Гносеологические аспекты отношения ОБЪЕКТ - МОДЕЛЬ

Второй параграф второй главы "СИСТЕМЫ и МОДЕЛИ"

Изложенное выше понятие модели, воплощаемой в ней теории и класса моделей, воплощающих данную теорию,  дают возможность раскрыть некоторые важные стороны познавательной деятельности.  Наиболее интересно здесь то, что с помощью этих понятий можно обнаружить важную антиномию познавательного акта: противоречие между невозможностью описания реальных объектов вне формально-логических средств и принципиальнои неполноты и незавершенностью этого описания.

Разрушение этой антиномии состоит не в отказе от логических средств и не в абсолютизации их, а в развертывании такого логического аппарата, который позволяет описать, схватить это противоречие.

Первый этап состоит в обострении этой антиномии, доведения ее до логического противоречия. Ограничим нашу задачу описанием естественного класса реальных объектов. Тогда речь фактически идет о том, чтобы найти способ строить по ним наблюдаемые объекты и найти теорию,  для которой эти объекты как раз и образуют класс моделей.

Пример с лингвистикой здесь очень поучителен и по сути дела хорошо представляет особенности естественных классов объектов. Наблюдаемые объекты, в данном случае тексты некоторого языка, расчлененные одним из принятых в лингвистике методом, в которых обнаружены определенные содержательные отношения между выделеннымн элементами.

Теория - это грамматика языка, описывающая его в принятом членении и в выбранных отношениях.

Известно, что грамматики всегда имеют «исключения», т.е. описывают не все тексты языка и не все свойства выделенных отношений в конкретном тексте. С другой стороны, хорошая грамматика почти всегда описывает запас текстов в том смысле, что почти все тексты и почти все явления в текстах описываются этой грамматикой правильно. Итак, возникает разрыв между потребностями описания изучаемой наукой реальности и разработанным математическим аппаратом. Естественно ожидать, что именно этот разрыв является тем самым противоречием, которому суждено повлиять на ближайшее развитие познавательных средств науки. Попробуем сформулировать эти противоречия точнее.

Пусть имеется некоторый класс наблюдаемых объектов. Каждый из этих объектов является множеством с отношениями. Рассмотрим ситуацию, когда на каждом из объектов класса действуют одноименные отношения. Это означает, что множества отношений на каждом из объектов данного класса находятся во взаимно-однозначном соответствии и соответствующие друг другу отношения одинаково называются (по содержательным соображениям).

В данном случае роль моделей некоторой Теории играют реально существующие в природе объекты. С другой стороны, в качестве моделей той же Теории можно рассматривать некоторые абстрактные множества с отношениями или искусственно создаваемые (скажем, с помощью электронных машин) объекты. Получается, что, например, и солнечная система, и выдаваемые вычислительной машиной численные решения уравнений небесной механики одинаковым образом суть модели Теории, описывающей законы динамики.

По точному смыслу термина «модель» так оно и есть. И та и другая модели одинаково воплощают в себе одну теорию. Принципиальная разница между этими двумя типами моделей проявляется на онтологическом уровне - эти модели существуют в разных смыслах.

Здесь проявляется «структурный» характер отношения «быть моделью общей теории». Из того, что два объекта являются моделями одной теории, вытекает, вообще говоря,  только родство их структуры, но не общность их природы.

Не исключено и то, что достаточно сильная теория определяет не только структуру, но и сущность воплощающих ее моделей. (Подобно тому, как идея художественного произведения допускает единственное воплощение.) Нужно отметить, что один и тот же класс изучаемых объектов можно описывать разными теориями. В самом простом случае это различие может определяться выбором разных систем аксиом. При этом одна теория станет шире или уже другой или, наконец, они могут оказаться эквивалентными, если их множества теорем совпадут. Существенные различия возникают тогда, когда теории используют исчисления формул различной мощности.

Например, для формулировки теории, обладающей моделью целых чисел необходимы аксиомы более мощные, чем те, которые использовались в приведенных выше примерах. Так, для задания индукции требуются аксиомы рекурсивного типа. Выбор той или иной теории определяется, как правило, простотой и содержательностью системы аксиом, с одной стороны, и полнотой описания изучаемых объектов - с другой.

Модели, изучаемые в рамках некоторой теории, можно сопоставлять не только по отношению изоморфизма или гомоморфизма. (В [70] рассмотрены также важные отношения корреспонденции между моделями.)  Когда процесс познания не ограничивается непосредственно данным в наблюдении, когда исследователь отказывается от догматизации «бритвы Оккама» и готов опираться на рациональные теоретические конструкции, познание предмета существенно обогащается. 

Наблюдаемый объект может быть совсем не изоморфен его модели. Их общность определяется общностью воплощаемой в них теории. Полезно подчеркнуть, что с неизоморфными моделями той же теории наблюдаемый объект находится в некотором особом отношении, не похожем на первичные понятия гомоморфизма, изоморфизма и т. п., которое назовем «сомодельность», или «совоплощение».  Это отношение в сущности означает, что два множества с отношениями можно описать на одном метаязыке - языке одной Теории. Никакого соответствия между элементами этих множеств не подразумевается.

Так, натуральный ряд и множество вещественных чисел суть модели Теории, описываемой аксиомами отношения порядка, и в этом их существенная общность. 

Рассмотрим другой пример. Когда мы утверждаем, что два текста имеют одинаковый смысл, то это отнюдь не означает, что между их словами (или какими-либо другими элементами) есть соответствие. Это скорее означает, что «семантические» отношения между элементами текстов удовлетворяют одной и той же системе семантических правил (аксиом Теории). 

Когда же мы говорим, что один текст есть перевод другого текста, то неявно подразумеваем существование процедуры, сопоставляющей друг другу элементы текстов с одноименным смыслом. Тем самым отношение «быть переводом» несколько сильнее отношения «иметь общий смысл». Тот факт, что в действительности для текстов с одинаковым смыслом мы, вообще говоря (не всегда ли?), умеем описать процедуру соответствия элементов, есть важное свойство семантики как теории, которое еще подлежит содержательному изучению.

Так, русские волшебные сказки имеют «одинаковый смысл» с той точки зрения, что они одинаково моделируют теорию В. Я. Проппа [44]. Между тем соответствие между элементами самих сказок совсем не тривиально. Изложенные соображения годятся отнюдь не только для статических ситуаций, они могут быть развиты и для динамических систем (процессов). Такие системы описываются как множества состояний элементов. Отношения обычно определяются не только между одновременными состояниями, но и между состояниями в смежные моменты времени. 

Искушенный в элементах кибернетики читатель легко проинтерпретирует с этой точки зрения понятие «конечного автомата», а также многие другие родственные понятия. В кибернетике часто слово «модель» употребляют в третьем смысле, который также может быть описан в рамках принятой нами схемы. Именно модель наблюдаемого объекта - это обычно модель той же Теории, которая описывает класс наблюдаемых объектов. Например, когда демонстрируется движущаяся модель черепахи в виде тележки на колесах с мотором, то это, строго говоря, не модель самой черепахи, а модель той (довольно слабой) Теории, которая описывает класс объектов, способных совершать простые движения и выполнять несложный набор команд. 

Точно так же, когда говорят, что так называемая нейронная сеть (т. е. множество нехитрых электронных элементов с четко определенной системой связей и логикой действия) есть модель Мозга, то это надо понимать как модель некоего очень грубого представления (но все же Теории) о том, как может быть устроен Мозг.

Итак, модель K = модель M для модели L. Эта вторичность модели к весьма часто затушевывается в кибернетике. 

Тем самым выводы, полученные при исследовании поведения модели приобретают большую эмоциональную убедительность, чем они того заслуживают. В действительности модель даже не гомоморфна изучаемому объекту, а только сомоделируема с ним. 

В кибернетике сама Теория часто не формулируется эксплицитно, и это дополнительно способствует путанице представлений. Так, когда машинный перевод рассматривается как модель процесса перевода, совершаемого человеком, полезно помнить, что это не более чем модель некоего представления (Теории), созданнои исследователем по поводу процедуры перевода. Даже если этот алгоритм изоморфен процессу человеческого перевода. Более того, это не доказывает, что построенная Теория описывает реальный процесс мышления. Эта Теория описывает только класс процедур, способных переводить некоторые тексты - вот все, что мы можем здесь сказать. 

Вопрос же об адекватности этой Теории процессу языковой деятельности человека требует дополнительной проверки рядом иных критериев. Полезно остановиться на следующем обстоятельстве. Переход от реального объекта к наблюдаемому может быть связан с введением и не наблюдаемых непосредственно элементов и отношений.

Тривиальный пример - введение нулевых морфем. 

Несколько сложнее следующий пример. Реальный текст - это цепочка слов. Единственное непосредственно наблюдаемое отношение - это следование слов во фразе. Но гораздо удобнее рассматривать класс объектов, получаемых из исходного текста с помощью дополнительных конструкций, т. е. считать наблюдаемым объектом «размеченный текст» - текст с отношениями управления, однородности, с выделенными непосредственными составюrющими, с указанием семантических связей и т. д. Оказывается, что такие «обогащенные» тексты приводят к более интересным и содержательным Теориям.

Следующий шаг состоит в том, что вводимые конструкты интерпретируются как реальные лингвистические явления. Например, составляющие интерпретируются как элементы речи, существующие в процессе ее порождения (или восприятия). В данном случае основной критерий существования этих элементов и отношений состоит в эстетике возникающей Теории. У нас нет прямых доказательств, что порождение речи устроено как вывод по составляющим в грамматике Хомского. Однако эстетический критерий подсказывает, что непосредственные составляющие отвечают чему-то вполне реальному в языке.

Итак, мы обсудили проблему связи моделей в рамках теорий. Перейдем к выяснению отношения теории к классу ее моделей, куда могут входить как наблюдаемые объекты, так и моделирующие их конструкты.

Теория называется состоятельной для класса наблюдаемых моделей, если любой объект из этого класса является моделью этой теории. Теория называется полной для класса наблюдаемых объектов, если любая (конечная) модель этой Теории изоморфна хотя бы потенциальному объекту из класса.

Последнее требует некоторого пояснения. Предположим, что у нас имеется полная Теория, описывающая все допустимые в pyccкoм языке типы синтаксических структур. Если любая допустимая этой Теорией структура изоморфно реализуется в реальной русской фразе, то эта Теория безусловно полна. Но скорее можно ожидать, что эта Теория предскажет и некоторые не встречающиеся в pyccком языке структуры. Так вот, мы не откажемся считать Теорию полной, если эти «лишние» структуры будут рассматриваться носителями языка как допустимые для этого языка. Все эти определения можно изложить на уровне математической строгости. 

Идеальная ситуация практически никогда не встречается. Сколько-нибудь содержательная теория никогда не бывает ни слишком полной, ни вполне состоятельной.

Реальная ситуация, когда изоморфизмы существуют только между наблюдаемыми (потенциальными) объектами и моделями.

Далее нам необходимо следующее понятие о хорошем качестве Теории. Будем называть Теорию почти состоятельной, если она выполняется для почти всех объектов (наблюдаемых и потенциальных).

Понятие «почти все» определено в гл. 7. 

Можно дать другой вариант обобщения понятия состоятельности. Именно Теория называется квазисостоятельной, если она почти выполняется для всех наблюдаемых объектов. 

Здесь слово «почти» нуждается в экспликации. Вообще говоря, почти состоятельность и кваззисостоятельность - совсем разные понятия, так как можно придумать ситуацию, где некоторая Теория выполняется для подавляющего большинства объектов, но для остальных не имеет никакого отношения к делу - остальные объекты имеют совсем иную природу. Наоборот, можно придумать Теорию, которая внутренне противоречива и не выполняется ни для одного объекта (не имеет моделей), но имеет большой класс «квазимоделей», на которых она почти выполняется.

Однако представляется очень правдоподобной гипотеза, что для естественно организованных классов наблюдаемых объектов эти понятия (почти состоятельность и квазисостоятельность) совпадают. Иначе говоря, Теория, почти выполняемая для всех объектов хорошо организованного класса, выполняется для почти всех объектов этого класса. Так, все фразы русского языка «почти проективны» и одновременно «почти все» фразы русского языка проективны.

Сформулированная гипотеза не является тавтологией, а отражает какие-то важные свойства «естественно» устроенных классов объектов. Эту гипотезу можно интерпретировать как некий гносеологический принцип или онтологическую предпосылку познания «естественных» классов реальных объектов. 

Предпосылка состоит в том, что для этих объектов (точнее, соответствующих им наблюдаемых объектов) существует теория, выполняющаяся на почти всех объектах и почти выполняющаяся на всех объектах. Из этой предпосылки вытекает, например, что, обнаружив выполнимость некоторой теории на почти всех объектах данного класса, мы можем с достаточным основанием утверждать, что для всех объектов этого класса данная теория почти выполнена. Придав слову «почти» эксплицированный смысл (см. гл. 7), мы можем получить тот или иной конкретный методологический принцип получения индуктивных суждений. Так, вполне можно принять, что современная лингвистика умеет описывать «почти все» человеческие языки. На основе этих описаний удалось найти некоторые универсалии, т. е. свойства, справедливые для устройства всех известных языков. Изложенный принцип позволяет с уверенностью сказать, что для любого человеческого языка эти свойства справедливы, быть может, с некоторой поправкой в формулировке. Однако значение указанного принципа не сводится к получению индуктивных суждений. Наличие в самой его формулировке понятия «теория» показывает, что содержание этого принципа не сводится к правилам проведения индукции.

Наука рассматривает реальные объекты как представителей некоторого класса, задающего объем соответствующего понятия.

Теория служит экспликацией понятия на формально-логическом языке.

Исследователь подходит к изучению данного в наблюдении объекта с некоторым представлением о его природе, позволяющим обсуждать вопрос о представительности данной в наблюдении совокупности объектов для формулировки теории. (Подчеркнем, что эти соображения гораздо богаче и содержательнее, чем статистические оuенки nредставительности выборки). Так, лингвист, получив в свое расnоряжение корпус текстов, умеет определить, достаточен ли этот корпус для построения грамматики языка.  Так вот, если по данным в опыте объектам можно утверждать, что они относятся к естественному классу и по ним осмысленно строить некую теорию, то сформулированный нами принцип дает основания для экстраполяции этой теории на мыслимый объем данного понятия и одновременно предупреждает о том, что это понятие не равно сильно формальной теории, но представимо ею с нужными оговорками о «почти». Итак, развертывание понятия теории и модели позволяет выйти за логистические ограничения познания за счет того, что познающий не ограничивается наблюдаемым, а путем построения теорий переходит к рассмотрению сущностей.

Сформулированный гносеологический принцип можно осмыслить с несколько более общей точки зрения. 

Естественный класс реальных объектов - это объем понятия, возникающего при исследовании этого класса.  С этой точки зрения теория есть средство логической экспликации соответствующего понятия, способ выразить это понятие в математической форме. Разумеется, это средство выражения не тождественно содержанию понятия, но дает возможность характеризовать это содержание. 

Наши рассуждения о «почти» означают тогда, что экспликация понятия, позволяющая охарактеризовать почти весь его объем, почти характеризует весь объем этого же понятия. 

Если бы понятие полностью характеризовалось своей логической экспликацией, то оказалась бы безнадежно утраченной его антиномичность, оно целиком перешло бы в область рассудочного и возможность диалектического развертывания была бы наглухо закрыта. 

С другой стороны, чтобы сталкивать понятия в диалектическом противоречии, эти понятия должны быть достаточно четкими - логически определенными. При столкновениях аморфных, не выделенных отчетливо понятий приближения к истине не происходит, искру можно высечь при ударе стали о сталь, но при столкновении пыльных мешков получится только столб пыли.

Принцип «почти» открывает возможность исследования антиномичности понятия, ведь «почти выполнимость» теории на объекте означает и выполнимость, и невыполнимость. Более того, такая экспликация делает противоречие явным, позволяя говорить сути противоречия, а не только фиксировать его.

(Далее идет пример логической конструкции из К. Маркса "Капитал", "чтобы подчеркнуть смысловую роль математики в анализе природных и социальных объектов.")

От самого перевода понятия на язык математической теории чуда не происходит. Чаще всего эта теория есть лишь способ точнее выразить известное и убедиться в его непротиворечивости. 

Гораздо более важны в познавательной деятельности те возможности математического аппарата, которые позволяют высветлить противоречие, сделать его «невыносимым» для простого рассудка, для ограниченно-метафизического мышления. В данном случае математический аппарат расширяет возможности рационалистического познания, делая его способным осваивать противоречия. И все же подход, который мы обсуждаем, страдает известной ограниченностью. Ведь теория сравнивается не с реальным объектом, а с абстрактным (в смысле [15]) или, что то же, с наблюдаемым. 

Следующий шаг состоит в переходе к описанию реальных объектов с помощью классов моделей, представляющих различные аспекты этих объектов, т. е. к системному подходу. Чтобы ввести в дальнейшем понятие системы, необходимо поговорить еще об одной логической конструкции, промежуточной между моделью и теорией.  Эта конструкция называется каркасом и является как бы не вполне реализованной в модели теорией. Точное определение (см. [72]) каркаса таково.

Каркасом называется кортеж К = <<М, а>, Q2, A>, где <М, а> - модель в сигнатуре Q1, Q2 - сигнатура, не имеющая общих имен отношений с сигнатурой Q1, A - аксиоматика,  в которой используются имена отношений как из Q1, так и из Q2.

Состоянием каркаса К = <<M, а> , Q2, A> называется модель <М, b> в сигнатуре Q = Q1 U Q2. При этом функции а и b совпадают на сигнатуре Q1 и выполняется аксиоматика A.

Каркас отличается от формальной теории тем, что в нем уже зафиксировано базовое множество и даже некоторые отношения на нем. Модель является как бы тканью, на которую наносится «рисунок» - отношения из сигнатуры Q2.

Аксиоматика предопределяет, если так можно выразиться, стиль рисунка, т. е. условия, которым должен удовлетворять рисунок как сам по себе, так и в отношениях с тканью. Рисунок можно определить как модель <М, c> в сигнатуре Q2, где функция c совпадает с b на сигнатуре Q2.

Конструкцию каркаса можно также применить для описания систем. В ней отражается такое существенное свойство систем, как полиморфизм (закон полиморфизации по Урманцеву [59]). Действительно, каждый каркас имеет определенное множество состояний, соответствующих различным состояниям системы, ее полиморфным модификациям. Связывая состояния с координатой времени, можно описывать динамику систем. Понятие каркаса оказывается очень удобным в ситуациях, когда надо установить соответствие между моделями в существенно различных сигнатурах. 

Далее мы увидим, как это фактически делается. А теперь перейдем к рассмотрению алгебраического аппарата теории категорий, который оказывается очень естественным способом изучения сложных соответствий объектов системной природы.