Модели и системный подход

Первый параграф второй главы "СИСТЕМЫ и МОДЕЛИ"

Понятие модели в современной науке стало настолько привычным, что сама потребность выяснения содержания этого понятия почти перестала осознаваться. Моделирование оказалось одним из эффективных, многообразных и универсальных методов научного познания. Это понятие остается одним из наиболее значимых при изучении гносеологических аспектов современной науки. Несмотря на традиционность, понятие модели содержит важные потенции развития, которые при их реализации дают возможность естественного перехода от теоретико-множественных методов научного описания реальных объектов к системным. Поэтому выяснение познавательной роли моделей и моделирования существенно для понимания гносеологических аспектов современной науки и обнаружения в ней неклассических тенденций описания изучаемых объектов.

«Охарактеризовать моделирование - это прежде всего выяснить отношение между исследователем, моделью и оригиналом» [15, с. 66]. В этой работе показывается, что для моделирования необходима абстракция отождествления, позволяющая отождествить изучаемый реальный объект с искусственно создаваемой моделью. При этом «наиболее сильной формой отношения типа тождества, используемой в процедуре моделирования, является изоморфизм» (там же, с. 69). В этом месте авторы [15] решительно встают на теоретико-множественную точку зрения и дальше с нее не сходят.

Хотя авторы не дают специального определения модели (акцентируя проблему на отношении моделирования, действующем между оригиналом и моделью), фактически они под моделью понимают множество с отношениями на нем.

Это вполне соответствует понятию модели, используемому в математической логике [31, 32]. В указанных работах подробно изложены не только математические проблемы, но и методологические, связанные с описанием реальных объектов с помощью теории отношений. Авторы [15] подчеркивают, что «математическая теория никогда не исследует свойства природных объектов как таковых; объектом ее исследования могут быть лишь абстрактные объекты», под которыми авторы далее понимают тоже множества с отношениями, т. е. в соответствии с терминологией математической логики, опять же модели. Последнее обстоятельство в [15] не отмечено.

Итак, получается, что реальный объект - оригинал сначала заменяется абстрактным объектом (моделью), который моделируется с помощью другой модели. В [15] абстрактный объект моделью не называется. Отношение моделирования понимается тогда как изоморфизм или гомоморфизм между абстрактным объектом и моделью, а фактически между двумя моделями. Идея авторов [15], что математическая теория не описывает природные объекты, справедлива в том смысле, что эти объекты не суть множества.

Как подчеркнуто в работе [12], категория множества относится к гносеологии, а не к онтологии и возникает лишь в процессе изучения реальных объектов. Принципиальная черта системного подхода (см. гл. 4) как раз и состоит в том, что на математическом языке оказывается возможным говорить непосредственно о природном объекте - системе. Указанная схема фактически считалась до последнего времени общепринятой трактовкой моделирования по крайней мере в рамках теоретико-множественного подхода.  В приведенной формулировке этой схемы содержится возможность отказа от гегемонии теоретико-множественных представлений и перехода к системным. 

Во-первых, реальному объекту может соответствовать не один абстрактный объект, а практически бесконечный класс таких объектов - nредставлений реального объекта в виде модели. Эта точка зрения служит исходной для развиваемого в следующей главе аппарата теории систем. 

Во-вторых, обнаружение того, что фактически моделируемый абстрактный объект имеет такую же природу, что и модель (математически и тот и другой суть множества с отношениями), позволяет ввести более интересные интерпретации моделирования, чем изоморфизм. 

Именно математическая логика подсказывает нам существенную идею: рассматривать модели (множества с отношениюми) как воплощения формальных теорий. Фактически традиционная (изложенная в [15]) точка зрения на моделирование исходит из того, что моделируемый объект познается как данный в непосредственном наблюдении, позволяющем выделить в нем абстрактные элементы и отношения между ними.

Однако мы никогда не изучаем в науке объект, данный только в наблюдении. Так или иначе присутствует теоретическая концепция этого объекта, и сам он рассматривается как представитель класса объектов, для которых справедлива эта концепция. 

И в моделировании мы сопоставляем объект не только с математически подобным ему объектом моделью, но и с теоретической концепцией, а также с другими объектами, подходящими под эту концепцию. Но, чтобы говорить о моделировании в таком нетрадиционном плане, необходимо ввести достаточно строгое понятие модели в том смысле, в каком оно употребляется в математической логике. Попробуем описать сущность этого понятия, не уточняя полностью определений. 

Поскольку мы вынуждены употреблять слово «модель» в различных значениях (как точных, так и расплывчатых), то будем далее пояснять различающиеся значения. Для дальнейшего обсуждения очень важно иметь понятие отношения. Назовем k-местным отношением на множестве М совокупность упорядоченных наборов (кортежей) из k элементов множества М вида <х1, х2, ... , xk>. Иначе говоря, отношение r - это подмножество декартова произведения. Длина такого кортежа - это число мест или «местность» отношения. В математике моделью (или реляционной системой) называется некоторое множество М с заданным на нем набором отношений {r1, r2, ..., rN}.

 Далее, говоря о модели в духе понимания математика, будем пользоваться обозначением, иначе говоря, модель понимается как некоторый набор <M, {r1, ... , rN}>, где r1, r2, ... , rN - отношения на множестве М.

В математике и физике фактически рассматривается специальный класс моделей, в которых на исходном множестве заданы некоторые числовые функции, а отношения выражаются через значения этих функций.

Например, в качестве множества можно взять эвклидово пространство, а в качестве функции - расстояние между точками этого пространства. Наконец, замкнутую физическую систему можно рассматривать как модель, где множество состояний системы, числовые функции соответствуют наблюдаемым физическим величинам, а отношения соответствуют уравнениям движения системы.

В приведенном определении модели М несколько обескураживает отсутствие обязательного зависимого родительного падежа (модель чего?). Чтобы ответить на этот законный вопрос, следует внести понятие «теории», которое мы объясним. Содержательно это понятие выражает некоторое качество, присущее определенному классу моделей. Первый шаг на пути к введению этого понятия состоит в том, чтобы научиться выделять "родственные" модели, допускающие объединение в общий класс. Для этого нам понадобится понятие сигнатуры.

Договоримся различать отношение, обозначаемое r, и название отношения, которое обозначим R. При этом названию отношения сопоставляется само отношение. Обозначим это так: a(R) = r. Например, если R читается "быть братом", то a(R) - это отношение "быть братом" в конкретной семье или множестве людей.

Сигнатурой модели называется набор названий отношений в этой модели, причем для каждого названия должна быть указана местность соответствующего отношения.

 Говорят также, что модель в сигнатуре Q.  Теперь можно дать другое, эквивалентное первому, определение модели. Пусть Р (М) - множество всевозможных отношений на множестве М (разной местности). Моделью в сигнатуре Q называется пара <М, а>, где М - базовое множество модели, а а - инъективное отображение из Q в Р (М), которое сопоставляет каждому названию отношения R из сигнатуры Q отношение гN соответствующей местности. Поскольку символ а указывает сразу сигнатуру Q, ее отображение и образ этого отображения, то в «коротком» обозначении <М, а> содержится больше информации, чем в первоначальном обозначении модели.

«Модель в сигнатуре» - это не только конкретная модель, но и указание класса родственных ей моделей с той же сигнатурой. Сигнатура несет важную информацию о самой модели: во-первых, по ней легко восстановить, сколько отношений в данной модели, а во-вторых, узнать, какова местность - этих отношений. Наличие сигнатуры позволяет говорить об одноименных отношениях в разных моделях. Так, в разных семьях можно рассматривать отношение «брат». Это будут разные, но одноименные отношения.

 Сигнатура не отражает всех свойств модели. Например, по сигнатуре нельзя восстановить, между какими элементами множества выполняются те или иные отношения. Выделение сигнатуры важно для того, чтобы знать, какие логические формулы можно писать с отношениями, входящими в модель. Например, если известно, что отношение R имеет местность N, то можно записать формулу, утверждающую, что это отношение выполняется на кортеже из N элементов множества.

 Местность отношения подсказывает, сколько аргументов надо писать в формуле и указывает на то, каким способом данное отношение может входить в логические формулы. Это обстоятельство мы используем для определения важного понятия «формальной теории». А пока попробуем определить, что такое изоморфизм моделей.

 Об изоморфизме можно говорить только для моделей с одинаковой сигнатурой. Если модели имеют существенно разные сигнатуры, они устроены по-разному и просто не сравнимы. Разбиение моделей по сигнатуре - наиболее грубая классификация. Понятие «изоморфизма» позволяет классифицировать модели более тонко. Модели с разной сигнатурой тем более не будут изоморфны.

Для двух моделей <М1, а1 > и <М2, а2> в сигнатуре Q можно дать математическое определение как  биекция (взаимно-однозначное отображение) из множества М1 на множество М2. Но такое определение изоморфизма не всегда удовлетворительно, поскольку случайности в наименовании отношений могут привести к тому, что мы не увидим изоморфизма там, где он по сути дела имеет место. Более правильно было бы считать две модели сходными, если отношения в каждой из них можно так переименовать, что сигнатуры у них совпадут и будет выполняться изоморфизм моделей в указанном выше смысле. Чтобы этот изоморфизм не путать с обычным, такое сходство моделей будем называть квазиизоморфизмом.

 Назовем две сигнатуры изоморфными, если существует биекция Q1 в Q2, которая каждому имени отношения из Q1 ставит в соответствие имя отношения той же местности из сигнатуры Q2. Сама биекция называется изоморфизмом сигнатур. Ясно, что изоморфные сигнатуры содержат одинаковые количества имен отношений каждой местности.

 Если в сигнатурах Q1 и Q2 имеется определенное число имен отношений местности i1 и местности i2 и т. д., то можно показать общее число возможных изоморфизмов между этими сигнатурами.

Модель <М1, а1> в сигнатуре Q1 квазиизоморфна модели <М2, а2> в сигнатуре Q2, если о,уществует такой изоморфизм из сигнатуры Q1 в сигнатуру Q2, что модели <М1, а1 > и <М2, а2> в сигнатуре Q1 изоморфны.

Естественно говорить, что изоморфные (или квазиизоморфные) модели имеют одну и ту же структуру. Более того, само понятие структуры разумно определить как класс всех изоморфных (или квазиизоморфных) между собой моделей. Это значит, что структуру мы понимаем как то общее, что есть у всех изоморфных (или квазиизоморфных) между собой моделей, то, что не зависит от природы элементов базового множества, от случайных наименований отношений.

Можно сказать, что каждая конкретная модель есть одна из возможных реализаций соответствующей структуры.

 В математике обычно интересуются моделями с точностью до изоморфизма. Поэтому понятия «структура» и «модель с данной структурой» в большинстве случаев математик не считает нужным различать. Но при описании реальных объектов приходится различать модель как множество элементов определенной природы, связанных присущими модели отношениями, и структуру как абстрактную категорию, с точки зрения которой неважно, из чего состоит несущее множеств Q модели и какова реальная природа отношений на этой, модели.

 Рассмотрим следующий пример. Множества М1 и М2 совпадают и состоят из трех элементов: из городов Архангельск, Москва, Тбилиси. В первой модели задано двуместное отношение «город х севернее города у», а во второй модели задано двуместное отношение «город х в алфавитном указателе предшествует городу у». Эти модели квазиизоморфны, так как города подобраны так, что порядок по географической широте совпадает с алфавитным порядком.Модели изоморфны несмотря на то, что порядок по широте и по алфавиту, казалось бы, совершенно разные отношения. Но в данном случае эти отношения совпали, оба определяют на множестве городов одну и ту же структуру.

Формулу можно рассматривать как высказывание о произвольных элементах множества М. Такое высказывание истинно, когда на этих элементах выполнимо отношение а(R) , и ложно в противном случае. С помощью логических связок можно из таких атомарных формул строить и более сложные. Это опять-таки высказывания об элементах множества М.

 Соответствующие символы элементов, входящих в формулу, называются свободными переменными. Если формула содержит N свободных переменных, то можно с помощью так называемых кванторов образовать из нее формулы с меньшим числом свободных переменных. Например, формула, читающаяся «для всех значений Х1 выполнено Ф (х1, ..., ХN)», имеет лишь N-1 свободную переменную. Такая формула есть высказывание об элементах х2, ..., xN. Навесив кванторы на все свободные переменные, мы получим формулу без свободных переменных. Она выражает высказывания не о конкретном наборе элементов множества М, а о некоторых свойствах самой модели, для которой строилась эта формула.

 Важный момент состоит в том, что формулы имеют одинаковый вид для любой модели с той же самой сигнатурой. Поэтому можно употреблять такие формулы независимо от конкретной модели. В частности, можно «выводить» из одних формул другие, не заботясь о том, для какой модели они предназначены. Для этого надо только зафиксировать правила вывода.

 Теперь у нас есть все необходимое для того, чтобы определить формальную теорию. Теорией будем называть множество формул {Ф} без свободных переменных в сигнатуре Q ={Ri} вместе с набором {р} правил вывода. Итак, теория - это кортеж T= <Q, {Ф},{р}>. Формулы Ф, входящие в определение теории Т, называются аксиомами этой теории. Сами по себе они не истинны и не ложны. Но при сопоставлении теории с некоторой моделью в той же сигнатуре аксиомы теории становятся высказываниями о модели.

 Модель называется моделью формальной теории Т, если:

1. сигнатура модели совпадает с сигнатурой теории и
2. после интерпретации каждого имени отношения в теории как одноименного отношения в модели каждая аксиома теории становится истинным высказыванием, т. е. выполняется для данной модели.

 Тем самым модель позволяет интерпретировать каждую аксиому теории как истинное высказывание о структуре модели. Главная особенность понятия формальной теории в том, что здесь нет никакого базового множества. Это некоторые аксиомы, заданные «ни на чем», аксиомы в чистом виде. Фактически это экспликация платоновской идеи. Формальная теория описывает некоторые свойства объектов, но не указывает эти объекты. Это можно сравнить с ситуацией, описанной Ст. Лемом в «Звездных дневниках Иона Тихого»:

Ион Тихий прилетает на некоторую планету. Он хочет попасть на некоторое торжество, но ему говорят, что надо достать сепульки. Как их достать? Их надо купить. Он приходит в магазин и спрашивает: "У вас есть сепупьки?". «Есть, но только со свистом». «Ну, дайте мне». «Простите, а вы женаты?». «Нет, а какое это имеет значение?». «Нет, неженатым не продаем». И дальше идет долгий сюрреалистический разговор, из которого можно узнать про сепульки массу интересных вещей, кроме того, что это такое.

 Здесь в некотором смысле рассказывается формальная теория без реализации. Обычно, строя формальную теорию, мы думаем о мыслимых реализациях. Но что такое реализация или воплощение формальной теории? Очевидно, это модель в той же сигнатуре, в которой описаны аксиомы теории. В модели есть все, что есть в формальной теории, и, кроме того, добавляется базовое множество.

А поскольку появляется базовое множество М, постольку каждый символ из сигнатуры приобретает «вещное» содержание, т. е. превращается в реальное отношение на множестве М. При подстановке реальных отношений в ту или иную аксиому она становится либо истинной, либо ложной для этой модели. Например, если М - множество чисел, а «+» - всем нам знакомая операция сложения, то мы можем сказать, что аксиомы формальной теории сложения истинны.

 Другой пример: пусть формальная теория задана аксиомой асимметричности (Для любого x) (Для любого у ) ((х R у) => (у R х)) . Тогда множество городов с отношением «город х находится в одной области с у» является моделью этой формальной теории. С другой стороны, множество людей с отношением «х - брат у» не является моделью этой теории, поскольку первая аксиома ложна. Действительно, если «х - брат у», то не всегда верно, что «у - брат х», возможно, что и «у - сестра х».

 Можно использовать разные языки для написания формул Теории и разные совокупности правил вывода [31, 32] . Это обстоятельство существенно расширяет само понятие Теории. В частности, вполне правомерно говорить о не вполне формализованных теориях или о теориях, языка которых мы не знаем. Теория - это в сущности идея, воплощаемая в своих моделях. Даже если модель есть математическая абстракция (упорядоченное множество, алгебраическая группа и т. п. ), она все равно есть более «материальный» объект, чем воплощенная в ней Теория. В Теории есть отношения и их свойства (аксиомы и теоремы), но нет еще множества, где эти отношения реализованы. Поэтому в соответствии с принятым в математике определением отношения мы и говорим, что в Теории есть только имена отношений.

 В дальнейшем Теорию будем обозначать сокращенно Т = <{R}, {Ф}>, поскольку правила вывода мы специально не оговариваем. Обычно приходится в Теории включать особое двуместное отношение с фиксированной интерпретацией, которое будем обозначать знаком равенства (=) и интерпретировать в любой модели как тождество. Символ = условимся не включать в число перечисляемых в данной Теории названий отношений R1 ... Это выделение отношений с особой ролью несколько не эстетично, ни без него трудно обойтись.  (Здесь = транзитивное замыкание отношения управления, т. е. лучше вообще перейти к математической терминологии, понимая всюду отношение «руководства». Подробнее см. [70, с. 146, 190])

Далее идет примеры формул, выражающих асимметричность отношения, транзитивность, сравнимость любой пары элементов (Если два элемента попали в общий класс при каждом разбиении, то они совпадают).

Итак, Теория - это перечень названий отношений и свойств этих отношений, а модель - множество, на котором заданы соответствующие отношения и выполнены требуемые свойства.

 Заметим, что аксиомы как бы фиксируют изучаемый класс моделей, а теоремы доставляют новые свойства отношений, выводимые из аксиом. Естественно, что одна и та же Теория может иметь много разных моделей. Для теории, где множество есть совокупность всех русских словоформ, возможны модели, состоящие из подмножества русских словоформ. Кроме того, для теории возможны моделим совсем иной природы.

Из того, что есть модель теории Т, следует, что любая изоморфная ей модель также есть модель теории Т. Это верно и для квазиизоморфных моделей. Одна и та же теория может иметь неизоморфные модели. Существует много весьма несхожих друг с другом конкретных метрических пространств (эвклидово пространство, пространство бинарных кодов с расстоянием Хэмминга и т. д.), хотя все они суть модели одной теории.

Нетрудно проверить, что отношение изоморфизма моделей есть эквивалентность и, стало быть, множество моделей данной Теории разбивается на классы изоморфных между собой моделей. Представители разных классов уже не изоморфны между собой.

Совокупность всех моделей (с точностью до изоморфизма) данной Теории Т будем называть классом моделей данной теории (в математике применяется термин «аксиоматизируемый класс моделей».

Введя нужные математические определения, рассмотрим вопрос о том, как используется понятие модели при описании сложных объектов реальности. Здесь удобной областью оказывается лингвистика, где понятие моделирования широко используется, а соответствующие объекты достаточно не тривиальны.

Итак, рассмотрим, как используется понятие модели в лингвистике. В этом случае мы не можем привести готовую авторитетную дефиницию. Однако можно проследить, как употребляют это понятие различные авторы, и сконструировать определение, соответствующее принятому словоупотреблению.

 И. И. Ревзин [46, с. 9) пишет: «Модель строится следующим образом. Из всего многообразия понятий, накопленных данной наукой, отбираются некоторые, которые удобно считать первичными. Фиксируются некоторые отношения между этими первичнымй понятиями, которые принимаются в качестве постулатов. Все остальные утвер.ждения выводятся строго деду_ктивно в термпнах, которые определяют в конечном счете через, первичные понятия. Модель в этом смысле не есть часть языка как системы, а представляет собой некоторое гипотетическое научное построение, некоторый конструкт».

Это определение при всей его расплывчатости вполне ясно дает представление о том, что автор понимает под моделью. Оно имеет тем большую ценность, если учесть, что автор основывался на анализе подавляющего большинства существовавших к тому времени лингвистических моделей. Объективности ради следует указать, что в позднейшей монографии [47, с. 24-25] автор отказался от такого понимания модели в пользу так называемой кибернетической концепции модели. Об этом можно только сожалеть, поскольку последнее понятие, как мы покажем далее, несколько затушевывает важные аспекты моделирования и позляется в некотором смысле вторичны.

И. И. Ревзин довольно отчетливо выразил распространенное представление лингвистов о том, что есть модель языка. Если вдуматься в приведенную цитату, то окажется, что автор называет моделью именно то, что в математике называется теорией. Быть может, осознав этот факт, лингвисты со временем и изменят свою терминологию. Здесь ограничимся тем, что для модели в лингвистическом понимании будем употреблять термин «модель языка». То обстоятельство, что модель языка, как мы постараемся показать ниже, есть понятие, в точности противоположное модели, является весьма отрадным.

Из него следует, что расплывчатое лингвистическое понятие имеет точную математическую экспликацию, хотя для сравнения лингвистического понятия моделил с эталонным математическим понятием модели приходится «перевернуть» эталон.

 Попробуем описать взаимоотношение языковых объектов (или процессов) и моделей в точном поgимании этого слова несколько подробнее. Прежде всего лингвистические объекты обычно не рассматриваются как одиночные: даже когда исследуются единичные сохранившиеся тексты забытой письменности, они рассматриваются как представители достаточно большой совокупности существовавших когда-то текстов. При дешифровке в них ищут закономерности, связанные именно с тем, что эти тексты суть представители полноценного языка. Первый шаг, который делается в описании реальных объектов исследования - это абстракция отождествления. Мы уславливаемся, какие объекты считаются тождественными.

Например, в исследованиях по поэтике обычно отождествляются все написания (или произнесенпя) одного стихотворения. Разные издания «Евгения Онегина» отдельной книгой или в собрании сочинений считаются одной поэмой. Ясно, что при изучении полиграфического производства это отождествление теряет смысл. А владелец книги вполне отличает свой экземпляр «Евгения Онегина» от чужого (хотя бы в том же издании). После такого отождествления · мы получим классы изучаемых объектов ( совокупность стихотворений, класс правильных фраз данного языка, класс всех русских слов и т. д.). Изучаемый класс условимся обозначать К, а входящие в него объекты - А, В, С, . . .

Следующий шаг можно было бы назвать абстракцией членения:. Он состоит в том, что каждый из этих объектов рассматривается как множество «элементов низшего уровня». Например, фразу мы рассматриваем как множество вхождений слов, стихотворение *) -как множество ударных и безударных слогов и т. д. Эти элементы обозначаем х, у, z, ... , снабжая в случае необходимости буквы индексами.

Подчеркнем, что эта процедура, регулярно используемая отнюдь не только в структурной лингвистике, является весьма сильной абстракцией. Так, изучая синтаксические отношения во фразе, мы, по крайней мере частично, отвлекаемся от морфемного состава слов и уж подавно - от графического.

Стоит заметить, что представление реального объекта в виде наблюдаемого объекта, рассматриваемого как множество элементов низшего уровня с фиксированными отношениями на этом множестве, существенно зависит от выбора класса объектов.

Так, А. М. Пешковский [42, с. 15-16] выделяет нулевую морфему постановкой слова в парадигматический ряд. Тем самым состав слова как множества морфем определяется классом рассматриваемых слов.

Итак, изучая объект d, мы сопоставляем его с некоторым множеством А, иначе говоря, рассматриваем объект d как множество А, которое назовем «наблюдаемым объектом». Класс всех таких множеств А, В, С, ... или наблюдаемых объектов обозначим К. На каждом из этих множеств определены одноименные отношения R1, R2, ... , т. е. задана общая сигнатура.

Так, на каждой фразе русского языка определены отношения порядка, управления и однородности, а также унарные отношения, или предикаты «быть сказуемым», «быть подлежащим», «входить в группу дополнения» и т. п.

Процедура перехода от исходных объектов d ... к наблюдаемым множествам А, В, ... с заданными на них отношениями некоторого вида может быть явной или неявной.

В том случае, когда наблюдаемые множества и набор отношений R1, ... , Rn явно формулируются, говорят о формальном описании языка, но еще не о модели.

Смысл этой формализации состоит в том, чтобы явно зафиксировать предмет изучения или, как мы увидим в гл. 4, чтобы выбрать то представление реальной системы, в котором мы собираемся ее исследовать.

Когда стихотворение рассматривается как множество ударных и безударных слогов с членением на строки ( отношение «входить в одну строку») и отношением порядка в каждой строке, то это есть самый естественный способ изучать стихотворные размеры. Однако никому не придет в голову отождествлять систему чередований ударных и безударных слогов с самим стихотворением. С другой стороны, если Маяковский и декларировал ненужность для поэта изучения размеров, то вряд ли это провозгласит специалист по поэтике. В лингвистике, однако, интересуются не самими отношениями в наблюдаемых множествах, а свойствами одноименных отношений, общими для всех (или, в некотором не очень ясном смысле, большинства) одноименных отношений в наблюдаемых объектах. Тут очень существенно, что в разных наблюдаемых объектах действуют однотипные отношения, которым мы приписываем одинаковые имена.

Так, во всех фразах русского языка можно изучать отношения управления между словами, хотя в каждой фразе действует свое конкретное отношение управления. (Конкретное отношение [70] определяется множеством, где оно задано, и множеством пар, троек . . . , для которых оно выполнено.) Некоторые свойства конкретных отношений специфичны для данной фразы. Так, в некоторых фразах русского языка каждое слово управляется предыдущим (например, «стоит гора высокая»). Но это отнюдь не является закономерностью русского языка и поэтому данное свойство не должно входить в Теорию как теорема, описывающая русские синтаксические структуры.

А вот условие проективности имеет право на включение в соответствующую Теорию, хотя оно и не всегда выполнено. Именно Теорию, описывающую релевантные свойства языка, лингвист называет «моделью языка».

Это хорошо показывает приведенная цитата из книги И. И. Ревзина. Точнее говоря, модель - есть Теория, описывающая свойства отношений в наблюдаемых множествах, представляющих исходные лингвистические объекты.

Приведем еще один пример. Пусть наблюдаемые объекты суть русские стихи, написанные ямбом. Вообще говоря, выделить класс ямбических стихов можно и не описывая явно, в чем состоит ямбический размер, а указав несколько примеров. Наблюдаемым объектом здесь будет множество слогов с двумя отношениями следования и вхождения в общую строку.

Ямб можно определить как модель данного стихотворного размера или (что то же!) как Теорию. Эта Теория состоит в том, что ударный слог может находиться только на четном месте от начала строки. Данная Теория может быть полностью выражена на языке узкого исчисления предикатов, но вряд ли такая экспликация даст что-либо новое в поэтике. Для нас важно то, что даже в поэтике мы имеем дело с той же самой ситуацией: класс реальных объектов - класс наблюдаемых множеств - Теория (она же модель). Необходимый же уровень формализации есть дело вкуса и удобства описания.

Это модель отношения на множестве, хотя она и не была достаточно формально описана. Однако, учитывая линлвистическую традицию, мы ограничимся разъяснением разницы в словоупотреблениях.

Интересно отметить, что в примере с ямбом ясно видны некоторые характерные черты Теорий, возникающих при описании естественно организованных лингвистических объектов. В онегинской строфе мы имеем два эталонных чередования ударных и безударных слогов. «Слабая» Теория ямба разрешает любые пропуски ударений. В действительности далеко не все чередования равновозможны. Например, строка без ударений или с одним ударением невозможна. Чередования типа (покамест упивайтесь ею), (мгновенной жатвой поколенья) легко находятся в тексте «Евгения Онегина». Чередование с утратой двух ударений (как недогадлива ты, няня!) встречается также довольно часто.

«Сильная» Теория дает более полное описание возможных структур. К ней можно приписать дополнительно указания о мере (частоте) различных конфигураций, разрешаемых Теорией. (Для подобных статистических описаний разработанные языки Теорий, изучаемых в математической логике, видимо, недостаточны.) Формальный язык математических теорий не позволяет говорить о том, что некоторая теория почти выполняется на данной модели. Однако в лингвистике мы вполне можем говорить, что фраза ночти проективна или что строка почти подчиняется предписываемому теорией чередованию ударных и безударных слогов. Аналогичные ситуации возникают и при описании других типов реальных объектов. Это обстоятельство имеет принципиальное теоретико-познавательное значение, о котором пойдет речь в следующем параграфе.