Методика розв’язання рівнянь і нерівностей у середній школі - Математика дипломная работа

Главная

Математика
Методика розв’язання рівнянь і нерівностей у середній школі

Узагальнення учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі "Рівняння та нерівності"; розробка пропозицій щодо використання програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 для впровадження інтегрованих інноваційних методологій викладання.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України
Дніпропетровський національний університет
за освітньо-кваліфікаційним рівнем спеціаліста
Методика розв'язання рівнянь і нерівностей у середній школі
Дипломна робота 150 с., рис.46, табл. 6, джерел 57
Об'єкт дослідження: методологія викладення розділу „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри в загальноосвітній школі
Мета роботи: узагальнення сучасного учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі „Рівняння та нерівності” та розробити пропозиції щодо впровадження інноваційних методів викладання розділів „Рівняння та нерівності” з застосуванням комп'ютерних програмних комплексів.
Одержані висновки та їх новизна: доведена ефективність використання програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 для впровадження інтегрованих інноваційних методологій викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи.
Результати дослідження можуть бути використані в якості спеціалізованого посібника курсу «Методика розв'язання рівнянь та нерівностей у середній школі» для вчителів математики у 7-10 класах середньої школи.
Перелік ключових слів: рівняння; нерівність; тотожність; лінійні, квадратичні, ірраціональні, показові, логарифмічні, тригонометричні рівняння та нерівності.
METHOD OF SOLUTION Equations and InequalitiesIn the Schools
The diploma work's present the student of five-year training. The work is done in DNU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Mathematics.
The work contains 57 sources, 46 illustration, 6 tables, composed on 150 pages.
The work's results can be used as a specialized guide the course "Methods of solving equations and inequalities in high school" for teachers of mathematics in grades 7-10 high school.
Keywords: equations, inequality, identity, linear, quadratic, irrational, shows, logarithmic, trigonometric equations and inequalities.
Дипломна робота спеціаліста на тему: «Методика розв'язання рівнянь та нерівностей у середній школі» - 150 с., 6 табл., 46 рис., 57 джерел.
Мета дипломного дослідження - узагальнення сучасного учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі „Рівняння та нерівності” та розроблення пропозиції щодо впровадження інноваційних методів викладання розділів „Рівняння та нерівності” з застосуванням комп'ютерних програмних комплексів.
1. В першому розділі на типових прикладах розв'язання рівнянь проведено узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем „Рівняння та системи рівнянь” в курсах алгебри 7-10 класів;
2. В другому розділі на типових прикладах розв'язання нерівностей проведено узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем „Нерівності та системи нерівностей” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи;
3. В третьому розділі при практичному розв'язанні складних рівнянь та нерівностей доведена доцільність, наочність та практична цінність впровадження програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 в інноваційних методологіях викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи.
4. В четвертому розділі викладені основи організації охорони праці та безпеки в надзвичайних ситуаціях в середній школі. Теоретичний матеріал в кожному підрозділі супроводжується розв'язанням типових прикладів, що робить дипломну роботу практичним спеціалізованим посібником курсу «Методика розв'язання рівнянь та нерівностей у середній школі» для вчителів математики у 7-10 класах середньої школи.
Ключові слова: рівняння; нерівність; тотожність; лінійні, квадратичні, ірраціональні, показові, логарифмічні, тригонометричні рівняння та нерівності.
Specialist Thesis entitled "Methods of solving equations and inequalities in high school" - 150 p., Table 6., 46 fig., 57 sources.
The aim of graduate study - a synthesis of contemporary educational material school algebra course in "Equations and Inequalities" and develop proposals for the introduction of innovative teaching methods sections "Equations and Inequalities" using computer software.
1. In the first chapter on typical examples of solving equations summarize conducted educational programs and traditional methodologies for presenting topics "equation and the equation system" courses in algebra classes 7-10 secondary school;
2. In the second section on typical examples of solving inequalities held generalization curricula and traditional methodologies for presenting topics "inequalities and systems of inequalities" in the know algebra grades 7-10 secondary school;
3. In the third section, the practical solution of complex equations and inequalities proved the feasibility, clarity and practical value of implementing complex graphical software Microsoft Mathematics 4.0 in innovative teaching methodologies topics "Equations and Inequalities" in the know algebra grades 7-10 secondary school.
4. In the fourth section sets out the basics of health and safety in emergencies in high school.
The theoretical material in each section is accompanied by a resolution of typical examples, which makes the thesis practical tool specialized course "Methods of solving equations and inequalities in high school" for teachers of mathematics in grades 7-10 high school.
Keywords: equations, inequality, identity, linear, quadratic, irrational, shows, logarithmic, trigonometric equations and inequalities.
Розділ 1. Рівняння та методологія їх розв'язання у середній школі
1.1 Лінійні рівняння з однією змінною (7 клас)
1.2 Система лінійних рівнянь з двома змінними (7 клас)
1.4 Ірраціональні рівняння (10 клас)
1.7 Тригонометричні рівняння (10 клас)
Розділ 2. Нерівності та методологія їх розв'язання у середній школі
2.1 Лінійні нерівності з однією змінною (9 клас)
2.2 Системи лінійних нерівностей з однією змінною (9 клас)
2.4 Ірраціональні нерівності (10 клас)
2.5 Показникові нерівності (10 клас)
2.6 Логарифмічні нерівності (10 клас)
2.7 Тригонометричні нерівності (10 клас)
Розділ 3. Інноваційні методології розв'язання рівнянь та нерівностей у 10 класі середньої школи
3.1 Інноваційна методологія розв'язання рівнянь і нерівностей з аналізом нетотожних перетворень в стандартних методах розв'язків (10 клас)
3.2 Інноваційна методологія інтерактивно-графічного розв'язання рівнянь та нерівностей вищих рівнів складності з використанням комп'ютерно-графічного калькулятора Microsoft Mathematics 4.0 (10 клас)
Розділ 4. Охорона праці та безпека в надзвичайних ситуаціях в загальноосвітній школі
4.1 Законодавчі основи організації охорони праці в галузі освіти та безпеки
життєдіяльності в загальноосвітній школі
4.2 Аналіз стану охорони навчання і праці та безпеки в надзвичайних ситуаціях в приміщенні кабінету математики та інформатики 10 класу
4.3 Обґрунтування заходів щодо покращення санітарно-гігієнічних умов навчання учнів в кабінеті математики та інформатики 10 класу загальноосвітньої школи
Швидкозмінність сучасного суспільства відбувається під впливом багатьох факторів, серед яких чільне місце займають:
а) процеси глобалізації, що виявляються в економіці, міграційних процесах, розподілі світових трудових ресурсів, обміні інформації (зокрема, через Інтернет), створенні міжнародних проектів;
б) розвиток тенденції переважання ринкових стосунків у суспільстві, в якому знання людини стали товаром;
в) утворення інформаційного суспільства, зокрема, бурхливий розвиток інформаційно-комп'ютерних технологій та їх застосування у всіх життєвих сферах життя суспільства.
Всі наведені фактори впливають на встановлення нових вимог та форматів для системи освіти загалом та математичної освіти в школі зокрема.
Традиційні погляди в освіті на формування в учнів знань, умінь і навичок вже не задовольняють суспільство. Сучасному суспільству потрібні не просто добросовісні виконавці, що мають певні знання, уміння й навички, а особистості. Це вимагає відкритості системи освіти до змін, що відбуваються в суспільстві, постійного перегляду й адаптування нормативної бази в освіті, розробки й впровадження в педагогічний процес нових методів і форм навчання та виховання. Як наслідок ? з'явилися поняття “традиційне навчання” та “інноваційне навчання”.
Традиційність навчання пов'язана з нормами освіти, що розробляються різними органами освіти, науковцями, педагогами-новаторами. Саме досягнення норм освіти є основним завданням традиційного навчання. Традиційне навчання покликане сформувати в учнів певну базу знань, умінь і навичок, без яких формування особистості проблематичне. Тому традиційне навчання є важливим аспектом підготовки учнів до самостійного життя. Однак традиційне навчання як система володіє певною замкнутістю, консервативністю й часто “не встигає” за швидкозмінним розвитком суспільства. Саме тому в науці виникла інша стратегія навчання - інноваційне навчання.
Актуальність теми дипломної роботи полягає в необхідності впровадження інноваційних форм викладення курсів математики в загальноосвітній школі на основі інтегрованих процесів інформатизації методологій викладання математики з застосуванням наочності комп'ютерних програмно-графічних систем.
Об'єкт дипломного дослідження - методологія викладення розділу „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри в загальноосвітній школі
Предмет дипломного дослідження - інноваційні підходи до викладення розділу „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри в загальноосвітній школі.
Мета дипломного дослідження - провести узагальнення сучасного учбового матеріалу шкільного курсу алгебри в розділі „Рівняння та нерівності” та розробити пропозиції щодо впровадження інноваційних методів викладання розділів „Рівняння та нерівності” з застосуванням комп'ютерних програмних комплексів.
1. Провести узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем „Рівняння та системи рівнянь” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи;
2. Провести узагальнення учбових програм та традиційних методологій викладення тем „Нерівності та системи нерівностей” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи;
3. Проаналізувати інноваційні напрямки розробки методологій та наочності викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи;
4. Довести доцільність та практичну цінність впровадження програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 в інноваційних методологіях викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи.
Методами дипломного дослідження були методи порівняння та узагальнення історичних методів алгебри рівнянь та нерівностей, методи практичного розв'язання характерних математичних завдань, методи практичного комп'ютерного розв'язання та побудови графічних наочних матеріалів.
Інформаційною основою дипломного дослідження були програмні стандарти Міністерства освіти та науки України щодо обсягів та тематики курсів алгебри в 7-11 класах загальноосвітньої школи, сучасні (2007-2012 рр.) та історичні (1963-1992 рр.) підручники та посібники з курсу алгебри для 7-11 класів загальноосвітньої школи, методологічні документи НПУ ім. М.П. Драгоманова, Кіровоградського РВВ КДПУ ім. В. Винниченка, Науково-методичного центру вищої освіти (м. Київ).
Практична цінність отриманих результатів дипломного дослідження полягає в доведенні ефективності використання програмно-графічного комплексу Microsoft Mathematics 4.0 для впровадження інтегрованих інноваційних методологій викладання тем „Рівняння та нерівності” в курсах алгебри 7-10 класів загальноосвітньої школи.
РОЗДІЛ 1. РІВНЯННЯ ТА МЕТОДОЛОГІЯ ЇХ РОЗВ'ЯЗАННЯ У СЕРЕДНІЙ ШКОЛІ
1.1 Лінійні рівняння з однією змінною (7 клас)
Алгебра багато століть розвивалась як наука про рівняння.
Рівняння - це рівність, яка містить невідомі числа, позначені буквами та інші числові дані. Невідомі числа в рівнянні називають змінними. Змінні найчастіше позначають буквами , хоч можна застосувати і інші букви латинь-кого або грецького алфавіту [47].
Приклад рівняння: . Якщо в ньому замість змінної написати число 5, матимемо правильну числову рівність 13*5-30=7*5. Говорять, що число 5 задовольняє дане рівняння.
Число, яке задовольняє рівняння, називається його коренем, або розв'язком.
Рівняння не має жодного кореня, бо при кожному значенні число на 7 більше від .
Розв'язати рівняння - це означає знайти всі його корені, або показати, що їх не існує.
Найпростіші рівняння можна розв'язувати на підставі відомих залежнос-тей між доданками та сумою, між множниками і добутком тощо.
Приклад 1.1.1 Розв'яжіть рівняння [2].
Розв'язок. Тут невідомий від'ємник. Щоб знайти його, слід від зменшуваного відняти різницю:
Тут невідомий множник . Щоб знайти його, треба добуток поділити на відомий множник:
Кожне рівняння має ліву і праву частину. Наприклад, у рівнянні різниця - це ліва частина, а число 13 - права частина. Разом та 13 - члени цього рівняння.
Розглянемо два рівняння: і . Кожне з них має один і той самий розв'язок: . Такі рівняння називаються рівносильними.
Два рівняння називаються рівносильними, якщо кожне з них має ті самі розв'язки, що й друге. Рівносильними вважають і такі рівняння, які не мають розв'язків, наприклад: та .
Щоб розв'язувати складніші рівняння, слід вміти замінювати їх простіши-ми і рівносильними даним.
З розподільного закону множення випливає, що при будь якому значенні , числа та рівні. Тому рівносильні такі, наприклад, рівняння: та .
З розподільного закону випливає, що при кожному значенні числа і рівні. Тому рівносильні і такі рівняння:
Взагалі, якщо в будь-якій частині рівняння звести подібні доданки або розкрити дужки, то дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Додавши до обох частин правильної числової рівності одне й те саме число, отримаємо також правильну рівність. З цього випливає, що коли, наприклад, до обох частин рівняння додати по , то отримане рівняння , рівносильне даному. А додати по - це те саме, що перенести з правої частини рівняння в ліву його член з протилежним знаком. Взагалі, якщо з однієї частини рівняння в іншу перенести будь-який його член з протилежним знаком, то дістанемо рівняння, рівносильне даному [2].
Згадаємо також, що обидві частини числової рівності можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля. Тому й коли обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля, то дістанемо рівняння, рівносильне даному рівнянню.
Завжди правильні такі основні властивості рівнянь [2]:
1. У будь-якій частині рівняння можна звести подібні доданки або розкрити дужки.
2. Будь-який член рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.
3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те саме число, відмінне від нуля.
У результаті таких перетворень завжди дістанемо рівняння, рівносильне даному.
Рівняння виду , де і - задані числа, називається лінійним рівнянням із однією змінною . Числа і - називаються коефіцієнтами лінійного рівняння: - коефіцієнт при змінній , - вільний член рівняння.
Якщо , то рівняння називають рівнянням першого степеня з однією змінною. Його корінь . Кожне рівняння першого степеня з однією змінною має тільки один корінь. Лінійне рівняння може не мати коренів, мати один корінь, або безліч коренів.
Так, рівняння не має жодного кореню, а рівняння має безліч коренів.
Розв'язуючи рівняння, його спочатку намагаються звести до лінійного. Роблять це декількома способами [2]:
1. Позбуваються знаменників (якщо вони є);
2. Розкривають дужки (якщо вони є);
3. Переносять члени з змінними в ліву частину рівняння, а інші - в праву.
У результаті такого перетворення отримують рівняння, рівносильне даному, а його корені є також коренями даного рівняння.
Приклад 1.1.2. Розв'яжіть рівняння [2]
Щоб розв'язати задачу з допомогою лінійних рівнянь спочатку треба скласти відповідно до умов задачі лінійне рівняння. Тобто треба перекласти задачу із звичайної мови на мову алгебраїчну.
Задача 1.1.3 На двох токах 1000 т зерна. Скільки зерна на кожному току, якщо на першому його на 200 т менше, ніж на другому?
Розв'язок. Нехай на першому току т зерна. Тоді на другому його
(), а на обох токах . Складаємо рівняння за умовами задачі:
Розв'язуючи задачі на рух, бажано пам'ятати, що при рівномірному русі пройдена тілом відстань дорівнює добутку швидкості на час (
Якщо тіло рухається при наявності течі, то його швидкість руху за течією (проти течії) дорівнює сумі (різниці) його власної швидкості і швидкості течі.
Задача 1.1.4 Катер пройшов відстань між пристанями за течією за 2 год., а назад - за 3 год. Знайдіть власну швидкість катера, якщо швидкість течії річки 2 км/год.
Розв'язок. Нехай власна швидкість катера км/год. Тоді
км/год - його швидкість за течією; км/год - його швид-кість проти течії; км - катер пройшов відстань за течією; км - катер пройшов відстань проти течії.
Відстані та рівні. Отже маємо рівняння:
1.2 Система лінійних рівнянь з двома змінними (7 клас)
Рівняння виду , де - задані числа, називається лінійним рівнянням з двома змінними та . Якщо і , його називають рівнянням першого степеня з двома змінними [2].
- приклади лінійних рівнянь, два перших із них - рівняння першого степеня з двома змінними.
Пара чисел і задовольняють рівняння , бо . А пара чисел і цього рівняння не задовольняють, бо .
Кожна пара чисел, яка задовольняє рівняння з двома змінними називається розв'язком цього рівняння (при цьому коренями їх не називають).
Щоб знайти розв'язки рівняння з двома змінними слід підставити в рівняння довільне значення першої змінної та, розв'язавши отримане лінійне рівняння з однією змінною , знайти його значення [2].
Приклад 1.2.1. Знайдемо кілька розв'язків рівняння .
1. Якщо , то . Відповідно пара чисел є одним із розв'язків цього рівняння, його коротко записують як (1;-2).
2. Якщо , то . Відповідно пара чисел є другим із розв'язків цього рівняння, його коротко записують як (3;4).
3. Якщо , то . Відповідно пара чисел є третім із розв'язків цього рівняння, його коротко записують як (15;40).
Таким чином, кожне рівняння першого степеня з двома змінними має безліч розв'язків.
Два рівняння з двома змінними називають рівносильними, якщо кожне з них має такі самі розв'язки, що і друге. Рівняння, які не мають розв'язків також вважаються рівносильними. Обидві частини рівняння з двома змінними можна помножити або поділити на одне й те саме відмінне від нуля число. Будь який член такого рівняння можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний. У результаті дістанемо рівняння, рівносильне даному [2].
Наприклад, рівняння можна перетворити так:
, Кожне з цих рівнянь рівносильне іншому.
Як тільки між змінними та задається друге додаткове рівняння зв'язку, то розв'язок може бути тільки одним, що доведемо прикладом.
Приклад 1.2.2. Серед розв'язків рівняння , знайдіть таку пару розв'язків, яка складалась би з однакових чисел.
Розв'язок. Нехай - шукана пара чисел. Оскільки вона повинна задовольняти задане рівняння, то
Рівносильні перетворення лінійних рівнянь з двома змінними використовують при пошуку рішень в системах двох рівнянь з двома змінними. В таких системах необхідно знати таку пару чисел (розв'язків), які задовольняли б і перше і друге рівняння при умові що вони не є рівносильними.
Враховуючи, що кожне окреме лінійне рівняння з двома змінними має безліч розв'язків, розв'язком системи лінійних рівнянь називається спільний розв'язок усіх її рівнянь [2]. Тобто розв'язати систему лінійних рівнянь з двома змінними:
- при заданих коефіцієнтах - це знайти множину значень (), які задовольняють кожному рівнянню.
Найпоширенішими способами Розв'язок системи рівнянь з двома змінними є спосіб підстановки та спосіб додавання.
Щоб розв'язати систему (2) способом підстановки, треба:
1) виразити з якого-небудь її рівняння одну змінну через другу змінну та коефіцієнти, наприклад із системи (2):
2) підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної здобутий вираз;
3) розв'язати утворене лінійне рівняння (4) з однією змінною ;
4) знайти відповідне значення (3) другої змінної .
Приклад 1.2.3. Нехай треба розв'язати способом підстановки систему:
Виразимо з другого її рівняння змінну через .
Через те, що перше рівняння системи повинне задовольняти тіж самі значення змінних, що й друге, підставимо знайдений вираз замість у перше рівняння. Дістанемо рівняння з однією змінною:
Підставивши знайдене значення в рівняння , дістанемо відповідне значення змінної :
Отже, розв'язком системи є пара чисел (3;2).
Способом підстановки зручно користуватись тоді, коли коефіцієнт при якій-небудь змінній в рівняння дорівнює 1. Та цим способом можна розв'язува-ти і будь-яку систему лінійних рівнянь з двома змінними.
Приклад 1.2.4 Розв'язати систему рівнянь:
Розв'язок. Замінимо дані рівняння лінійними, дістанемо систему:
Із першого рівняння виразимо змінну через
та підставимо це значення у друге рівняння системи:
При розв'язанні системи рівнянь способом додавання:
1) Виконуємо рівносильними перетвореннями зрівнювання коефіцієнтів перед однією парою однакових змінних в першому та другому рівнянні;
Для цього перше рівняння (праву і ліву частину) домножуємо на , друге рівняння (праву і ліву частину) на .
Отримуємо рівносильну систему з рівними коефіцієнтами з різними знаками перед змінною :
2) Додаючи одне рівняння від другого по частинам, отримуємо рівняння з однією змінною, яке розв'язуємо.
3) підставляючи отримане значення в одне з рівнянь системи (5), отримуємо рівняння з однією змінною, яке розв'язуємо, таким чином знаходячи розв'язок системи.
Приклад 1.2.5. Нехай задано систему рівнянь:
Розв'язок. При додаванні по частинам першого рівняння до другого отримуємо рівносильні ліву та праву частину:
Так розв'язують системи, в яких коефіцієнти при якій-небудь змінній - протилежні числа. А до такого вигляду можна звести будь-яку систему лінійних рівнянь з двома змінними.
Приклад 1.2.6 Нехай задано систему рівнянь:
Розв'язок. Домножимо всі члени 1 рівняння на 2, а всі члени другого рівняння на -3, отримаємо рівносильну систему рівнянь:
Додаючи по частинам перше рівняння до другого отримаємо:
Квадратним називають рівняння другого степеня з однією змінною виду
, де - змінна, а - дані числа, причому [3].
Числа - коефіцієнти квадратного рівняння: - перший коефіцієнт, - другий, - вільний член.
Згідно з означенням, перший коефіцієнт квадратного рівняння не може дорівнювати нулю. Якщо хоч один коефіцієнт або дорівнює нулю, то квадратне рівняння називають неповним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів [3]:
1) рівняння виду рівносильне рівнянню і тому воно завжди має тільки один корінь .
2) рівняння виду рівносильно рівнянню і завжди має два корені .
Приклад 1.3.1 Розв'яжіть рівняння .
Розв'язок. Винесемо змінну за дужки: .
3) рівняння виду рівносильне рівнянню . Якщо , воно має два розв'язки, якщо - жодного розв'язку.
Якщо знаки коефіцієнтів і різні, то число додатне і Розв'язок має два корені, якщо знаки коефіцієнтів і однакові, то число від'ємне і рівняння не має коренів.
Приклад 1.3.2 Розв'яжіть рівняння .
Розв'язок. Перетворимо дане рівняння до виду . Тоді - це квадратний корінь з . Квадратних коренів з числа є два:
Формула коренів квадратного рівняння
Приклад 1.3.3 Розв'яжемо для прикладу рівняння . Якщо до виразу додати та відняти 9, то достанемо квадрат двочлена та додаткове число -9:
Такий спосіб розв'язування квадратного рівняння називають способом виділення квадрата двочлена.
Розв'яжемо подібним способом рівняння .
Помноживши обидві частини рівняння на (по визначенню ), отримаємо:
Вираз називають дискримінантом даного квадратного рівняння і позначають буквою .
Якщо , то дане рівняння не має коренів, не існує такого дійсного значення , при якому б значення виразу було б від'ємним.
Якщо , то , звідки - єдиний корінь рівняння.
Якщо , то дане квадратне рівняння рівносильне рівнянню:
У цьому випадку дане рівняння має да корені, які відрізняються тільки знаками перед коренем з дискримінанту . Коротко розв'язок формули коренів квадратного рівняння записують:
Користуючись нею, можна розв'язати будь-яке квадратне рівняння.
Приклад 1.3.4. Розв'язати квадратні рівняння:
Квадратне рівняння називають зведеним, якщо його перший коефіцієнт дорівнює одиниці.
Теорема Вієта. Якщо зведене квадратне рівняння має два корені, то їх сума дорівнює другому коефіцієнту рівняння, взятому з протилежним знаком, а добуток - вільному члену.
Доведення. Якщо рівняння має корені , то їх можна знаходити по формулам:
Примітка. Якщо , то рівняння має два однакові корені .
Кожне квадратне рівняння виду (при ) рівносильне зведеному квадратному рівнянню . Тому якщо таке рівняння має два корені , то:
Теорема (обернена до теореми Вієта). Якщо сума і добуток чисел і дорівнюють відповідно - і , то і - корені рівняння .
Доведення. Нехай і . За цих умов рівняння рівносильне рівнянню .
Підставимо в це рівняння замість значення і .
Як видно з Розв'язок цих рівнянь числа і - корені рівняння, що і потрібно було довести.
При розв'язанні квадратних рівнянь застосовують знання формул скороченого множення многочленів [4]:
За допомогою квадратних рівнянь можна спростити розв'язування багатьох задач.
Задача 1.3.5. Знайдіть довжини сторін прямокутника, периметр якого дорівнює 42 см, а площа 108 см 2 .
Розв'язок. Півпериметр прямокутника дорівнює сумі його основи та бокової сторони (висоти) - 21 см. Якщо основу прямокутника позначити см, то висоту прямокутника можна розрахувати як (21-) см. Площа прямокутника дорівнює добутку основи та висоти прямокутника:
1.4 Ірраціональні рівняння (10 клас)
Рівняння називається ірраціональним, якщо невідоме входить під знаком чи радикала невідоме зводиться в ступінь із дробовим показником [23]. Розв'язок ірраціонального рівняння зводиться до звільнення від ірраціональності і розв'язанню отриманого рівняння. При зведенні рівняння в ступінь можуть з'явитися сторонні корені. Тому необхідно робити перевірку, чи є знайдені корені. Розв'язок вихідного рівняння. Основним методом Розв'язок ірраціональних рівнянь є зведення обох частин рівняння в ступінь. Приведемо основні способи Розв'язок ірраціональних рівнянь.
1. Метод рівняння на область допустимих значень (ОДЗ) [52].
Знаходимо ОДЗ з умов того, що підкоренева функція вираження задовольняє умові . При розв'язанні ірраціонального рівняння перевіряємо, чи входять знайдені корені в ОДЗ.
Зведемо обидві частини рівняння в квадрат
Корінь не задовольняє рівнянню, тому що під коренем будуть негативні вираження.
Приклад 1.4.2 Розв'яжемо ірраціональне рівняння
ОДЗ значень визначаються додатним чи нульовим значенням виразу під коренем , відповідно до чого ОДЗ визначається як .
У рівняння 3 розв'язки, які знаходяться при розв'язанні рівнянь
Корені , не входять в ОДЗ і не задовольняють рівнянню.
ОДЗ цього рівняння визначається додатним чи нульовим значенням виразу під коренем
З рівнянь знаходимо корені , , . Корінь не входить в ОДЗ і є стороннім.
ОДЗ цього рівняння визначається додатним чи нульовим значенням виразу під коренем .
Рівняння має очевидний корінь , що не входить в ОДЗ і є стороннім. Після скорочення на одержимо рівняння
Варто оцінити значення лівої і правої частин рівняння в ОДЗ. Якщо вони не можуть бути рівними в ОДЗ, то рівняння не має розв'язків.
Знаходимо ОДЗ . В ОДЗ для виконується нерівність
Знаходимо ОДЗ: . В ОДЗ права частина рівняння негативна, а ліва частина не негативна. Рівняння не має розв'язків, (пуста множина значень).
2. Метод зведення рівняння в квадрат[52]
Виділимо обох частин рівняння в квадрат
Після приведення подібних членів одержимо
ОДЗ для цього рівняння визначається двома нерівностями
Зводимо обох частин рівняння в квадрат
Цей розв'язок не задовольняє ОДЗ рівняння, тобто (пуста множина).
Приклад 1.4.11. Розв'яжемо рівняння
ОДЗ для цього рівняння визначається двома нерівностями
Зведемо обидві частини рівняння в квадрат. Одержимо
Розв'язок задовольняє ОДЗ, але не задовольняють рівнянню.
Приклад 1.4.12 Розв'яжемо рівняння
ОДЗ для цього рівняння визначається двома нерівностями
Зведемо обидві частини рівняння в квадрат
Заміна підкореневого вираження спрощує зведення ірраціонального рівняння до раціонального.
Позначимо . Одержимо рівняння за зведемо дві його частини в квадрат
Позначимо . Одержимо рівняння та його корені
Відповідно вставлюючи отримане значення в підстановку, отримуємо
Позначаючи , одержимо рівняння . . Розв'язуємо рівняння
Приклад 1.4.16 Розв'язати рівняння
Проводячи заміну . Одержимо рівняння та його корені
Приклад 1.4.18 Розв'язати рівняння
Проводимо заміну . Одержимо рівняння
При розв'язанні ірраціональних рівнянь часто використовують прийом виділення повного квадрата.
Виділимо під радикалами повний квадрат
Розв'язуємо рівняння на інтервалах і знаходимо корені , .
Під знаком кореня -- повний квадрат
З першої системи знаходимо . Корінь -- сторонній.
Приклад 1.4.23. Розв'язати рівняння
Якщо покладемо , то одержимо систему
5. Множення на сполучене вираження [52]
Помножимо обох частин рівняння на сполучене вираження
Маємо корінь рівняння . З рівнянь (1), (2) знаходимо
Зводимо обох частин рівняння в квадрат.
Приклад 1.4.25. Розв'язати рівняння
Ліву і праву частини рівняння множимо і ділимо на сполучені вираження
Приклад 1.4.26 Розв'язати рівняння з кубічними ірраціональностями
6. Метод однорідних ірраціональних рівнянь [52]
називається однорідним. Воно зводиться до квадратного рівняння заміною
7. Метод розкладання на множники[52]
Знайдемо спочатку ОДЗ із нерівностей
Зведемо обидві частини рівняння до квадрату
Винесемо корінь четвертого ступеня за дужки
Прирівнюємо показники при основі 5.
Оскільки , то можна логарифмувати рівняння.
Рівняння , можна переписати у вигляді
5. Спосіб розкладання рівняння на множники.
Рівняння намагаємося подати у вигляді і прирівнюємо до нуля кожний множник.
Покладемо і розкладемо рівняння на множники . Приход
Методика розв’язання рівнянь і нерівностей у середній школі дипломная работа. Математика.
Соотношение понятий система права и правовая система
Курсовая Работа По Экономике Предприятия Пример
Где Пишется Эссе
Курсовая работа по теме Особливості перекладу іншомовного гумору з англійської мови на українську та російську (на прикладі телесеріалу 'Теорія Великого Вибуху')
Какое Сочинение Принадлежит Перу Эразма Роттердамского
Учебно Курсовой Комбинат Белгород Сумская
Контрольная работа: Амортизація, її визначення, характеристика, порядок нарахування
Курсовая работа по теме WEB-дизайн: Flash технологии
Медицинские Услуги Реферат
Реферат по теме Аномалии развития мужской половой системы
Реферат по теме Ассортимент и показатели качества ржано-пшеничного хлеба. Сравнительная характеристика показателей качества Бородинского хлеба разных производителей
Как Писать Сочинение По Повести Тарас Бульба
Сочинение О Растении 6 Класс
Пособия Беженцам И Вынужденным Переселенцам Курсовая
Курсовая Работа На Тему Центральный Банк Рф Его Задачи И Функции
Иван Ильин Сочинения
Реферат: Пути улучшения финансового состояния ЗАО ИНФ-АБРАЗИВ
Гдз Лабораторная Работа Номер 1
Дипломная работа по теме Калибровка прокатных валков
Реферат: Механические свойства биологических тканей
Влияние этрусской цивилизации на формирование римской культуры - История и исторические личности курсовая работа
СМИ и культура речи - Иностранные языки и языкознание научная работа
Становление парламентаризма в Японии и Турции - История и исторические личности дипломная работа