Извлечение корня й степени из комплексного числа. Множества в комплексной плоскости

🛑🛑🛑 ПОДРОБНЕЕ ЖМИТЕ ЗДЕСЬ 👈🏻👈🏻👈🏻

Извлечение корня й-ой степени из числа в общем случае невозможно. Однако для целых чисел такой операции нет. Это объясняется тем, что для целых чисел существует лишь один корень й-й степени, а именно корень степени двойки.
Для вещественных чисел такой проблемы не существует. Для них существует множество корней й-х степеней, которые, как правило, лежат в интервале от минус единицы до единицы.
Рассмотрим примеры.
Пусть число .
Тогда:
,
где -- некоторый корень й-го порядка.
При этом:
Что такое корни многочлена
Это решение многочлена над полем вещественных чисел, которое не зависит от выбора конкретного поля вещественных числ.
Например, корень многочлена третьей степени над полем действительных чисел = 2 + 3i - 4i2 + 5i3 = (-2 + 3i) -- (- 4 + 5 i) = - 2 -- 3i.
В общем случае для многочлена xn + yn + zn = 0 над полем комплексных чисел (n - целое) можно записать:

А также:
Аn = (xn + yn) + (zn + xz)i = xn -- yn -- zn.
Пример
Рассмотрим многочлен третьей степени:
В этом разделе мы рассмотрим множество в комплексной плоскости, состоящее из всех комплексных чисел вида
(x, y) = (ax + by, cx + dy), где a, b, c, d - произвольные действительные числа, причём
где - корень й степени и - комплексный интеграл.
Рассмотрим функцию , где - комплексное число, - целое число, являющееся корнем й степени. Функция называется функцией Коши. Легко видеть, что для любой функции можно найти такую комплексную функцию , что
Извлечение корня из комплексного числа - это операция, которая позволяет извлечь корень из какого-либо комплексного числа, например, из числа a+bi. Этот корень и есть корень й степени числа a. В терминах алгебры, извлечение корня й степени - это операция для целых чисел a, b и n, где n - целое число, такая что a^n + b^n = C.
Для этого мы должны сначала найти соответствующее комплексное число C; в нашем случае оно равно a*b, поэтому C = a*b.
Алгоритм извлечения корня й степени:

В предыдущих уроках мы рассматривали операции с действительными числами. В этом уроке мы рассмотрим операции с комплексными числами, а также их преобразование в действительные числа и обратно.
1. Вычисление корня й-степени из комплексного число.
Пусть , тогда .
Вычислим , .
Теперь подставим в , получим , то есть .
2. Вычисление числа .
Если , то . Если , то , и .
То есть .
Но , а , поэтому .
И .
В общем случае .
3. Вычисление множества всех корней й степени.
Для этого нужно знать:
1) Как найти корень й степени у комплексного числа;
2) Как найти множество всех действительных корней у комплексного числа, то есть , ;
Вычисление корня й-степени из комплексного числа можно производить с помощью таблицы квадратов целых чисел.
Для этого нужно сначала получить таблицу квадратов целых чисел с шагом, например, в одну десятую долю.
Таблица квадратов целых чисел:
-----------------------------------
1
1.Извлечение корня из комплексного числа
1.1.Пусть дано комплексное число z. Если z=a+bi, то корень из этого числа есть отношение a/b. Выделяем в этом отношении (a/b) в качестве корня:
z=a+i*b=re^{i*(a/b)}=re^{ -i*(-a/b)},
где r -- радиус окружности, на которой находятся корни, a и b -- координаты корней.
1.2.Если z=(a+ib)/2, то корень z равен
r=sqrt(a^2-b^2)/2=sqrt(1-i*a*b).
1.3.Если z=c*d, где c и d -- комплексные числа, то корень их произведения равен:
1. Извлечение корней и их нахождение.
1.1. Вычисление корня и нахождение его приближенного значения.
1.2. Вычисление корней по формуле.
1.3. Вычисление чисел по таблице.
1.4. Вычисление числа по формуле и таблице.
1.5. Вычисление комплексного числа по заданному значению действительной его части и соответствующей известной величине мнимой его части.
1.6. Вычисление комплексных чисел.
1.7. Извлечение квадратного корня из числа.

Автор:
-
Аннотация:
В статье рассматривается алгоритм извлечения корня й степени (корня n-ой степени) из комплексного переменного, который входит в состав алгоритма нахождения корня n-й степени на комплексной плоскости. В статье изложены теоретические положения и подробно рассмотрены результаты численных экспериментов.
Введение

Обратные матрицы. Задачи
Определение качества товара во внешнеторговом контракте.
Готовые Отчеты По Практике Бухгалтера