Du chaos comme toujour

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1.2 Définition heuristique d'un système chaotique

1.3 Qu'est-ce que la « théorie du chaos » ?

1.4 Chronologie de la théorie du chaos

1.4.2 La découverte du phénomène de sensibilité aux conditions initiales par Henri Poincaré

1.4.3 Études de Mary Lucy Cartwright dans les années 1930

1.4.4 Élaboration de la théorie du chaos dans les années 1970

2 Le déterminisme, de Laplace à Poincaré

2.1 La stabilité du Système solaire

2.2 Notion de système dynamique différentiel conservatif

2.3 Laplace, ou le déterminisme triomphant

2.4 Le théorème de Cauchy-Lipschitz

2.5.1 Sensibilité aux conditions initiales

3 Postérité des travaux de Poincaré

3.1 Poincaré et la stabilité du Système solaire

3.2 L'école russe des années 1890-1950

3.2.1 Liapounov et la stabilité du mouvement

3.4 Émergence et développement de la théorie ergodique

3.5 Prédictibilité et calculabilité

3.8 Stephen Smale : topologie et stabilité structurelle

3.9 L'école russe des années 1950-1980

4 Transition d'une dynamique régulière vers le chaos

4.1 Cascade de doublements de période
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Article détaillé : Problème à N corps .
Article détaillé : Système dynamique .
Article détaillé : Démon de Laplace .
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Article détaillé : Problème à N corps .
Article détaillé : Théorie ergodique .
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Articles détaillés : Système d'Anosov et Théorème KAM .
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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Chaos theory » ( voir la liste des auteurs ) .

↑ Quand on procède au calcul numérique des solutions d'un système différentiel on peut imposer des conditions initiales exactes (par exemple via des nombres entiers), mais s'il s'agit d'un système dynamique sensible aux conditions initiales le résultat du calcul reste chaotique en raison des erreurs d'arrondi , qui ont le même effet que de petites variations des conditions initiales : le résultat des calculs sera reproductible sur un même ordinateur, mais pourrait être complètement différent d'un ordinateur à l'autre.

↑ Pour un système dynamique différentiable inversible décrit par une équation différentielle (resp. l'itération d'une application suivant des temps discrets), trois (resp. deux) degrés de liberté suffisent. Pour un système dynamique décrit par l'itération d'une application différentiable non inversible suivant des temps discrets, un degré de liberté est suffisant. L'exemple paradigmatique est le doublement d'angle sur le cercle.

Pour des dimensions inférieures, la classification de Poincaré des homéomorphismes du cercle et le théorème de Poincaré-Bendixson sur les difféomorphismes de surface interdisent la présence d'une dynamique chaotique.

↑ Bien sûr, un système complexe peut aussi posséder une dynamique d'une grande complexité : mentionnons par exemple les phénomènes météorologiques ou l' économie .

↑ « Notre second exemple sera fort analogue au premier et nous l’emprunterons à la météorologie. Pourquoi les météorologistes ont-ils tant de peine à prédire le temps avec quelque certitude ? Pourquoi les chutes de pluie, les tempêtes elles-mêmes nous semblent-elles arriver au hasard, de sorte que bien des gens trouvent tout naturel de prier pour avoir la pluie ou le beau temps, alors qu’ils jugeraient ridicule de demander une éclipse par une prière ? Nous voyons que les grandes perturbations se produisent généralement dans les régions où l’atmosphère est en équilibre instable. Les météorologistes voient bien que cet équilibre est instable, qu’un cyclone va naître quelque part ; mais où, ils sont hors d’état de le dire ; un dixième de degré en plus ou en moins en un point quelconque, le cyclone éclate ici et non pas là, et il étend ses ravages sur des contrées qu’il aurait épargnées. Si on avait connu ce dixième de degré, on aurait pu le savoir d’avance, mais les observations n’étaient ni assez serrées, ni assez précises, et c’est pour cela que tout semble dû à l’intervention du hasard. Ici encore nous retrouvons le même contraste entre une cause minime, inappréciable pour l’observateur, et des effets considérables, qui sont quelquefois d’épouvantables désastres. »
Henri Poincaré, Science et Méthode [ 26 ] .


Commentaires sur la preuve d'indécidabilité de la théorie du chaos.
Preuve que la théorie du chaos est indécidable et, si elle est axiomatisée dans la théorie des ensembles, incomplète au sens de Gödel





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Pour les articles homonymes, voir Chaos .

La théorie du chaos est une théorie scientifique rattachée aux mathématiques et à la physique qui étudie le comportement des systèmes dynamiques sensibles aux conditions initiales , un phénomène généralement illustré par l' effet papillon .

Dans de nombreux systèmes dynamiques, des modifications infimes des conditions initiales entraînent des évolutions rapidement divergentes, rendant toute prédiction impossible à long terme. Bien que ce soient des systèmes déterministes , dont le comportement futur est déterminé par les conditions initiales , sans aucune intervention du hasard , ils sont imprévisibles (au moins dans le détail) car on ne peut pas connaître les conditions initiales avec une précision infinie [ a ] .

Ce comportement paradoxal est connu sous le nom de chaos déterministe, ou tout simplement de chaos.

Le comportement chaotique est à la base de nombreux systèmes naturels, tels que la météo ou le climat. Ce comportement peut être étudié grâce à l'analyse par des modèles mathématiques chaotiques, ou par des techniques analytiques de récurrence et des applications de Poincaré . La théorie du chaos a des applications en météorologie , climatologie , sociologie , physique , informatique , ingénierie , économie , biologie et philosophie .

La notion de chaos renvoie à un concept qui remonte à l' Antiquité , dans la perspective d'une explication du monde reposant sur le principe de l'harmonie et du cosmos . C'est un concept de philosophie avant d'être un concept des mathématiques.

Un système dynamique est dit chaotique si une portion « significative » de son espace des phases présente simultanément les deux caractéristiques suivantes :

La présence de ces deux propriétés entraîne un comportement extrêmement désordonné, qualifié à juste titre de « chaotique ». Les systèmes chaotiques s'opposent notamment aux systèmes intégrables de la mécanique classique , qui furent longtemps les symboles d'une régularité toute puissante en physique théorique . La dynamique quasi périodique d'un système intégrable semblait elle-même trouver son illustration parfaite dans les majestueux mouvements des planètes du Système solaire autour du Soleil ; aussi Voltaire , qui incita Émilie du Châtelet à entreprendre la traduction des Philosophiae naturalis principia mathematica de Newton , parlait de Dieu comme du « Grand Horloger »…

Au cours de son histoire, la physique théorique s'était déjà trouvée confrontée à la description de systèmes complexes macroscopiques, comme un volume de gaz ou de liquide, mais la difficulté à décrire de tels systèmes semblait découler du très grand nombre de degrés de liberté internes du système à l'échelle microscopique (atomes, molécules). La mécanique statistique avait dans ce cas permis de rendre compte de façon satisfaisante des propriétés macroscopiques de ces systèmes à l'équilibre. Ce fut donc une grande surprise lorsqu'on s'aperçut à la fin du XIX e siècle qu'une dynamique d'une grande complexité pouvait résulter d'un système simple possédant un très petit nombre de degrés de liberté [ b ] , pourvu qu'il possède cette propriété de sensibilité aux conditions initiales.

La théorie du chaos s'attache principalement à la description de ces systèmes à petit nombre de degrés de liberté, souvent très simples à définir, mais dont la dynamique nous apparaît comme très désordonnée [ c ] .

La question de départ était de prédire le mouvement de la Lune, question posée par les astronomes . Pierre-Simon de Laplace a émis l'hypothèse de la stabilité du Système solaire en utilisant la théorie des perturbations au premier ordre. Mais le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement. Un siècle après Laplace, Henri Poincaré s'est donc emparé du problème.

Le phénomène de sensibilité aux conditions initiales a été découvert dès la fin du XIX e siècle par Henri Poincaré, dans des travaux concernant le problème à N corps en mécanique céleste (notamment dans le volume 3 des Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste ), puis par Jacques Hadamard avec un modèle mathématique abstrait aujourd'hui baptisé « flot géodésique sur une surface à courbure négative ». Cette découverte a entraîné un grand nombre de travaux importants, principalement dans le domaine des mathématiques. Ces travaux sont évoqués dans le paragraphe Développements historiques situé plus loin.

Mary Lucy Cartwright , mathématicienne britannique , à partir de 1938, noue une collaboration d’une dizaine d’années avec Littlewood et devient une pionnière de l’étude du chaos [ 1 ] .

Ce n’est véritablement que dans les années 1970 que la théorie du chaos s'est progressivement imposée sur le devant de la scène scientifique, opérant une rupture épistémologique forte. Le terme suggestif de « chaos » n'a d'ailleurs été introduit qu'en 1975 par les deux mathématiciens Tien-Yien Li et James A. Yorke [ 2 ] . Otto E. Rössler , connu pour avoir découvert l'un des attracteurs chaotiques le plus étudié (et appelé aujourd'hui attracteur de Rössler [ 3 ] ), utilisa le terme de « chaos » dans la plupart de ses articles dès 1976. Le caractère tardif de ce changement de paradigme s'explique aisément : la théorie du chaos doit en effet sa popularisation aux progrès fulgurants de l' informatique à partir des années 1960-70. Cette science nouvelle a en effet rendu accessible aux non-mathématiciens la visualisation directe de l'incroyable complexité de ces systèmes dynamiques, auparavant réservée aux seuls « initiés » capables d'absorber le formalisme mathématique idoine.

À titre d'illustration, la figure ci-contre est un exemple typique d'images produites par la théorie du chaos ; il s'agit ici d'un objet géométrique découvert par Lorenz en 1963, et initialement baptisé « attracteur étrange » à la suite de l'introduction de ce concept par David Ruelle et Floris Takens [ 4 ] . (Cet objet sera commenté plus bas, au paragraphe : Lorenz et la météorologie .)

La théorie du chaos est une théorie scientifique. Elle repose sur la représentation des solutions des équations différentielles dans l'espace des phases associé : représenter les solutions sous forme de trajectoire dans l'espace plutôt que l'une des variables en fonction du temps permet de révéler la structure sous-jacente : c'est ce qui conduit à affirmer que la théorie du chaos contribue à « trouver de l'ordre caché sous un désordre apparent » [ 5 ] . L'attracteur de Lorenz précédemment représenté est un exemple d'une évolution d'un système dans l'espace des phases. Au déterminisme laplacien permettant la prédiction sur des temps arbitrairement longs a succédé un déterminisme de nature fondamentalement différente. Il peut être approché de manière probabiliste [ 6 ] et alors caractérisé par l'existence d'invariants prenant la forme de mesures de probabilités, de dimension fractale … ou par une description topologique des attracteurs [ 7 ] . Toutes les sciences , y compris sociales , sont concernées [ 8 ] , [ 9 ] , [ 10 ] , [ 11 ] par ce changement de paradigme ; en particulier, cette théorie peut inclure l'organisation du vivant dans la nature [ 12 ] .

Le point de départ de la théorie du chaos est le problème à « 3 corps » qui consiste à étudier le mouvement de trois corps en interaction gravitationnelle, comme le système : { Soleil - Terre - Lune }, supposé isolé du reste de l'univers. Le but de cette recherche est de déterminer si le Système solaire est « stable » sur le long terme, ou bien si l'un des corps risque un jour de percuter un autre corps, ou encore être éjecté du Système solaire vers l'infini.

Le problème à 3 corps est aussi vieux que la mécanique newtonienne : en effet, dès la naissance de cette théorie, son fondateur s'est intéressé au problème à trois corps dans le but de prédire le mouvement de la Lune. Tous les astronomes à sa suite ont abordé ce problème, dont Laplace , qui crut avoir prouvé la stabilité du Système solaire en utilisant la théorie des perturbations au premier ordre. Mais en réalité, le développement perturbatif au premier ordre est insuffisant pour conclure définitivement, et un siècle après Laplace, Henri Poincaré s'est donc emparé du problème. On examine ci-dessous l'évolution des idées qui distinguent la pensée de Laplace de celle de Poincaré.

Pour un système possédant n degrés de libertés , l' espace des phases



Γ


{\displaystyle \Gamma }

du système possède 2n dimensions, de telle sorte que l'état complet



x
(
t
)
∈
Γ


{\displaystyle x(t)\in \Gamma }

du système à l'instant t est en général un vecteur à 2n composantes. On considère alors typiquement un système différentiel du premier ordre du type [ 13 ] :

où la fonction f définit le système dynamique étudié (c'est en général également un vecteur à n dimensions, c’est-à-dire un ensemble de n fonctions scalaires). Ce système physique, supposé conservatif, est déterministe si et seulement si la dynamique du système associe à chaque condition initiale




x

0




{\displaystyle x_{0}}

un et un seul état final



x
(
t
)


{\displaystyle x(t)}

. Il faut pour cela qu'il existe une application bijective




ϕ

t


:
Γ
→
Γ


{\displaystyle \phi _{t}:\Gamma \to \Gamma }

de l'espace des phases sur lui-même telle que :

Lorsque le temps t varie, cette bijection engendre un flot sur



Γ


{\displaystyle \Gamma }

, c’est-à-dire un groupe continu à un paramètre




ϕ

t




{\displaystyle \phi _{t}}

. Cette modélisation mathématique correspond par exemple au flot hamiltonien de la mécanique classique , ainsi qu'au flot géodésique .

Fort des succès obtenus en mécanique céleste , Laplace écrit en 1814 dans l’introduction de son Essai philosophique sur les probabilités [ 14 ] :

« Nous devons donc envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence qui pour un instant donné connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ses données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir comme le passé serait présent à ses yeux.

L'esprit humain offre, dans la perfection qu'il a su donner à l'Astronomie, une faible esquisse de cette intelligence. Ses découvertes en Mécanique et en Géométrie, jointes à celle de la pesanteur universelle, l'ont mis à portée de comprendre dans les mêmes expressions analytiques les états passés et futurs du système du monde. En appliquant la même méthode à quelques autres objets de ses connaissances, il est parvenu à ramener à des lois générales, les phénomènes observés, et à prévoir ceux que des circonstances données doivent faire éclore. Tous ces efforts dans la recherche de la vérité tendent à le rapprocher sans cesse de l'intelligence que nous venons de concevoir, mais dont il restera toujours infiniment éloigné. Cette tendance propre à l’espèce humaine est ce qui la rend supérieure aux animaux; et ses progrès en ce genre distinguent les nations et les siècles, et font leur véritable gloire. »

Ce texte aujourd'hui célèbre est en réalité largement prophétique, au sens où Laplace ne possède pas le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle, qui sera démontré ultérieurement, et fait l'objet du paragraphe suivant.

C'est le mathématicien Cauchy qui énonce en 1820 le théorème général d'existence et d'unicité de la solution d'une équation différentielle. Lipschitz lui donnera sa forme définitive en 1868 .

Environ un siècle après Laplace, Poincaré écrit dans l'introduction de son Calcul des Probabilités [ 15 ] , [ 16 ] un texte dont la tonalité est fort différente de celui de son illustre prédécesseur. C'est entre 1880 et 1910, que Poincaré, qui cherche à prouver la stabilité du Système solaire, découvre un nouveau continent issu des équations de Newton et jusqu'alors inexploré.

« Comment oser parler des lois du hasard ? Le hasard n'est-il pas l'antithèse de toute loi ? Ainsi s'exprime Bertrand , au début de son Calcul des probabilités . La probabilité est opposée à la certitude ; c'est donc ce qu'on ignore et, par conséquent semble-t-il, ce qu'on ne saurait calculer. Il y a là une contradiction au moins apparente et sur laquelle on a déjà beaucoup écrit.

Et d'abord qu'est-ce que le hasard ? Les anciens distinguaient les phénomènes qui semblaient obéir à des lois harmonieuses, établies une fois pour toutes, et ceux qu'ils attribuaient au hasard ; c'étaient ceux qu'on ne pouvait prévo
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