Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями - Математика реферат
Главная
Математика
Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями
Градиентные уравнения и уравнения в вариациях, функционалы метода наименьших квадратов. Численное решение градиентных уравнений: полиномиальные системы, метод рядов Тейлора и метод Рунге-Кутта. Числовые модели осциллирующих процессов в живой природе.
посмотреть текст работы
скачать работу можно здесь
полная информация о работе
весь список подобных работ
Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Санкт-Петербургский Государственный Университет
Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями
1. Идентификация параметров в системах описываемых ОДУ
1.3 Функционалы метода наименьших квадратов
1.4 Численное решение градиентных уравнений
2. Модели осциллирующих процессов в живой природе
2.1.1 Осциллирующие химические реакции
2.1.2 Осцилляция популяций в системе “хищник-жертва”
3. Идентификация параметров модели Лотки
3.2 Постановки задачи идентификации и функционалы МНК
1. Идентификация параметров в системах, описываемых ОДУ
Градиентные уравнения возникают в связи с задачей нахождения экстремумов функций многих аргументов. Важно, что эти аргументы сами могут зависеть от решений каких-то уравнений - численных, дифференциальных и иных. Мы будем использовать их для минимизации функций аргументов, за-висящих от решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим вещественнозначную функцию аргумента , и пусть и . Тогда величина
то есть производная функции по направлению характеризует скорость изменения при изменении в направлении вектора .
где - градиент функции , а это дает:
Таким образом, вектор является направлением наискорейшего рос-та функции в точке , а вектор - это направление наискорейшего ее убывания в этой точке.
Градиентной кривой функции называют кривую , , касательное направление к которой в каждой точке противоположно направлению вектора градиента , то есть сов-падает с направлением наискорейшего убывания .
Это означает, что удовлетворяет дифференциальному уравнению:
К уравнениям (6) или (7) добавляем начальные условия:
Решение задачи Коши (6),(8) (или (7),(9)) определяет градиентную кривую проходящую через точку . Будем рассматривать это решение как век-тор-функцию аргументов и .
Зададимся теперь целью найти точку локального минимума неотрицательной функции , если она существует и достаточно близка к . Если за начальное приближение для взять , то движение вдоль градиентной кривой, проходящей через (то есть движение вдоль траектории решения ) можно считать идеальным путем к точке .
Если решение задачи (6),(8) существует при , то при любом та-ком получаем, что:
Метод градиентных уравнений нахождения локального минимума функции заключается в численном интегрировании задачи Коши (6),(8) вдоль оси до достижения точки , достаточно близкой к .
где - параметры. В дальнейшем мы рассмотрим функционалы, зависящие от параметров через решение задачи Коши (14),(15). Тогда градиентные уравнения будут зависеть от производных по решения задачи (14),(15), и мы должны уметь их вычислять. Дифференцируя уравнения (14), (15) по получаем, что функции
удовлетворяют следующей задаче Коши:
Уравнения (17) относительно производных (16) называют уравнениями в вариациях для уравнений (14).
1.3 Функционалы метода наименьших квадратов
Мы не можем рассмотреть здесь все многообразие функционалов метода наименьших квадратов и ограничимся одним достаточно общим функционалом. Он соответствует следующей задаче: модель некоторого процесса описывается задачей Коши (14),(15) (такие модели, в частности, достаточно распространены в биологической кинетике), даны измерения
то есть даны приближений для значений величин в моменты времени , и требуется найти параметры на основе заданного начального приближения .
В методе наименьших квадратов нахождения (идентификации) параметров рассматривают функционал
где - фиксированные весовые коэффициенты, а - значения первых компонент решения задачи (14),(15) в точке при заданных
В методе наименьших квадратов полагают, что значение , доставляющее минимум этой функции , является адекватным приближением к реальному значению параметра для принятой модели процесса.
Для того, чтобы воспользоваться методом градиентных уравнений, необходимо выписать уравнения (7) для функционала (20):
Эти градиентные уравнения надо дополнить начальными условиями:
1.4 Численное решение градиентных уравнений
Обратимся к функционалу , , определенному в п.1.3. Пря-мой способ нахождения приближенного значения точки , определенной по формуле (17) (то есть точки предполагаемого минимума функционала ), - это численное интегрирование градиентных уравнений (21) при начальных условиях (22).
Правые части уравнений (21) зависят от неизвестных через значения функций в точках при , , . При фиксированных значениях величины могут быть получены численным интегрированием уравнений (14),(17) при начальных условиях (15),(18).
Таким образом, нам надо обсудить численные методы интегрирования за-дачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Наиболее рас-пространены пошаговые методы, которые позволяют для задачи Коши
отправляясь от значения , последовательно получать приближенные значения решения в точках
Числа называют шагами интегрирования, а числа ,…- узлами таблицы или сетки численного интегрирования. Совокупность узлов называют сет-кой, а величины называют значениями решения на узлах сетки. Если то говорят о равномерной сетке или об интегрировании с постоянным шагом.
Численное интегрирование градиентных уравнений, как правило, требует частой смены величины шага интегрирования. Хорошо к быстрой смене шага приспособлены явные методы Рунге-Кутта и метод рядов Тейлора.
Пошаговые методы численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений хорошо освещены в литературе по численному анализу (см., например, [2,3]).
Полиномиальной системой мы будем называть автономную систему ОДУ
Какие системы ОДУ можно свести к полиномиальным и как это делается? Начнем с примера. Рассмотрим задачу Коши:
получаем следующую квадратичную задачу Коши:
Теперь рассмотрим достаточно общий случай. Рассмотрим класс сис-тем ОДУ (23), правые части которых можно представить в виде:
где все функции , а также все функции
являются алгебраическими полиномами по .
Любая система из сводится к полиномиальной. Действительно, если в (23),(24) ввести дополнительные переменные то:
- алгебраические полиномы по с постоянными коэффициентами.
Уравнения кинетики, как правило, либо имеют вид (25), либо могут быть сведены к такой системе введением дополнительных переменных. Поэтому важно знать какие функции удовлетворяют полиномиальным системам, или, иначе говоря, насколько богаты содержанием модели, основанные на полиномиальных системах ОДУ.
Обсудим этот вопрос. Будем говорить, что скалярная функция скалярного аргумента удовлетворяет полиномиальной системе, если она является одной из компонент решения такой системы. Класс скалярных функций, удовлетворяющих полиномиальной системе назовем . За исключением некоторых теоретико-числовых функций (гамма-функция Эйлера, дзета-функция Римана и т.п.) остальные функции из известных математических справочников принадлежат классу .
Этот класс замкнут относительно операций (сложение, вычитание, умножение, деление, дифференцирование, интегрирование, супер-позиция). Это означает, что если функции принадлежат , то и любая их композиция, полученная при помощи конечного числа операций , также принадлежит .
Введем в рассмотрение оператор , сопоставляющий решению задачи Коши (23), (24) его полином Тейлора
порядка . Радиус сходимости ряда обозначим .
Метод рядов Тейлора решения задачи Коши (23), (24) заключается в построении таблицы приближенных значений по формулам:
где - натуральные, , ,, а удовлетворяют неравенствам .
Для программной реализации метода рядов Тейлора необходимы алгоритмы нахождения коэффициентов Тейлора и автоматического выбора величины шага интегрирования.
Рассмотрим полиномиальную задачу Коши:
где , , , а максимальная степень полиномов (степень системы (43)) равна .
Решение задачи (43), (44) голоморфно в круге и удовлетворяет там неравенствам:
Используя эту теорему несложно построить алгоритм автоматического выбора шага в методе рядов Тейлора по заданной пользователем границе абсолютной (или относительной) погрешности.
Этим методам посвящено много работ, и они хорошо изложены в много-численных учебниках (см., например, [2,3]).
2 . Модели осциллирующих процессов в живой природе
2.1.1 Осциллирующие химические реакции
В некоторых химических реакциях концентрации реагентов осциллируют в следующем смысле. Соединение каких-то начальных веществ приводит к их химическому взаимодействию, в результате чего образуются новые вещества, которые также начинают взаимодействовать с другими реагента-ми. В течении всех этих реакций концентрации реагентов колеблются и, на-конец, все химические преобразования завершаются и в качестве результата остаются какие-то определенные вещества, которые уже не реагируют между собой. Первая математическая модель осциллирующих химических реакций была предложена в работе Лотки [7].
Рассматривается математическая модель взаимодействия на молекулярном уровне веществ на основе следующих предположений:
1. При взаимодействии с молекулой вещества молекула вещества превращается в молекулу вещества . Это описывают в форме молекулярной ре-акции:
Такую реакцию относят к классу автокаталитических, так как наличие вещества обеспечивает превращение другого вещества в .
2. При взаимодействии с молекулой вещества молекула вещества пре-вращается в молекулу вещества , то есть происходит автокаталитическая молекулярная реакция:
3. Вещество в то же время необратимо распадается, превращаясь в вещество , то есть происходит молекулярная реакция
4. Скорости протекания реакций (1), (2), (3) пропорциональны концентрациям веществ в левых частях этих реакций, то есть равны соответственно:
где символами , , обозначены концентрации веществ , , со-ответственно, а коэффициенты - положительные числа.
5. Скорость изменения концентрации каждого вещества равна сумме скоростей изменения концентраций этого вещества во всех реакциях, в которых оно участвует.
где - концентрация вещества . Это система ОДУ Лотки.
2.1.2 Осцилляция популяций в системе «хищник-жертва»
Первая экологическая модель типа «хищник - жертва» была предложена в книге Лотки [8]. Она основана на тех же уравнениях (5).
Пусть на острове живут жертвы (зайцы) и хищники (волки). Рассматривается математическая модель изменения величин (растительная пища для зайцев), , , (умершие волки) на основе следующих предположений:
1. Наличие зайцев и еды для них приводит к увеличению количества зайцев, что можно записать формулой:
2. Наличие волков и еды для них приводит к увеличению количества волков:
3. Волки умирают от болезней или старости:
4. Скорость изменения количества зайцев по формуле (6), скорость изменения количества волков по формуле (7) и скорость увеличения количеств умерших волков по формуле (8) равны соответственно:
где символами , , обозначены количества растительной пищи, зайцев и волков, а - положительные коэффициенты.
5. Скорость изменения каждого из количеств (количество умерших волков) равна сумме скоростей изменения этих количеств в каждом из процессов (6), (7), (8), в котором соответствующая величина участвует.
Из условий 1-5 следуют уравнения Лотки (5), только символы имеют другой смысл.
Более общие модели поведения хищников и жертв в различных эко-логических ситуациях были предложены в лекциях Вольтерры [1]. В связи с этим, уравнения Лотки (5) называют часто уравнениями Лотки-Вольтерра.
И все же большая часть работ по этой тематике посвящена даже более упрощенному по сравнению с моделью Лотки двумерному случаю, так как это позволяет применять методы фазовой плоскости для динамических систем.
Сведение модели (5) к двумерной основано на предположении, что вели-чина постоянна. В случае модели осциллирующих химических реакций это означает, что вещества достаточно много, а в случае модели «хищник - жертва» это означает, что еды у зайцев достаточно много. Из этого предполо-жения следует, что . Так как величина входит только в послед-нее из уравнений (5), то второе и третье уравнения отделяются:
Они излагаются в многочисленных статьях и книгах. Кроме уже предложенных ранее, дадим здесь ссылку еще на одну книгу [6].
3 . Идентификация параметров модели Лотки
Задачу Коши для уравнений Лотки (5) п.2 запишем, используя более стан-дартные математические обозначения:
Задача Коши (17), (18) п.1 будет следующей:
Как видим, задача Коши (1), (2), (3), (4) полиномиальная, и для ее численного интегрирования можно применять метод рядов Тейлора.
3.2 П остановки задачи идентификации и ф ункционал ы МНК
Для конкретных биологических или иных моделей проводят реальные эксперименты по определению величин , от которых зависят функционалы типа (20) п.1.3. Каждый реальный эксперимент имеет и свои возможности (часто весьма ограниченные) и свою цену (возможно высокую) определения каждой величины .
Естественно поэтому использовать различные функционалы, зависящие от того или иного набора величин . Мы рассмотрим три функционала. Пер-вые два из них ориентированы на различные типы экспериментов с весьма ограниченными возможностями, а третий является их обобщением.
В эксперименте первого типа, при одном и том же начальном данном измеряются значения
одной из переменных в различные моменты , .
В эксперименте второго типа, при начальных данных ,, из-меряются значения
величин , в один и тот же момент времени .
В эксперименте третьего типа, при начальных данных ,, из-меряются значения
где - фиксированные весовые коэффициенты.
Градиентные уравнения и соответствующие начальные условия для этих функционалов следующие:
Опыт реальных вычислений показывает, что минимизация функционала методом градиентных уравнений естественно делится на два этапа. На первом этапе происходит быстрое уменьшение функционала. На втором этапе это уменьшение становится все более медленным, и процесс нахождения достаточно точного приближения параметров, соответствующих локальному минимуму функционала, может потребовать неприемлемо больших затрат машинного времени.
Для того, чтобы ускорить вычисления на втором этапе, необходимо ускорить численное интегрирование исходных уравнений, уравнений в вариациях и градиентных уравнений. Исходные уравнения и уравнения в вариациях, как правило, полиномиальные и для их численного интегрирования можно использовать метод рядов Тейлора.
Градиентные уравнения не полиномиальные, и на первом из упомянутых выше этапов их естественно интегрировать методами Рунге-Кутта. На втором этапе идентифицируемые параметры изменяются медленно и правые части градиентных уравнений можно аппроксимировать полиномами по этим параметрам в окрестности некоторого их текущего значения.
Эта аппроксимация достаточно точна только на некотором промежутке изменения , поэтому ее нужно время от времени строить заново в окрестности очередного текущего значения параметров. На соответствующих промежутках изменения приближенные полиномиальные градиентные уравнения можно интегрировать методом рядов Тейлора.
Отметим, что построение каждой аппроксимации градиентных уравнений требует многократного численного решения исходных уравнений и уравнений в вариациях, для чего можно использовать метод рядов Тейлора.
Перейдем к формулам. Уравнения точной градиентной задачи Коши
где , мы хотим заменить на приближенные градиентные уравнения:
где - полином по , а - набор его коэффициентов.
где - некоторое фиксированное число. Коэффициенты поли-нома можно найти методом наименьших квадратов с функционалом:
Отметим, что при малых в качестве можно рассмотреть полином степени 3 или 4, а при больших и/или - полином степени 2.
Мы опишем здесь постановку и результаты одного из численных экспери-ментов, проведенных в полном соответствии с рассмотренной выше схемой градиентного метода. Эти результаты опубликованы в работе [4].
Обратимся к дифференциальным уравнениям для модели Лотки в п. 3.1 и в численном эксперименте будем действовать по следующей схеме:
При этих значениях начальных данных и параметров
численным интегрированием задачи Коши (1),(2) находим значения концентрации реактанта в моменты времени , , то есть находим при .
Об эффективности метода можно судить по затраченному процессорному времени и по величине относительной погрешности:
Результаты этого численного эксперимента приведены на рисунках 1, 2.
4 . О других методах идентификации
Ограничимся здесь ссылкой на электронную статью [5], в которой идентифицируются три неизвестных параметра в пяти кинетических уравнениях, описывающих изменение концентраций в биохимических реакциях с участи-ем различных тромбинов и их комплексов.
В этой работе рассматривается функционал МНК, использующий различные начальные данные, соответствующие измерениям для всех пяти переменных в фиксированные моменты времени , причем все эти измерения взяты из реальных экспериментов.
Для минимизации функционала используется программа VARPRO Стэнфордского университета, а численное интегрирование исходных уравнений (для вычисления функционала) проводится при помощи интегратора SDRIV1 Дэвида Кахане.
1. В. Вольтерра, «Математическая теория борьбы за существование». Москва. «Наука»,1976.
2. Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер, “Решение обыкновенных дифференциальных уравнений”, I. Нежесткие задачи. Москва. “Мир”,1990.
3. Э. Хайрер, Г. Ваннер, “Решение обыкновенных дифференциальных уравнений”, II. Жесткие и дифференциально - алгебраические задачи. Москва. “Мир”,1999.
4. L.K. Babadzanjanz, J.A. Boyle, D.R. Sarkissian, and J.Zhu, “Parameter Identification for Oscillating Chemical Reactions Modelled by Systems of ODE”, Journal of Computational Methods for Sciences and Engineering, 2002.
5. Bert W. Rust, ACMD, Robert W. Ashton, Chemical Science and Technology Laboratory, “Parameter Identifications”, 7/15/2001: http://math.nist.gov/mcsd/Reports/95/yearly/node28.html
6. R.Haberman, “Mathematical Models. Mechanical Vibrations, Population Dynamics, and Traffic Flow. Classics in Applied Mathematics, 21”, SIAM, Philadelphia, 1977.
7. A.J. Lotka, “Undamped oscillations derived from the law of mass action”, Jour. Amer. Chem. Soc. 42 (1920), 1595-1599.
8. A.J. Lotka, “Elements of Physical Biology”, Williams and Wilkins, Baltimore, 1925.
Численное решение уравнения методом Эйлера и Рунге-Кутта в Excel. Программа на языке Turbo Pascal. Блок-схема алгоритма. Метод Рунге-Кутта для дифференциального уравнения второго порядка. Модель типа "хищник-жертва" с учетом внутривидового взаимодействия. курсовая работа [391,5 K], добавлен 01.03.2012
Описание метода сведения краевой задачи к задаче Коши. Решение системы из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Метод Рунге-Кутта. Расчет максимальной погрешности и выполнение проверки точности. Метод конечных разностей. Описание полученных результатов. курсовая работа [245,2 K], добавлен 10.07.2012
Основные методы Рунге-Кутта: построение класса расчетных формул. Расчетная формула метода Эйлера. Получение различных методов Рунге-Кутта с погрешностью второго порядка малости при произвольном задавании параметров. Особенности повышения порядка точности. реферат [78,4 K], добавлен 18.04.2015
Вероятностное обоснование метода наименьших квадратов как наилучшей оценки. Прямая и обратная регрессии. Общая линейная модель. Многофакторные модели. Доверительные интервалы для оценок метода наименьших квадратов. Определение минимума невязки. реферат [383,7 K], добавлен 19.08.2015
Формирование системы их пяти уравнений по заданным параметрам, ее решение методом Гаусса с выбором главного элемента. Интерполяционный многочлен Ньютона. Численное интегрирование. Решение нелинейных уравнений. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка. контрольная работа [115,5 K], добавлен 27.05.2013
Основные задачи регрессионного анализа в математической статистике. Вычисление дисперсии параметров уравнения регрессии и дисперсии прогнозирования эндогенной переменной. Установление зависимости между переменными. Применение метода наименьших квадратов. презентация [100,3 K], добавлен 16.12.2014
Аналитическое и компьютерное исследования уравнения и модели Ван-дер-Поля. Сущность и особенности применения методов Эйлера и Рунге-Кутта 4 порядка. Сравнение точности метода Эйлера и Рунге-Кутта на одном графике, рисуя фазовые траектории из 1 точки. курсовая работа [341,7 K], добавлен 06.10.2012
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .
© 2000 — 2021
Идентификация параметров осциллирующих процессов в живой природе, моделируемых дифференциальными уравнениями реферат. Математика.
Реферат На Тему Словарь Ожегова
Курсовая Работа На Тему Организация Системы Управления Рисками На Промышленном Предприятии
Реферат: Методические рекомендации по оформлению
Реферат по теме Вербальная коммуникация
Курсовая работа: Фирма как объект хозяйственной деятельности. Организационно-экономические формы предприятий
Отчет о практике в страховой компании Ингосстрах
Реферат: Поняття громадянського суспільства всеукраїнський референдум гарантії місцевого самоврядування
Дипломная работа по теме Сущность, становление и развитие правового обычая в Российской Федерации в историческом аспекте и на современном этапе
Весна Сочинение 2
Курсовая работа по теме Современное состояние и перспективы развития деятельности по обеспечению общественного порядка и безопасности
Шпаргалки На Тему Предмет, Метод Цивільного Права
Переводная Контрольная Работа 3 Петерсон Математике
Доклад: Федеральные налоги с юридических лиц
Сочинение Описание По Картине Попкова Осенние Дожди
Курсовая работа по теме Флора і рослинність урочища Пагур
Реферат по теме Использование микробов в хозяйственной деятельности
Контрольная работа: Параметры вращения цилиндров
Титульный Лист Эссе
Курсовая работа по теме Разработка стратегии развития ОАО 'Сибирская Угольная Энергетическая Компания'
Картина Рериха Заморские Гости Сочинение 4
Порушення недоторканності приватного життя - Государство и право курсовая работа
Право потребителя на информацию - Государство и право реферат
Особенности формирования лексической компетенции - Иностранные языки и языкознание дипломная работа