ФУНКТОРЫ

Пятый параграф третьей главы "СИСТЕМЫ и МОДЕЛИ"

Сопоставление F оказывается ни чем иным, как широко применяемой в теории категорий конструкцией - функтором. 

Функтор - это такое отображение одной категории в другую, при котором каждый объект первой отображается в объект второй, а морфизмы nервой категории переходят в морфизмы между соответствующими объектами другои категории, причём произведение морфизмов переходит в произведение.

Функтор позволяет сопоставлять, объекты разных категорий. Это сопоставление отражает существенные свойства объектов, и потому с помощью функторов удается свести многие задачи об объектах одной категории к аналогичным задачам об объектах другой категории. Например, в математике строятся функторы из категории топологических пространств в категорию абелевых групп или колец. Это позволяет решать топологические задачи алгебраическими методами. Дадим теперь формальное определение функтора.

Пусть заданы категории С и R. Функтором F : С в R называется отображение F : ObC в ObR и отображение из класса всех морфизмов категории С в класс всех морфизмов категории R. 

При этом выполняются следующие аксиомы:

1) если u: А в В, то F(u) : F(A) в F(B). Другими словами, F(Hc(A, В)) из Нr(F(А), F(B)) *)

2) если u=vw, то F(u) = F(v) F(w) *),

3) для любого объекта А из С F(Iа) = If(a)

Вводится локально малая монокатегория и категория упорядоченных множеств с монотонными отображениями и показываеся, что построенное выше сопоставление каждому объекту А категории С упорядоченного множества его подобъектов F (А) будет функтором локально малой монокатегории в категорию упорядоченных множеств с монотонными отображениями. Первое требование выполняется с очевидностью, а второе - согласно теореме из предыдущего параграфа. Третье требование следует из того, что если [А', а] - произвольный подобъект объекта А, а F(Iа) [, а] = [А", а'] . Это значит, что существует морфизм u : А' в А", причем а=uа'. Морфизм а разложим в Iа и a, где а из М. Следовательно, существует морфизм v: А" в А', v из М, va=a'. Тогда vua'= a' => uva=a => uv = Iа'. Следовательно, u - изоморфизм и [А', а] = [А", а'].

В монокатегории может оказаться, что два разных морфизма одинаково гомологизируют подобъекты объектов. Такая ситуация неудобна для наших целей, поскольку морфизмы монокатегории мы хотели бы интерпретировать как гомологию подобъектов и, следовательно, должны различать морфизмы с точностью до отображения подобъектов. Поэтому нас будут интересовать лишь такие локально малые монокатегории, в которых F (u) = F ( v) => u = v. Их будем называть простыми монокатегориями. Приведем примеры простых монокатегорий:

1) С - категория моделей с гомоморфизмами, M - инъективные гомоморфизмы;

2) С - категория моделей с корреспонденциями, M - категория моделей с инъективными корреспонденциями; 

3) С - категория, объекты которой - метрические пространства, а морфизмы - непрерывные отображения. Морфизмы изМ инъективны и сохраняют метрику;

4) объекты категории С - модели в сигнатуре Q1 U Q2, а морфизмы - гомоморфизмы по сигнатуре Q1 (тканевые морфизмы). М0рфизмы из М - инъективные гомоморфизмы по сигнатуре Q1 U Q2;

5) объекты категории С - те же, морфизмы - бигомоморфизмы. Морфизмы из М - инъективные структурные бигомоморфизмы;

6) С - категория клубных систем с перестановочными морфиз­ами, М - с инъективными гомоморфизмами.

Решим задачу реконструкции простой монокатегории, если заданы способы гомологизации подобъектов. Упорядоченное множество подобъектов для каждого объекта следует иметь заранее, иначе невозможно задать гомологию подобъектов. А для этого достаточно знать категорию М. Действительно, подобъекты и их упорядоченность определены лишь с помощью категории М и не зависят от категории С. 

Итак, задача сводится к тому, чтобы дополнить категорию М до простой монокатегории.

Пусть задано упорядоченное множество А. Подмножество всех его элементов, меньших либо равных а, вместе с индуцированным на этом подмножестве порядком обозначим А/а.

Теорема. Пусть категории С, М таковы, что:

1) М из С, С из категории упорядоченных множеств с монотонными отображениями,

2) ОbM=ObС,

3) каждый объект А категории С имеет наибольший элемент а,

4) каждый морфизм u : А в В в категории M - инъекция, причем u(А) =В/u(а), где u(А) - образ упорядоченного :множества А при отображении u,

5) для любого морфизма u : А в В из категории С существует разложение u=q(u)р(u), где q(u) : А в q(u) из С, р(u) : q(u) в В из М, q(u) из ОbС; при этом если а - наибольший элемент множества q(u), то a=p(u)(а),

6) если u : А в В и v : В в С - морфизмы категории С, то [q(uv), p(uv)] = [q(p(u)v), p(p(u)v],

7) для каждой пары неравных морфизмов u, v: А в В из С су­ществует такой подобъект [Х, h] объекта А, что [q(hu), p(hu)] "не равно" [q(hv), p(hv)].

Тогда: 1) существует единственная подкатегория G категории С такая, что <С, М, G> - простая монокатегория, 2) любая nростая монокатегория изоморфна простой монокатегории <С, М, G>, в которой С и М обладают перечисленными выше свойствами. 

Далее идёт доказательство теоремы.

Эта теорема решает проблему дополнения категории допустимых мономорфизмов М до простой монокатегории <С, М, G>, поскольку простая монокатеrория <С, М, G> изоморфна тройке <С', F (М), G'>, где категория С' удовлетворяет свойствам 1, 2, 5-7, а G' определяется однозначно по теореме из предыдущего параграфа.

Итак, простая монокатегория равносильна категории отображений подобъектов, обладающей свойствами 1-7 из условия теоремы. Это позволяет надеяться, что простые монокатегории будут хорошим математическим аппаратом теоретической систематики, поскольку именно там изучаются способы сравнения объектов, установление гомологии подобъектов.