Композиции преобразований - Математика дипломная работа

Главная

Математика
Композиции преобразований

Основные композиции движений пространства. Композиции центральных симметрий пространства. Композиция зеркальной и центральной симметрий пространства. Композиции подобий и аффинных преобразований пространства.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
§ 1. Композиции движений пространства. 4
1.1. Основные композиции движений пространства. 4
1.2. Композиции центральных симметрий пространства. 9
1.3. Композиция зеркальной и центральной
1.4. Композиции осевых симметрий пространства. 12
1.5. Применение композиций движений
§ 2 . Композиции подобий и аффинных преобразований
Композиции геометрических преобразований пространства являются логическим продолжением темы композиций геометрических преобразований плоскости. И если последние освещены в литературе сравнительно полно, то для пространства литературы гораздо меньше.
Целью данной работы является рассмотрение и изучение некоторых композиций преобразований евклидова пространства. Эти композиции выбирались следующим образом: строился стереометрический аналог для некоторых теорем, задач из планиметрии (планиметрические задачи можно найти в [2]) , решались задачи из [3].
В настоящей работе рассмотрены и систематизированы 14 композиций преобразований евклидова пространства, оформленные в виде задач, поэтому эта работа может быть использована при проведении факультативных занятий в школе для детей с подходящим уровнем знаний и на первых курсах ВУЗов в курсе геометрии.
Пусть f и g - два преобразования множества X такие, что f ( x )= y , g ( y )= z для произвольного x X , конечно, y X и z X . Отображение определим законом ( x )= g ( f ( x )) . Тогда отображение является преобразованием множества X и называется композицией (произведением) преобразований f и g . В литературе принято следующее обозначение композиции преобразований: = g ? f .
Композиции преобразований обладают следующими свойствами:
1 . Композиция преобразований ассоциативна, т. е. для любых преобразований f , g , h данного множества имеет место равенство:
2 . Композиция преобразований антикоммутативна, но в частных случаях композиции преобразований могут быть коммутативными.
В дальнейшем будут рассматриваться композиции преобразований евклидова пространства.
§ 1. Композиции движений пространства
1.1. Основные композиции движений пространства
Рассмотрим композиции движений пространства, которые часто используются при нахождении других композиций движений и при решении геометрических задач.
Задача 1. Найти композицию поворота R l и переноса пространства при условии, что вектор и ось поворота l не параллельны.
Решение. Представим оба движения композициями осевых симметрий:
R l = S b ? S a , где a l , b l , ( a , b ) = (здесь и дальше будут рассматриваться ориентированные углы), a b l = O и = S v ? S u , где u ¦ v , u . Пользуясь имеющимся произволом в выборе осей симметрий, можно совместить оси u и b (рис. 1). Тогда ? R l = S v ? S u ? S b ? S a = S v ? S a . Если вектор не ортогонален оси l , то прямые a и v скрещиваются, и угол между ними равен углу между a и b , т.е. равен . Композиция S v ? S a есть винтовое движение с осью m , являющейся общим перпендикуляром прямых a и v , и вектором 2 , где P = a m , Q = v m , m ¦ l . Итак,
Если l , прямые a и v пересекаются, поэтому =, и искомая композиция является поворотом R m . Если при этом = , то имеем, что ? R l = S m , l , m ¦ l .
Нетрудно доказать обратное. Таким образом, если плоскости зеркальных симметрий пересекаются по одной прямой или параллельны, то их композиция является зеркальной симметрией, плоскость которой соответственно содержит прямую пересечения или параллельна плоскостям, исходных симметрий.
Пусть плоскости , , имеют единственную общую точку O . В этом случае она является единственной неподвижной точкой композиции этих симметрий (предположение о существовании другой неподвижной точки приводит к предыдущему случаю). Следовательно, композиция f = S ? S ? S есть поворотная симметрия. Найдем ее компоненты: плоскость, ось и угол поворота. Обозначим прямые пересечения плоскостей следующим образом: = a , = b , = c (рис. 3).
Пусть f ( c )= c 1 , тогда прямые c и c 1 симметричны относительно плоскости , и S ( a )= a 0 , тогда f ( a 0 )= a . Поскольку плоскость поворотной симметрии f делит каждый отрезок, соединяющий соответственные точки, пополам, то ей принадлежат ортогональные проекции m и n прямых a и c соответственно на плоскости и . Итак, есть плоскость, проходящая через прямые m и n . Ось l поворота есть перпендикуляр к плоскости в точке O , угол поворота равен углу между ортогональными проекциями a 0 и a (или c и c 1 ) на плоскость .
Пользуясь ассоциативностью композиции и выводами, полученными ранее, обобщим:
1) композиция четного числа центральных симметрий пространства является переносом;
2) композиция нечетного числа центральных симметрий пространства является центральной симметрией.
Задача 5. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно последовательно взятых вершин параллелограмма ABCD .
Решение. Требуется найти композицию f = Z D ? Z C ? Z B ? Z A (рис. 5).
Сгруппируем элементы композиции «удобным» образом и воспользуемся выводом (1) предыдущей задачи:
f =( Z D ? Z C )?( Z B ? Z A )= ?. Векторы и являются противоположными, поскольку ABCD есть параллелограмм, следовательно искомая композиция является тождественным преобразованием E .
Обобщим эту задачу на случай четырех произвольных точек.
Задача 6. Найти композицию центральных симметрий пространства относительно четырех произвольных точек.
Решение. Требуется найти композицию f = Z E ? Z C ? Z B ? Z A (рис. 6). Воспользуемся результатом предыдущей задачи, для этого построим, например, в плоскости BCD точку D такую, что четырехугольник BCE D является параллелограммом.
Тогда равенству f = Z E ? Z C ? Z B ? Z A эквивалентно равенство f = Z D ? Z D ? Z E ? Z C ? Z B ? Z A . Композиция Z D ? Z E ? Z C ? Z B есть тождественное преобразование, т.к. BCED - параллелограмм. И искомая композиция имеет вид f = Z D ? Z A , а это перенос пространства (согласно выводу (1) ).
1.3. Композиции зеркальной и центральной симметрий
Задача 7 . Найти композицию зеркальной и центральной симметрий, если плоскость первой не содержит центр второй.
Решение. Пусть даны плоскость и точка О , не принадлежащая ей. Найдем композицию Z O ? S . Центральная симметрия Z O как частный случай поворотной симметрии представима композицией осевой и зеркальной симметрии: Z O = S l ? S , где l и - перпендикулярные прямая и плоскость, причем l = O . Выберем плоскость таким образом, что ¦ , тогда l будет являться перпендикуляром и к плоскости (рис. 7). Тогда Z O ? S = S l ? S ? S . В силу того, что плоскости и параллельны, их композиция есть параллельный перенос , при этом ¦ l . А это по определению есть винтовое движение с осью l , углом 180, вектором .
Рис. 7 Рис. 8
Итак, композиция зеркальной и центральной симметрий есть винтовое движение: Z O ? S = S l ? . (3)
Задача 8 . Найти композицию Z O ? S ? S l , если прямая l параллельна плоскости и точка О лежит в .
Решение. На основании (3) композиция Z O ? S в общем случае есть винтовое движение. В силу того, что О , вектор винтового движения будет нулевым, и само винтовое движение выродится в осевую симметрию S a , где a и O a (рис. 8). Тогда Z O ? S ? S l = S a ? S l , причем a l .
Если прямые a и l скрещиваются, то искомая композиция является винтовым движением R h ? , угол которого равен 2 ( a , l ) = , ось h - общий перпендикуляр прямых a и l , вектор = 2 , где L = l h , A = a h (см. [3], с. 19).
Если прямые a и l пересекаются, то =, и композиция S a ? S l является осевой симметрией S h , где h - это перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l .
1.4. Композиции осевых симметрий пространства
Задача 9 . Композиция трех осевых симметрий пространства является осевой симметрией: S c ? S b ? S a = S l . Какое взаимное положение могут иметь прямые a , b , c ? Построить ось l этой композиции в каждом из возможных случаев.
Решение. Равенству S c ? S b ? S a = S l эквивалентно равенство
S c ?S b =S l ?S a . ()
Если прямые b и c параллельны, то S c ? S b = . Тогда и правая часть равенства () является переносом: S l ? S a = . А значит прямые a и l также будут параллельными.
Таким образом, получили, что, если прямые b , c параллельны, то все оси a , b , c и l попарно параллельны (рис. 9а).
Рис. 9а Рис. 9б
Если прямые b и c пересекаются в точке O , то композиция S c ? S b является поворотом R h (см. [3], c. 15) , где h - перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c , при этом точка O принадлежит оси h , угол = 2 ( b , c ) (рис. 9б). Тогда и композиция S l ? S a является этим же поворотом R h , значит h - перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые a и l , точка пересечения A которых принадлежит оси h , и ориентированный угол между a и l равен углу поворота .
Таким образом, если оси b и c пересекаются, то прямая a параллельна плоскости, проходящей через b и c , пересекается с перпендикуляром h к этой плоскости, восстановленным в точке пересечения прямых b и c . Ось l удовлетворяет следующим условиям: точка пересечения A прямых a и h принадлежит l , l параллельна плоскости ( b , c ) , ориентированные углы ( a , l ) = ( b , c ). Если точка A принадлежит прямой a , то точки A и O совпадают, т.е. ось l также походит через точку A .
Если прямые b и c скрещиваются, то композиция S c ? S b является винтовым движением R h 2 ?, ось h которого есть общий перпендикуляр к прямым b и c , вектор коллинеарен оси h , угол равен ориентированному углу между прямыми b и c (рис. 9в). В силу равенства () композиция S l ? S a является этим же самым винтовым движением: S l ? S a = R h 2 ?, то есть h - общий перпендикуляр к скрещивающимся прямым a и l , и угол ( a , l ) = .
Таким образом, если оси b и c - скрещивающиеся, то прямые a , b и c попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр h . Ось l удовлетворяет следующим условиям: l и h - перпендикулярные прямые, расстояния между прямыми b , c и a , l равны, и углы между этими осями также равны.
Обобщая все рассмотренные случаи, получаем, что композиция трех осевых симметрий является осевой симметрией, если исходные оси либо попарно параллельны, либо попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в параллельных плоскостях по две, пересекаются, и прямая, проведенная через точки пересечения, является для осей общим перпендикуляром.
Задача 10 . Композиция трех осевых симметрий есть перенос: S c ? S b ? S a = . Каково взаимное положение их осей?
Решение. Если прямые b и c параллельны, то композиция S c ? S b является переносом . Тогда ? S a = , полученное равенство эквивалентно равенству S a = ? или S a = (этот факт легко доказывается по аналогии с композицией переносов в планиметрии, см. [2], с. 308). Это равенство противоречиво, а значит композиция S c ? S b ? S a при параллельных b и c не может быть переносом.
Если прямые b и c пересекаются в точке O , то композиция S c ? S b является поворотом R h , где h - перпендикуляр к плоскости, проходящей через прямые b и c , при этом точка O принадлежит оси поворота h , и угол =2 ( b , c ). Тогда исходная композиция S c ? S b ? S a = будет эквивалентна следующей композиции R h ? S a = . Такое возможно только, если поворот R h является осевой симметрией пространства, т.е. угол = , при чем оси симметрий a и h параллельны, и расстояние между ними равно . В силу этих рассуждений, получили, что ось a перпендикулярна плоскости ( b , c ) , а прямые b и c перпендикулярны между собой.
Таким образом, при пересекающихся осях b и c для выполнения исходного равенства необходимо, чтобы прямые a , b и c были попарно перпендикулярными.
Если b и c скрещиваются, то композиция S c ? S b является винтовым движением R h ? , где h - общий перпендикуляр прямых b и c , угол =2 ( b , c ), =(рис. 10).
Следовательно, S c ? S b ? S a = эквивалентно равенству R h ? = ? S a . А это возможно, если угол = , и прямые a и h параллельны, иначе говоря прямая a перпендикулярна b и c . Т.е. исходное равенство при скрещивающихся прямых b и c возможно, если все три оси взаимно перпендикулярны.
Таким образом, композиция трех осевых симметрий пространства есть перенос, если оси этих симметрий попарно перпендикулярны.
1.5. Применение композиций движений пространства к решению задач
Аппарат движений пространства, а в частности композиции движений пространства, можно эффективно применять для решения геометрических задач.
Задача 11 . Докажите, что биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла DABC и биссектриса угла, смежного с третьим плоским углом, лежат в одной плоскости.
Решение. Пусть DE , DF - биссектрисы плоских углов ADB и BDC , DH - биссектриса угла, смежного с углом ADC , т.е. DAE = EDC , BDF = FDC , CDH = HDK (рис.11).
Рассмотрим композицию f трех осевых симметрий: f = S DH ? S DF ? S DE . Движение f - это движение первого рода, как композиция движений первого рода. К тому же композиция S DH ? S DF ? S DE отображает прямую AK на себя, точка D при этом неподвижна. Следовательно, рассматриваемая композиция есть осевая симметрия.
Воспользовавшись выводами, полученными в задаче 8 для случая с пересекающимися осями симметрий, можно сказать, что прямые DE , DF и DH лежат в одной плоскости.
Задача 12 . Через вершину D прямого трехгранного угла DABC внутри его проведен луч DO . Доказать, что выполняется неравенство:
( DO , DA )+( DO , DB )+( DO , DC ) < 180 .
Решение. Обозначим через DE , DF и DH лучи, симметричные лучу DO относительно прямых DA , DB и DC соответственно (рис. 12). Поскольку трехгранный угол DABC - прямой, то прямые DB и DC перпендикулярны, и S DC ? S DB = S DA (как композиция двух поворотов). Рассмотрим образ луча DF после применения симметрии S DA :
S DA ( DF )=( S DC ? S DB )( DF )= S DC ( DO )= DH , кроме того S DA ( DO )= DE .
Следовательно, ( DO , DF )=( DE , DH ). Аналогично можно доказать, что ( DO , DE )=( DF , DH ) и ( DO , DH )=( DE , DF ).
Оценим искомую сумму углов, учитывая полученные равенства:
= ( DO,DE ) + ( DO,DF ) + ( DO,DH ) = ( ( DF,DH ) + ( DE,DH ) +
+ ( DE,DF ) ) . Лучи DE , DF и DH являются ребрами трехгранного угла DEFH , а значит сумма ( DF , DH )+( DE , DH )+( DE , DF ) <360 .
Наделение множества метрикой, основные аксиомы метрического пространства. Равномерная метрика, нормы элементов и линейное пространство. Фундаментальная последовательность элементов линейного нормированного пространства. Понятие банахова пространства. реферат [375,9 K], добавлен 04.12.2011
Понятие нормированного пространства. Пространства суммируемых функций. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Интерполяция в пространствах суммируемых функций. Теорема Марцинкевича и ее применение. Пространства суммируемых последовательностей. дипломная работа [354,0 K], добавлен 08.08.2007
Понятие и основные характеристики пространства Соболева, их главные свойства, сущность простейшей теоремы вложения. Порядок применения пространства Соболева для доказательства существования и единственности обобщённого решения уравнения Лапласа. курсовая работа [232,5 K], добавлен 12.10.2009
Исследование геометрии поверхностей четырехмерного псевдоевклидова пространства индекса один (пространства Минковского). Определение пространства Минковского, его основные особенности, типы прямых и плоскостей. Развертывающиеся и линейчатые поверхности. дипломная работа [1,7 M], добавлен 17.05.2010
Понятие и характеристика линейного пространства, его главные свойства и особенности. Исследование аксиом векторного пространства. Анализ отличий и признаков векторного подпространства. Базис и формулы линейного пространств, определение его размерности. реферат [249,4 K], добавлен 21.01.2011
Этапы развития теории описания пространства, сущность принципа относительности, сформулированного Галилеем. Геометрия Минковского как описание пространства – времени, основные понятия ее описания. Разработка практических занятий по данным темам. дипломная работа [354,6 K], добавлен 24.02.2010
Особенности неподвижного геометрического трехмерного пространства, его отличительные признаки от подвижного пространства. Отличия физической сущности скорости от математической. Понятие производной вектора по времени, методика и этапы ее определения. статья [174,3 K], добавлен 25.12.2010
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Композиции преобразований дипломная работа. Математика.
Реферат: Источники и характер сексуальной информации
Повышение Энергоэффективности Зданий Реферат
Дипломная работа по теме Технология производства мучных кулинарных изделий из дрожжевого теста
Нравственные Ценности Сочинение 9.3 Алексин
Контрольная работа: Скифы. Материальная и духовная культура
Сочинение Что Такое Реликвия И Примеры
Эссе В Чем Суть Жизни
Реферат по теме Социология молодежи
Контрольная работа по теме Анализ структуры и задач основных подразделений Азовского НИИ Рыбного Хозяйства
Реферат На Тему Учет Затрат На Ремонт И Модернизацию Основных Средств
Курсовая работа по теме Cистема учета материально-производственных запасов АУ ГОУ Анадырь 'Центр спортивного отдыха'
История антропологии. Связь с другими науками. Методы антропологических исследований
Курсовая Работа На Тему Экономическое Содержание Капитала
Реферат по теме Духовно-нравственное воспитание современной молодежи
Реферат: Оценка рыночной стоимости объекта торговой недвижимости. Скачать бесплатно и без регистрации
Порядок Действий 3 Класс Контрольная Работа
Реферат: Й. Шумпетер – засновник еволюційної економічної теорії
Реферат На Тему Индустриализация Эпохи Петра І
Реферат по теме Социальная философия и социально-гуманитарные науки в познании общества
Реферат На Тему Тяжёлые Металлы. Источники Поступления В Окружающую Среду. Действие На Организм Человека
Організація новорічного бенкету з повним обслуговуванням офіціантами - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
Теоретические, методологические и практические основы маркетинга в сфере стоматологических услуг - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа
Средства организации и источники бухгалтерского учета - Бухгалтерский учет и аудит реферат