Математическое ожидание квадрата случайной величины
Математическое ожидание квадрата случайной величиныСкачать файл - Математическое ожидание квадрата случайной величины
Пусть мы измеряем случайную величину N раз, например, десять раз измеряем скорость ветра и хотим найти среднее значение. Как связано среднее значение с функцией распределения? Будем кидать игральный кубик большое количество раз. Количество очков, которое выпадет на кубике при каждом броске, является случайной величиной и может принимать любые натуральные значения от 1 до 6. Среднее арифметическое выпавших очков, подсчитанных за все броски кубика, тоже является случайной величиной, однако при больших N оно стремится ко вполне конкретному числу — математическому ожиданию M x. Каким образом получилась эта величина? Пусть в N испытаниях раз выпало 1 очко, раз — 2 очка и так далее. Найти математическое ожидание числа очков, которые выбьет первый стрелок в предыдущем примере. Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей:. Математическое ожидание не всегда является разумной оценкой какой-нибудь случайной величины. Так, для оценки средней заработной платы разумнее использовать понятие медианы, то есть такой величины, что количество людей, получающих меньшую, чем медиана, зарплату и большую, совпадают. Медиана определяется однозначно не для всех распределений. Дисперсией случайной величины x называется среднее значение квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: Используя вероятности p i того, что величина x принимает значения x i , эту формулу можно переписать следующим образом:. Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины: В условиях предыдущего примера вычислить дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины x. Найти распределение вероятности числа очков, выпавших на кубике с первого броска, медиану, математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратичное отклонение. Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так:. Таким образом, медианой случайной величины является любое число из интервала 3; 4. Обычно в качестве медианы указывают среднее значение из этого интервала: В нашем случае медиана совпала с математическим ожиданием, в других распределениях это не так. Среднеквадратичное отклонение Видно, что отклонение величины от среднего значения очень велико. Найти математическое ожидание суммы и произведения очков, выпавшей на двух кубиках. Найти математическое ожидание и дисперсию суммы очков, выпавших при бросании кубика N раз. Случайный процесс можно представить как сумму единичных бросков. Пусть за N бросков на кубике выпало y очков. Если z — среднее количество очков, выпавших на кубике за N бросков: Этот результат верен не только для бросков кубика. Он во многих случаях определяет точность измерения математического ожидания опытным путем. Видно, что при увеличении количества измерений N разброс значений вокруг среднего, то есть среднеквадратичное отклонение, уменьшается пропорционально. Дисперсия случайной величины связана с математическим ожиданием квадрата этой случайной величины следующим соотношением: Найдём математические ожидания обеих частей этого равенства. По определению, Математическое же ожидание правой части равенства по свойству математических ожиданий равно. Закон распределения рассматриваемой случайной величины может быть задан следующей таблицей: Выпадение любой грани равновероятно, так что распределение будет выглядеть так: Свойства математического ожидания Математическое ожидание суммы независимых случайных величин равно сумме их математических ожиданий: Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: Свойства дисперсии Дисперсия суммы независимых случайных величин равно сумме дисперсий: Действительно, Найдём математические ожидания обеих частей этого равенства. Салон свадебных платьев В продаже - платье женское, цены ниже! Математика , Английский язык , Химия , Биология , Физика , География , Астрономия.
Как найти дисперсию?
Тема 'Дискретные случайные величины'. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным. Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Закон распределения дискретной случайной величины можно задать таблично, в виде формулы аналитически и графически. Числовые характеристики дискретных случайных величин. Числа, которые описывают случайную величину суммарно, называют числовыми характеристиками случайной величины. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: Вышеприведенная формула справедлива для дискретной случайной величины, число возможных значений которой конечно. Если же случайная величина имеет счетное число возможных значений, то для нахождения математического ожидания используют формулу: Вероятностный смысл математического ожидания: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых. Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна. Тогда справедлива следующая теорема. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления этого события в каждом испытании: Разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием называется отклонением. Математическое ожидание отклонения равно нулю: Дисперсией дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величиной от ее математического ожидания: Дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: Дисперсия постоянной величины равно нулю: Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат: Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих величин. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равно сумме дисперсий этих случайных величин: Дисперсия числа появлений события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и вероятность непоявления этого события в одном испытании: Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: Размерность среднего квадратического отклонения совпадает с размерностью самой случайной величины. Metrika ; yaCounter
Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...
Сколько зарабатывают волейболисты
Дисперсия случайной величины
Датчик уровня для артезианских скважин