Классы морфизмов и категории
sergey shishkinЧетвёртый параграф третьей главы "СИСТЕМЫ и МОДЕЛИ"
Из приведенных ранее примеров ясно, что существует достаточно много разных типов морфизмов. Попытаемся найти общее для всех них.
Пусть существует формальная теория T = <Q, U>, описывающая некоторый класс моделей. Построим формальную теорию, моделями которой служат морфизмы между моделями теории Т.
Приведенные примеры подсказывают, как надо это сделать. Надо взять пару моделей <А, а> и <В, в> и построить одно или несколько соответствий между множествами А и В, которые удовлетворяли бы определенным аксиомам. При этом, очевидно, несущим множеством морфизма как модели новой теории Т' будет множество A U B. T'=<Q', U'> :
1) Q' =Q1 U Q2, где Q1={m1, m2}; Q2=pi
Например, заданы две модели с одним бинарным отношением, изображенным сплошной стрелкой. Тогда морфизмом будет модель в сигнатуре с одним добавочным отношением (изображенным штриховой стрелкой). Исходя из этих соображений, определим теорию, i из I. Предикаты m1, m2 - унарные, pi - бинарные.
2) U' = U1 U U2 U Uз U U4.
Существует взаимноднозначное отображение u: U в U1
Если А из U, то и u(А) = А1 & А2, причем Ai получается из А заменой кванторов: "для любого" у из Рх и "существует" х из Рх соответственно на "для любого" x (Рх & mi(х)) и "существует" х (Рх & mi(х)) .
U2 состоит из следующих аксиом:
1) "для любого" x (m1(x) V m2 (x)),
2) для каждого предиката R(n) из Q
R(n) (х1, . .. , хn) => m1(х1) & ... & m1(хn) V m2(x2) & ... & m2(хn)
Uз состоит из аксиом типа
"для любого" x "для любого" y (pi (х, y) => m1 (х) & m2 (у), rде i пробегает множество I.
U4 состоит из произвольных аксиом, включающих любые отношения из сигнатуры Q'.
Содержательно эта конструкция интерпретируется следующим образом.
Пусть <М, µ> - модель теории Т'.
Найдем множества А = {х|х из М) & m1(х)} и В = {х|х из М) & m2(х)}.
Построим отображение µ1 из множества всех отношений на М во множество
всех отношений на А, сопоставляющее отношение r из Mn с отношением r из Аn.
Модель <А, а>, где а= µµ1 является ограничением модели <М, µ> на множество А (обозначим <А, а> = <М, µ>, /m1>. Аналогично определяется модель < В, в> = <М, µ> /m2>. Модели <А, а> и < В, в> определены в сигнатуре Q. Однако согласно аксиомам из U3 отношения pi будут пусты, а m1 и m2 - просто индикаторы несущих множеств. Поэтому удобнее считать, что модели <А, а> и <В, в> определены в сигнатуре Q.
Аксиомы из U1 показывают, что <А, а> и <В, в> являются моделями теории Т. Из аксиомы 1) следует, что A U B = M. Аксиомы 2) указывают, что каждое отношение из Q не может выполняться на n-ке элементов, одни из которых принадлежат А, а другие В.
В силу аксиом из U3 {pi} - семейство бинарных отношений, действующих между А и В, т. е. набор соответствий. Список аксиом U4 определяет условия на эти соответствия. Они как бы характеризуют информацию, которую модель < В, в> содержит относительно модели <А, а>.
Например, если мы хотим задать гомоморфизмы моделей, то I - одноэлементное множество (т. е. существует одно отношение р), а аксиомы из U4 имеют вид:
1) "для любого" х "для любого" у "для любого" х' "для любого" у' ((х = х') & р(х, у) & р(х', у') в (у = у'))
2) "для любого" x1, ... "для любого" xn (R(n) (х1, ... хn) & р(x1, y1) & .. . & р (xn, yn) в R(n) (y1, ... , yn))
3) "для любого" x (m1(х)) "существует" y (p(х, y)) ·
Для бигомоморфизмов I - двухэлементное множество, так как необходимо два отображения из несущего множества одной модели в несущее множество другой.
С помощью теории Т' можно описать множество всех морфизмов между двумя произвольными моделями <А, а> и <В, в> теории Т. Для этого строится каркас <<С, v>, Q2, U3 U U4>, где <С, v> - модель теории < Q U Q1, U1 U U2>. причем <С, v>, /m1> = <А, а>, <С, v>, / m2> = <В, в>.
Очевидно, что после того, как заданы модели <А, а> и < В, и>, модель <С, v> определяется однозначно.
Множество всех состояний этого каркаса и есть множество морфизмов из <А, а> в < В, в>.
Следует заметить, что состояния каркаса различаются более тонко, чем с точностью до изоморфизма моделей. Надо различать состояния, по-разному реализованные на базовом множестве. Два разных морфизма как модели могут быть изоморфны. Следует также отметить, что совокупность состояний каркаса образует хорошее множество, а совокупность моделей данной теории образует класс.
До сих пор мы мало внимания обращали на одно очень важное свойство морфизмов - на то, что можно определить их композицию (умножение).
Если существует морфизм u: А в В и морфизм v : В в С, то тем самым однозначно определяется морфизм w : А в С (w = uv). Это согласуется с нашей интерпретацией морфпзмов как способов сравнения объектов: если А сравнивается с В, а В с С, то, очевидно, А автоматически сравнивается с С.
Вспомним примеры морфизм'в: композицию гомоморфизмов и корреспонденций можно определить как композицию соответствующих отображений, композицию бигомоморфизмов как поэлементную композицию пар отображений (f1, f2) · (f'1, f'2)= (f1f'1, f2f'2), где · - знак композиции.
Нетрудно представить себе, как строится композиция в общем случае, а именно: если заданы два морфизма - модели теории Т' : < М, µ> и <N, n>, причем <М, µ>/m2 = <N, n>/m1, то тем самым однозначно определяется модель <L, л> в сигнатуре Q' такая, что <L, л>/m1 = <M, µ>/m1; <L, л>/m2= <N, n)>/m2 и "для любого" i из I л(pi)(х, у) соответствует ("для любого" z) µ(pi) (х,z) & n (pi(z, у)).
Очевидно, что в модели <L, л> выполняются аксиомы из U1, U2 и U3, но аксиомы из U4 могут и не выполняться. Например, U1 пусто, а U4 имеет аксиому
"для любого" x "для любого" y "для любого" z "для любого" t (p(x, y) & p(z, t) & (x "не равно" z) & (y "не равно" t) => "отрицание" (p (x, t) \/ p (z, у))
Тогда композиция соответствий f 1 и f 2 не будет удовлетворять этой аксиоме.
Оказывается, совокупность морфизмов имеет особенно интересные свойства, когда композиция определена. Поэтому введем еще одно требование, предъявляемое к аксиоматике U4: если <М, µ> и <N, n) > - модели теории Т', то модель <L, л>, определенная выше, тоже должна быть моделью теории Т'. Интересно было бы исследовать, какими свойствами должны обладать аксиомы из U4, чтобы это требование выполнялось.
Класс всех морфизмов, для которых определены композиции, образует очень важ:ную математическую конструкцию - категорию. Категория определяется следующим образом.
Будем говорить, что задана категория С, если задан класс объектов ОbС, для каждой пары (А, В) которых определено множество Н(А, В) морфизмов из А в В. При этом если (А, В) "не равно" (А', В'), то "пересечение" Н(А, В) и Н (А',В') "пусто". Для каждой тройки объектов (А, В, С) из С задано отображение µ: Н (А, В) Х Н(В, С) в Н(А, С). Образ µ(u,v), пары (u, v), где u из H(A, В), v из H(B, С) обозначается uv и называется композицией морфизмов.
Кроме тоrо, должны выполняться следующие аксиомы:
1) композиция ассоциативна: если u: А в В, v: В в С, w: C в D, то (uv)w = u(vw) ;
2) для каждого объекта А из С существует единичный морфизм Ia: А в А такой, что Ia u = u и Ia v = v для любых морфизмов u: А в В и v : В в А.
Легко проверить, что морфизмы между моделями образуют категорию. Ассоциативность следует из ассоциативности композиции соответствий. Единичный морфизм получается, если х=у "соответствует" рi (х, у) для любого i.
Таким образом, теорию Т' можно рассматривать как интенсиональный способ задания класса морфизмов категории. Самое интересное, что, рассматривая категорию объектов с морфизмами, можно абстрагироваться от содержательной стороны как объектов, так и морфизмов. Можно за быть о том, что объекты - это множества с отношениями, а морфизмы - еще более сложные модели. Несмотря на это в категории отражаются многие существенные свойства объектов и морфизмов, что будет видно из дальнейшего изложения. Категории, по всей видимости, являются одним из наиболее удобных способов описания систем.
- Во-первых, потому что теорпя систем должна быть инвариантна относительно способа описания внутренней структуры объекта, т. е. результаты теории систем не зависят от того, какими средствами описываются системы: топологических пространств, моделей или универсальных алгебр.
- Bо-втoрь1х, в категориях объект принципиально целостен, поскольку не рассыатривается его внутренняя структура. Это свойство также существенно для теории систем.
- В-третьих, свойства объекта раскрываются в сравнении с другими объектами. Объект обретает свойства лишь в определенной категории. Аналогично свойства системы определяются лишь в ее отношениях с другими системами.
- В-четвертых, объектами категории могут быть не только математические конструкции, но и предметы реального мира. Морфизмы при этом являются какие-нибудь реальные отношения между объектами (например, гомологизация частей объектов), если они удовлетворяют аксиомам теории категорий.
Говорить о семантике математических конструкций довольно трудно. Например, можно сказать, что топология эксплицирует понятие «близости» точек. Однако любой, кто изучал топологию, поймет, что это отчасти так, в отчасти нет. Дело в том, что топологпческое понятие близости существенно отличается от обыденного. Точно так же можно сказать, что теория категорий занимается сравнением объектов, хотя понятие «сравнение» здесь имеет явно не тот оттенок, который принят в обычном понимании.
Каждый морфизм - это некоторый способ сопоставления объектов А и В. Н(А, В) - это множество таких способов сопоставления. Композицию морфизмов можно интерпретировать так: если существуют способы сравнения объектов А с В и В с С, то существует определенный способ сравнения А с С. Мы рассмотрим лишь такие категории, в которых морфизмы интерпретируются как гомологизация частей объектов. Оказывается, такими категориями являются категории с наименьшими образами морфизмов.
Прежде чем определить на языке категорий понятие наименьшего образа, обратимся к некоторым основным положениям теории категорий. Принято выделять следующие типы морфизмов:
1) мономорфизм - такой морфизм u : А в В, что для любой пары морфизмов v и v' : С в А vu = v'u => v = v';
2) эпиморфизм - такой морфизм u: А в В, что для любой пары морфнзмов w и w' : В в С uw = uw1 => w = w';
3) биморфизм - морфизм, являющийся одновременно моно- и эпиморфизмом;
4) изоморфизм - такой морфизм u: А в В, что существует морфизм v: В в А, причем uv=Ia, vu=Iв.
Возьём, например, категорию множества - Set. Ее объекты - это все множества. Н(А, В) = Вa, т. е. множество всех отображений из А в В. Оказывается, что в ней мономорфизмы - это инъекции, эпиморфизмы - сюръекции, а биморфизмы и изоморфизмы совпадают и являются биекциями. В любой категории изоморфизм является биморфизмом, но не всегда биморфизм будет изоморфизмом.
Если существует изоморфизм А в В, то объекты А и В имеют одни и те же свойства в данной категории.
Однако в категориях с дополнительными структурами (например, с выделенной подкатегорией) может оказаться, что свойства изоморфных объектов будут различны. Например, в категории «тканевых» гомоморфизмов можно выделить подкатегорию структурных морфизмов, в которых отображения f1 и f2 совпадают. Эта подкатегория содержит не все изоморфизмы исходной категории, а потому изоморфизмы подкатегории определяют более тонкую эквивалентность на классе объектов.
Теперь определим понятие подобъекта. Поскольку подмодель определялась как класс изоморфных моделей вместе с инъективными гомоморфизмами, подобъект естественно определить, как класс изоморфных объектов вместе с мономорфизмами.
Однако не всякий моно:морфизм можно считать вложением подобъекта в объект. Это было показано на примерах «тканевых» морфизмов и бигомоморфизмов. В этих случаях подмодели естественно строиъ с помощью структурных инъективных морфизмов, а не произвольных инъективных морфизмов. Поэтому среди всех мономорфизмов надо выделить подкласс допустимых мономорфизмов, которые естественно считать вложениями подобъектов в объекты. Класс выбирается до некоторой степени произвольно, в зависимости от цели исследования.
Например, если нас интересует форма геометрических тел, то в качестве допустимых мономорфизмов следует взять инъективные отображения, сохраняющие метрику, т. е. расстояния между точками. Если к тому же мы хотим различать право-левую изометрию, то необходимо исключить из подкласса допустимых мономорфизмов зеркальные отражения. Если же мы хотим различать объекты с точностью до топологической структуры, т. е. нас интересует наличие дырок, их размерность, размерность различных частей геометрического тела и т. д., то в качестве допустимых мономорфизмов следует взять инъективные непрерывные отображения.
Для определения на классе подобъектов отношения порядка необходимо, чтобы класс допустимых мономорфизмов M 1) был подкатегорией исходной категории С, т.е. если u : А в В, v : В в С, то (u из M) & (v из M) => (uv из M), 2) содержал все единичные морфизмы категории С. Очевидно, что во всех приведенных выше примерах класс допустимых мономорфизмов удовлетворял этим требованиям.
Зафиксируем объект А и рассмотрим класс всех пар (В, u) , где u : В в А, u из M. Пары (В, u) и (В', u') эквивалентны, если существует допустимый изоморфизм v : В в В' такой, что u=vu'. Класс эквивалентности называется подобъектом и обозначается [В, u], где (В, u) - представитель класса.
Определим отношение порядок нa подобъектах: [В, u] [В', u'] , если существует допустимый мономорфизм v : В в В' такой, что u=vu'. Порядок не зависит от выбора представителей подобъектов. Транзитивность и рефлексивность отношения «меньше или равно» следует из того, что М - подкатегория, содержащая все единичные морфизмы.
Докажем антисимметричность: если [В, u] "меньше или равно" [В', u'] и [В', u'] "меньше или равно" [В, u] , то существуют допустимые мономорфизмы v : В в В' и v' : В' в В, причем u=vu', u'=v'u. Тогда u=vv'u и u'= v'vu'. Поскольку u и u' - мономорфизмы, vv'=Iв, а v'v=Iв'. Следовательно, v - допустимый изоморфизм и [В, u] = [В', u'] .
Наименьшим образом морфизма u : А в В называется наименьщий подобъект [В', В] объекта В, для которого существует морфизм u' : А в В', причем u=u'в, т. е. для любых других морфизмов u" : А в В" и в' : В" в В таких, что u=u"в' и в' из М существует морфизм в" : В' в В", причем в = в"в', в" из М. Это определение наименьшего образа обобщает все примеры, приведенные в начале главы.
Пару <С, М>, где М - подкатегория допустимых мономорфизмов категории С, будем называть категорией с наименьшими образами, если каждый морфизм из С имеет наименьший образ. Сопоставим каждый объект А с упорядоченным классом его подобъектов F(А). Тогда каждому морфизму и : А в В можно сопоставить отображение F(u) : F(A) в F(B), причем F(u) [А', а] = [В', в], если [В', в] - наименьший образ морфизма u. Покажем, что отображение F (u) монотонно относительно порядка в классах F (А) и F (B). Пусть [А", а'] "меньше или равно" [А', а]. Это значит, что существует морфизм а" : А" в А', а" из М, причем а' =а"а. Пусть F(u) [А", а'] = [В", в']. Это значит, что [В", в'] - наименьший образ морфизма a'u=a"au. Следовательно, существует морфизм u" такой, что u"в'=а"аu.
Поскольку [В', в] - наименьший образ морфизма аи, существует морфизм u' такой, что u'в=au. Тогда и"в'= (a"u')в. При этом должен существовать морфизм в" : В" в В', в" из М, в' = в"в, так как [В", в'] - наименьший образ. Следовательно, [В", в'] "меньше или равно" [В', в].
Морфизмы категории с наименьшими образами сопоставляют nодобъекты объектов. При этом важно, чтобы выполнялось следующее свойство: если морфизм u: А в В сопоставляют под0бъекту [А, а] объекта А подобъект [В', в] объекта В, а морфизм v: В в С подобъекту [В', в] nодобъект [С', с] объекта С, то морфизм uv должен сопоставлять подобъекту [А', а] подобъект [С', с]. Например, если крыло голубя гомологично передней лапе собаки, а та, в свою очередь, передней лапе крота, то крыло голубя гомологично лапе крота. Это свойство отражает транзитивность отношения гомологии.
Теорема. В категории с наименьшими образами <С, M> равенство F(uv) = F(u)F(v) выполняется для любых морфизмов u и v тогда и только тогда, когда существует единственная подкатеrорая G категории С, такая что:
1) каждый морфизм u : А в В разложим в произведение u=st, где s: А в Х, t: Х в В, s из G, t из М;
2) из равенства u=st, где t: Х в В, s из G, t из М, следует, что [Х, t] - наименьший образ морфизма u.
Далее идёт доказательство теоремы, которое при необходимости можно посмотреть в оригинальном тексте. Теорема устанавливает взаимно-однозначное соответствие между монокатегориями и категориями с наименьшими образами, в которых выполняется равенство F(uv) =F(u)F( v) .
Монокатегория называется локально малой, если для каждого объекта класс его подобъектов является множеством. Тогда каждый объект А можно сопоставить с упорядоченным множеством его nодобъектов F(А), а каждый морфизм А в В с монотонным отображением F(u) : F(A) в F(В).