Модели и их роли в трейдинге: Часть 1

Зайдем издалека!

Публикация в 1872 году функции Вейерштрассе стала первым сигналом к тому, что математическому анализу времен Ампера приходит конец. Это уравнение опровергло общепринятое мнение о том, что каждая непрерывная функция должна быть дифференцируема всюду (за исключением «исключительных и изолированных» значений аргумента) и положило начало новому мат. анализу.

Шарль Эрмит, известный математик того времени, писал о ней так:".. я в страхе и ужасе отворачиваюсь от этого плачевного бедствия, непрерывных, но не дифференцируемых функций".

____________________________________________________

Если представить функцию в упрощенном виде (как сумму ряда косинусов), с параметрами a = 3, b = 1/2 на интервале [−2, 2], то график будет иметь фрактальный характер, демонстрируя самоподобие (повторять свой узор в каждой отдельной точке).

Сложно? Давайте разберем как был получен такой график!

Если в функции всего один косинус, то мы получим одну волнообразную непрерывную линию на графике, которая будет довольно гладкой.

В случае, когда функция являет собой сумму двух косинусов — появляются волны.

А с увеличением количества переменных частота колебаний внутри волн будет расти.

Когда слагаемых бесконечно много — колебаний и резких изменений происходит еще больше. В каждой точке функция резко меняет направление на противоположное,

____________________________________________________

Тогда функция казалась ужасающей и величественной, но оторванной от реальности: она не описывала никакой из известных физических процессов реальных объектов во Вселенной.
Люди в целом любят отвергать и опровергать все, что им непонятно на первый взгляд. Например — ноль. Люди тысячелетиями жили без нуля и просто его не замечали.
Но уже через 30 лет после публикации, все начинает кардинально меняться.

____________________________________________________

Математические монстры, непрерывные но не гладкие функции начинают уверенно захватывать научный мир: в 1905 году Эйнштейн опубликовал работу «О движении взвешенных в покоящейся жидкости частиц, требуемом молекулярно-кинетической теорией теплоты». Таким образом произошло знакомство физиков с броуновским движением и описание математического аппарата для работы с ним.

Если коротко, броуновское движение — это хаотичное движение мелких частиц, что непрерывно толкают друг друга и меняют траекторию.
Визуально их путь будет представлять собой бесконечные ломаные функции.

Математически, они описываются процессом у которого непрерывные негладкие функции. То есть, похожие на функции Вейерштрассе. А еще, они не гладкие в каждой точке.

Броуновское движение было свидетельством существования атомов и молекул.

Условно, если распылить газ в замкнутом пространстве, то процесс, который будет перед вами происходить — математически содержит в себе непрерывную и негладкую функцию.

Как оказалось, математические монстры не так уж и оторваны от реальности..

____________________________________________________

Ученые поняли, что такие функции не являются бесполезными и стали искать способы работы с ними. Одним из таких направлений стал стохастический анализ.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ