже отличается от первоначального. Теперь подмодель рассматривается не как нечто «внутреннее», а, наоборот, как «внешнее», похожее на «внутреннюю» структуру. При этом как модель, так и подмодель целостны. Отношение подмодель - модель напоминает больше отношение типа «целое - целое», чем типа «часть - целое». Именно такой подход составляет основу теории категорий.

Вводится понятие наименьшего образа, тобы определить, каким способом гомоморфизм гомологизирует (сопоставляет) подмодели моделей.

Рассматривается множество всех ее подмоделей вместе с отношением порядка,  обозначаемого стрелками, идущими от меньших подмоделей к большим и дается строгое определение наименьшего образа.

Рассматривается альтернативное определение наименьшего образа, используя другой способ задания подобъектов. При этом становится понятным, почему наименьший образ называется наименьшим. Нименьший образ для гомоморфизма определяется как наименьшая подмодель модели (в смысле упорядоченности подмоделей). Потом установливается соответствие между подмоделями моделей.

Пусть задан гоморфизм <А, а> в < В, В>, а [<А', а'>, v] - произвольная подмодель модели <А, а>. Пусть [<В', в'>, w] - наименьший образ гомоморфизма. Каждой подмодели [<А', а'>, v] модели <А, а> сопоставляется ее наименьший образ [< В', в'>, w] в модели <В, в>.  Следовательно, гомоморфизм <А, а> в <В, в> определяет отображение F(A, a) в F(B, в).

Легко показать, что отображение F монотонно относительно порядка на множествах подобъектов F(А, а) и F(В, в). Таким образом, гомоморфизм гомологизирует подмодели моделей.

то свойство очень важно для теории классификации. 

Если представлять себе архетип (см. гл. 5) как некоторую модель, то, очевидно, мероны будут подмоделями.  Тогда сравнение архетипов можно проводить с помощью rомоморфизмов, так как при этом меронам одного архетипа будут сопоставляться мероны другого архетипа.

Кроме гомоморфизмов, существует большое количество других типов морфизмов между моделями. С их помощью также можно сравнивать модели в разных аспектах, гомологизировать подобъекты (при этом подобъекты определяются не так, как в случае гомоморфизмов). 

Понятие гомоморфизма легко обобщается на случай произвольных многозначных соответствий (многозначных гомоморфизмов) между несущими множествами моделей.

Композиция многозначных гомоморфизмов определяется как композиция соответствий.

Определеяется понятие псевдоинъективного соответствия. Предполагается существование псевдоинъективных многозначных гомоморфизмов. Если существует изоморфизм t: <А, а> в <А', а'> такой, что И= tu', то будем считать пары (<А, а>, и) и (А', а'>, и') изоморфными. Класс изоморфных пар будет подмоделью [<А, а>, и].

Ясно, что в зависимости от типа морфизмов по-разному выделяются подмодели. При многозначных гомоморфизмах подмоделей будет больше, так как не всякое псевдоинъективное соответствие будет инъективным отображением. Аналогично можно определить наименьший образ и гомологизацию подобъектов.

Определяется отображение "корреспонденция" из модели в модель. Каждая стрелка в модели <В, в> имеет «причину» своего появления - соответствующие стрелки в модели <А, а>. 

Подмодели можно определить с помощью инъективных корреспонденций. Композиция корреспонденций определяется как композиция отображений. Аналогично определяется наименьший образ корреспонденции. (Следует иметь в виду, что порядок на множестве подмоделей, выделенных с помощью корреспонденций, не согласуется с тем, который возникает при выделении подмоделей с помощью гомоморфизмов. Интересные свойства корреспонденций, являющихся одновременно гомоморфизмами, рассмотрены в [70].