Информация и теория категорий

Второй параграф восьмой главы "СИСТЕМЫ и МОДЕЛИ"

Для языков первого типа никаких условий полноты перевода сформулировать нельзя, поскольку в них смысл не зависит от структуры. Для полноты перевода текстов языков второго типа необходимо, чтобы разным частям текста соответствовали разные части текста - перевода, т. е. состав семафоронтов не должен обедняться.

Опишем это с помощью некоторой математической схем. Пусть задан класс языков, у которых классы семафоронтов не пересекаются.  Тогда можно категории семафоронтов всех языков объединить в одну категорию. Поскольку перевод рассматривается как гомологизация подобъектов одного текста подобъекта другого текста, то согласно результатам гл. 3 существует простая монокатегоряя <С, M, G>, морфизмами которой являются переводы текстов. Морфизм u : А в В, u из С может быть полным переводом, если только для любых подобъектов [Х, v], [Х1, v'] объекта А из существования изоморфизма s : Y в Y', s из M, где [У, w] = F(u) [Х; v] в [У, w'] = F(u) [Х', v'], следует существование изоморфизма t: Х в Х', t из M. Это значит, что если изоморфны образы, то изоморфны и прообразы. Прежде чем сформулировать необходимое условие полного перевода текста третьего типа, формализуем понятие знаковой ситуации. 

Знаковая ситуация - это множество знаков, уточняющих значение слова или морфемы. Одинаковые слова в одинаковых знаковых ситуациях имеют один и тот же смысл, а в разных - могут нести разный смысл. Знаковая ситуация для каждого слова в тексте должна быть единственна, так как иначе смысл этого слова будет неопределен. Даже в тех текстах, где требуется многозначность смысла слова, знаковая ситуация все равно единственна, хотя может быть устроена довольно сложно. Например, слово из первой строчки венка сонетов осмыслено не только в первом сонете, но к в магистрале - сонете, составленном из первых строчек всех сонетов венка. Здесь знаковая ситуация может выходить за рамки одного сонета. В обычных текстах знаковые ситуации могут быть предложениями или состоять из пары слов или даже из одного слова (т. е. слово - знаковая ситуация для самого себя. Отсутствие поясняющих слов - это особая знаковая ситуация, в которой данное слово употребляется в самом обычном смысле. Чтобы сильно модифицировать смысл слова, необходимо поместить его в достаточно большую знаковую ситуацию. Например, определение термина входит в знаковую ситуацию любого его употребления в тексте.

В языке для каждого слова предусмотрен класс знаковых ситуаций, в которых оно может употребляться. Такие знаковые ситуации, вырванные из текста, будем называть окрестностями. Знаковая ситуация слова в конкретном тексте - это наибольшая из допустимых окрестностей этого слова, существущих в данном тексте. Например, для слова «группа» есть окрестности: «группа» (в смысле группа объектов), «аддитивная группа» (математическая). При этом вторая окрестность больше первой. Если в тексте встречается словосочетание «аддитивная группа», то мы уже никогда не будем иметь в виду обычный смысл слова «группа», т. е. мы выбрали наибольшую окрестность. Любопытно, что сходное явление существует в биологии: каждое животное имеет набор возможных сред обитания, которые аналогичны окрестностям, а конкретная среда, в которой оно обитает, - аналог знаковой ситуации. Поведение животного, его функции аналогичны смыслу слова: оно будет одинаковым в одинаковой среде и разным в разной среде.

Опишем конструкцию знаковой ситуации на языке теории категорий. Пусть дана категория семафоронтов с морфизмами - вложениями. Все ее морфизмы - мономорфизмы. Пусть задан объект Х и класс всех пар (u, А ) , где u - морфизм из Х в А. Пары (u, А) и (u', А') будем считать эквивалентными, если существует изоморфизм р : А в А' такой, что рu=u'. Класс эквивалентности назовем окрестностью объекта и обозначим [u, А] , где (u, А) - представитель окрестности. Пусть для объекта Х выделен класс окрестностей L(Х). Знаковой ситуацией подобъекта [Х, v] объекта А называется наибольший подобъект [У, w] объекта А такой, что

1) [Х, v] < [Y, w] , т. е. существует морфизм s: Х в У, причем v=sw; 

2) [s, У] из L(Х). 

Далее рассмотрим случаи, когда знаковая ситуация единственна. Равенство G [Х, v] = [У, w] означает, что [У, w] - знаковая ситуация подобъекта [Х, v]. Пусть знаковая ситуация существует для некоторого класса подобъектов объекта А. Тогда можно определить эквивалентность на этом классе: подобъект [Х, u] эквивалентен подобъекту [Х', u'], если существует пара изоморфизмов: р: Х в Х', и q : В в В1, где G [Х, u]=[В, v] , G [Х', u'] = [В', v'] , при этом pw'=wq, wv=u, w'v'=u'.  Очевидно, что морфизмы w и w' определяются однозначно, поскольку v и v' - мономорфизмы. Эквивалентность подобъектов означает, что они имеют одинаковые знаковые ситуации в объекте А, т. е. одинаковым способом входят в объект А. Класс эквивалентности назовем факторподобъектом и обозначим {Х, u}, где [Х, u] - представитель факторподобъекта. Рассмотрим подробнее предельный случай, когда из того, что существует морфизм u: Х в А, следует, что [u, A] из L(X). Тогда знаковой ситуацией для любого подобъекта будет сам объект. Это тот случай, когда смьrсл слова определя ется только в рамках целого текста.  При этом эквивалентность подобъектов можно определить несколько проще:  подобъекты [Х, u] и [Х', u'] объекта А эквивалентны тогда и только тогда, когда существует пара изоморфизмов: р : Х в Х1 и q: А в А таких, что рu'= uq. 

Доказательство тривиально. Фактически это означает, что можно так изоморфно отобразить объект А в себя, что один подобъект изоморфно перейдет в другой.

Сложность достигается не из-за разнообразия элементов, а благодаря связям между ними.

Пусть М - категория множеств с инъекциями в качестве морфизмов. Легко показать, что любые два конечных подмножества эквивалентны, ecли имеют одинаковую мощность. Интереснее обстоит дело с бесконечными подмножествами: не существует биекции множества натуральных чисел в себя, переводящей каждое натуральное число в четное.  Таким образом, подмножество четных чисел натурального ряда не эквивалентно натуральному ряду как подмножеству самого себя. Хотя они и равномощны как множества, но занимают разное положение во множестве натуральных чисел. Оказывается, подмножества В и С множества эквивалентны тогда и только тогда, если равномощны сами множества В и С и их дополнения во множестве А.

Исходя из этого легко перечислить все факторобъекты множества натуральных чисел: 

1) конечные множеста из 0, 1, 2 и других элементов; 

2) натуральный ряд без 0, 1, 2 и других элементов; 

3) счетное подмножество, дополнение которого счетно. 

При анализе решающих коалиций равноправие голосуюих лиц -  это эквивалентность их как подобъектов мажоритарого пространства. Об этом шла речь в гл. 7. Каждый объект А сопоставляется с множеством его фактор подобъектов.  Мощность этого множества назовем, сложностью объекта А и обозначим С(А). 

Сложность сильно зависит от способа расчленения объектов. Например, естественное расчленение, популяции жинотных - это членение на индивидуумы. Если в нашей категории все индивидуумы изоморфны, то сложность популяции зависит от межиндивидуальных отношений. Если этих отношений нет, то сложность не будет зависеть от численности точно ак же, как информация газеты не зависит от ее тиража. Поскольу разные факторподобъекты могут нести разную информацию, сложность объекта отражает его информационную емкость. Надо заметить, что высокая сложность объекта, свидетельствует не о том, что он несет большую информацию, а о том, что он может нести большую информацию.

Для того чтобы два слова в тексте имели одинаковые значения, недостаточно им 6ыть изоморфными, надо, чтобы они были эквивалентными. 

Это необходимо учитывать при переводе текстов. Полный перевод может быть только при условии, что образы подобъектов из разных факторобъектов принадлежат разным факторобъектам. При этом вполне возможно, что неизоморфным семафоронтам соответствуют изоморфные - важно, чтобы эти семафоронты - образы были неэквивалентны. 

Например, местоимения «ты» и «вы» в английском языке переводятся «you», но из контекста большей частью можно установить, что имеется в виду.

Трансляционный морфизм - это такой перевод, при котором может полностью сохраниться старый смысл и даже добавиться новый. Если морфизмы из вложения меронов в архетип, то сложность архетипа равна числу неэквивалентных меронов. Не всякое дополнение текста есть трансляционный морфизм. Слова, ранее находившиеся в разных знаковых ситуациях, могут после дополнения оказаться в одинаковых знаковых ситуациях.

Итак, мы сформулировали необходимые условия полного перевода для некоторых моделей семантической структуры языков. Эти модели безусловно можно усовершенствовать - быть может, тогда удастся получить не только необходимые, но и достаточные условия полного перевода. По всей видимости, для решения этой задачи также можно использовать язык теории категорий.