Исследовать на экстремум функцию одной переменной
Исследовать на экстремум функцию одной переменнойСкачать файл - Исследовать на экстремум функцию одной переменной
Теорема Ферма необходимое условие экстремума строгого и нестрогого дифференцируемой функции. Если действительная функция f x определена в окрестности точки х 0, дифференцируема в этой точке и имеет в ней экстремум, то ее первая производная в точке х 0 равна 0: Достаточное условие строгого экстремума дифференцируемой функции. Для геометрической интерпретации условий существования экстремума дифференцируемой функции полезным оказывается понятие выпуклости графика этой функции и его связь со знаком второй производной. График функции f x называется выпуклым вверх вниз на интервале a, b , если он целиком расположен не выше не ниже любой касательной к нему на интервале a,b. Если, кроме того, график имеет не более одной общей точки с любой касательной к нему на интервале a,b , то он называется строго выпуклым. Пусть действительная функция f х имеет в точке х 0 строгий локальный максимум, дважды дифференцируема в некоторой окрестности точки х 0 и имеет строго выпуклый вверх график см. В силу строгой выпуклости графика первая производная в точках х 1, х 2 должна быть положительна, а в точках х 3 и х 4 должна быть отрицательна. Более того, первая производная должна монотонно убывать в этой окрестности, то есть , поскольку , а. Именно поэтому вторая производная функции f х , которая имеет смысл скорости изменения первой производной, должна быть в этой окрестности отрицательной, то есть. Иллюстрация для случая строгого локального минимума представлена на рис. Поэтому вторая производная функции f должна быть в окрестности точки х 0 положительной,. Данное обстоятельство иллюстрирует важность понятия так называемых точек перегиба. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки х 0 и дважды дифференцируема в этой окрестности. Точка х 0 называется точкой перегиба функции f, если она одновременно является концом интервала строгой выпуклости вверх и концом интервала строгой выпуклости вниз. Необходимое условие существования точки перегиба — равенство 0 второй производной в этой точке, то есть. Достаточное условие точки перегиба: Найти область определения функции; определить, четная она или нечетная. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Асимптоты бывают вертикальными, горизонтальными и наклонными. Наклонные асимптоты имеют вид: Функция f не является ни четной, ни нечетной. Найти точки локальных экстремумов функции. Найти точки перегиба функции. Это точки, в которых вторая производная обращается в 0, то есть. Исследовать знаки первой и второй производных. Определить участки возрастания и убывания функции, найти направление выпуклости графика, точки экстремумов, точки перегиба. Знак второй производной определяет характер экстремума максимум или минимум. При построении вспомогательного рисунка надо следить за согласованностью результатов исследования функции. Построить график функции, учитывая результаты исследования. Здесь учитываются все результаты, в том числе четный или нечетный характер функции. График строится с той степенью точности, которая характеризует качественное поведение функции. Точно указываются лишь параметры асимптот, точки пересечения с осями координат, точки локальных экстремумов и их значения, точки перегиба. Возрастание или убывание функции, направление выпуклости отображается приближенно, с точным указанием лишь границ интервалов, на которых функция возрастает или убывает, выпукла вверх или вниз. Исследовать функцию и построить ее график. Функция не является ни четной, ни нечетной. Оно имеет единственный действительный корень, отличный от 0, он равен — 1; следовательно, график пересекает ось абсцисс также в точке — 1. Поскольку , то нет и горизонтальных асимптот. Отсутствует также и наклонная асимптота, поскольку. Пусть X,Y и Z — некоторые числовые множества, являющиеся подмножествами действительных чисел из R. Действительной функцией двух переменных называется функция f: Переменную z называют зависимой переменной , а переменные x и y — независимыми переменными или аргументами. Понятие действительной функции нескольких переменных является естественным обобщением понятия действительной функции одной переменной. Мы ограничимся случаем двух переменных, поскольку расширение рассмотрения на случай произвольного конечного числа переменных вполне очевидно и связано, как правило, с излишней громоздкостью изложения. Сходящуюся последовательность точек обозначают как или. Из сходимости последовательности точек следует сходимость компонентных последовательностей, то есть , и наоборот. Понятия предела и непрерывности для действительной функции одной переменной также естественно обобщаются на случай действительной функции нескольких переменных. Читателю предлагается самостоятельно сформулировать эквивалентное понятие предела функции двух переменных на языке окрестностей, в духе критерия Коши. Действительная функция двух переменных f: Это определение непрерывности функции двух переменных в точке также предлагается читателю перевести в эквивалентную форму на языке окрестностей. Обратим внимание на следующее обстоятельство, не имеющее аналога в случае функции одной переменной. Функция f двух переменных, непрерывная в точке x 0 , y 0 , называется также непрерывной в этой точке по совокупности переменных x, y; наряду с этой непрерывностью используют понятие непрерывности по отдельным переменным. Аналогично определяется непрерывность в точке x 0 , y 0 по переменной y. Оказывается, что функция f: Рассмотрим функцию двух переменных , доопределив ее в точке 0, 0 нулевым значением, т. Исследуем ее непрерывность в точке 0, 0. Обе функции одной переменной f x, 0 и f 0, y , определенные на соответствующих координатных осях f x, 0 — на оси абсцисс, f 0, y — на оси ординат , тождественно равны на них нулю. Поэтому функция f x,y непрерывна в точке 0, 0 по каждой своей переменной x и y. Однако она не является непрерывной в точке 0. Вдоль этого луча значение функции равно , то есть n. Главная Случайная страница Контакты Заказать. Максимум или минимум функции называют собирательным термином экстремум функции.
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Ваш логин Ваш пароль. Математика онлайн Математика онлайн Линейная алгебра Вычислительная математика Теория вероятностей и математическая статистика Статистика онлайн. Метод последовательных уступок Алгоритм Франка-Вульфа Критерий Вилкоксона Ранжирование данных Метод анализа иерархий Метод идеальной точки Метод непосредственной линеаризации Метод условного градиента. Найти производную Найти интеграл Асимптоты функции. Экстремумы функции Интервалы возрастания функции Точки перегиба. Диф уравнения онлайн Пределы онлайн Виды точек разрыва. Вместе с этим калькулятором также используют следующие: Уравнение касательной к графику функции. Построение графика функции методом дифференциального исчисления. Экстремум функции двух переменных.
Как найти экстремум (точки минимума и максимума) функции
Концепции обучения в педагогике
Понятие экстремума функции
Вентилятор вдн 10 характеристики