Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию - Математика статья

Главная

Математика
Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию

Идея элементарного доказательства великой теоремы Ферма исключительно проста: разложение чисел a, b, c на пары слагаемых, группировка из них двух сумм U' и U'' и умножение равенства a^n + b^n – c^n = 0 на 11^n (т.е. на 11 в степени n, а чисел a, b, c на 1


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Идея предлагаемого вниманию читателя элементарного доказательства Великой теоремы Ферма исключительно проста: после разложения чисел a, b, c на пары слагаемых, затем группировки из них двух сумм U ' и U '' и умножения равенства a ^ n + b ^ n - c ^ n = 0 на 11^ n (т.е. на 11 в степени n , а чисел a , b , c на 11 ) ( k +3) -я цифра в числе a ^ n + b ^ n - c ^ n (где k - число нулей на конце числа a + b - c ) не равна 0 (числа U ' и U '' умножаются по-разному!). Для постижения доказательства нужно знать лишь формулу бинома Ньютона, простейшую формулировку малой теоремы Ферма (приводится), определение простого числа, сложение двух-трех чисел и умножение двузначного числа на 11 . Вот, пожалуй, и ВСЁ! Самое главное (и трудное) - не запутаться в десятке цифр, обозначенных буквами. Формальное описание истории теоремы и библиография в русском тексте опущены.
Доказательство приводится в редакции от 1 июня 2005 года (с учетом дискуссии на мехматовском сайте).
ИНСТРУМЕНТАРИЙ: [В квадратных скобках приводится поясняющая, не обязательная информация.]
Все числа записаны в системе счисления с простым основанием n > 10 .
[Все случаи с составным n, кроме n = 2 k (который сводится к случаю n = 4 ), сводятся к случаю
простого n с помощью простой подстановки. Случаи n = 3, 5 и 7 здесь не рассматриваются.]
a k - k -я цифра от конца в числе a ( a 1 - последняя цифра).
[ Пример для a = 1043: 1043 = 1 x5 3 + 0 x5 2 + 4 x5 1 + 3 x5 0 ; a 1 = 3 , a 2 = 4 , a 3 = 0 , a 4 = 1 .]
a ( k ) - окончание (число) из k цифр числа a ( a (1) = a 1 ; 1043 (3) = 043 ). Везде в тексте a 1 № 0 .
[Если все три числа a , b и c оканчиваются на ноль, следует разделить равенство 1° на n n .]
(a i n ) 1 = a i и (a i n - 1 ) 1 = 1 (см. Малую теорему Ферма для a i № 0 ). (0.1°)
( n + 1) n = (10 + 1) n = 11 n = …101 (см. Бином Ньютона для простого n ).
Простое следствие из бинома Ньютона и малой теоремы Ферма для s № 1 [ a 1 № 0 ]:
если цифра a s увеличивается/уменьшается на 0 < d < n ,
то цифра a n s +1 увеличивается/уменьшается на d (или d + n , или d - n ). (0.2°)
[В отрицательных числах цифры считаются отрицательными.]
(1°) Допустим, что a n + b n - c n = 0 .
(2°) Пусть u = a + b - c , где u ( k ) = 0, u k +1 ? 0 , k > 0 [известно, что в 1° u > 0 и k > 0 ].
(3°) Умножим равенство 1° на число d 1 n (см. §§2 и 2a в Приложении) с целью превратить
цифру u k +1 в 5 . После этой операции обозначения чисел не меняются
и равенство продолжает идти под тем же номером (1°).
Очевидно, что и в новом равенстве (1°) u = a + b - c , u ( k ) = 0 , u k +1 = 5 .
(1*°) И пусть a * n + b * n - c * n = 0 , где знаком “*” обозначены записанные в каноническом виде числа в равенстве (1°) после умножения равенства (1°) на 11 n .
(4°) Введем в указанной здесь очередности следующие числа: u , u ' = a ( k ) + b ( k ) - c ( k ) ,
u'' = u - u' = (a - a (k) ) + (b - b (k) ) - (c - c (k) ) , v = (a k+2 + b k+2 - c k+2 ) 1 , u*' = a* (k) + b* (k) - c* (k) ,
u*'' = u* - u*' = (a* - a* (k) ) + (b* - b* (k) ) - (c* - c* (k) ) , 11u' , 11u'' , v* = (a* k+2 + b* k+2 - c* k+2 ) 1 ,
и вычислим две последние значащие цифры в этих числах:
(3a°) u k+1 = (u' k+1 + u'' k+1 ) 1 = 5 ;
(5°) u' k+1 = (- 1 , 0 или 1 ) - так как - n k < a' (k) < n k , - n k < b' (k) < n k , - n k < c' (k) < n k
и числа a , b , c имеют различные знаки;
(6°) u '' k +1 = ( 4 , 5 или 6 ) (см. 3a° и 5°) [ важно : 1 < u '' k +1 < n - 1 ];
(7°) u ' k +2 = 0 [всегда!] - так как \ u '\ < 2 n k ;
(8°) u '' k +2 = u k +2 [всегда!];
(9°) u '' k +2 = [ v + ( a k +1 + b k +1 - c k +1 ) 2 ] 1 , где ( a k +1 + b k +1 - c k +1 ) 2 = (- 1 , 0 или 1 );
(10°) v = [ u k +2 - ( a ( k +1) + b ( k +1) - c ( k +1) ) k +2 ] 1 [где ( a ( k +1) + b ( k +1) - c ( k +1) ) k +2 = (- 1 , 0 или 1 )] =
= [ u k +2 - (- 1 , 0 или 1 ) ] 1 ;
(11°) u * k +1 = u k +1 = 5 - т.к. u * k +1 и u k +1 - последние значащие цифры в числах u * и u ;
(12°) u *' k +1 = u ' k +1 - т.к. u *' k +1 и u ' k +1 - последние значащие цифры в числах u *' и u ' ;
(13°) u*'' k+1 = (u* k+1 - u*' k+1 ) 1 = (3 - u*' k+1 ) 1 = ( 4 , 5 или 6 ) [ важно : 1 < u*'' k+1 < n - 1 ];
(14°) (11 u ') k +2 = ( u ' k +2 + u ' k +1 ) 1 (затем - в результате приведения чисел к каноническому виду -
величина u ' k +1 «уходит» в u *'' k +2 , поскольку u *' k +2 = 0 );
(14a°) важно : числа (11 u ') ( k +2) и u *' ( k +2) отличаются только k +2 -ми цифрами, а именно:
u *' k +2 = 0 , но (11 u ') k +2 № 0 в общем случае;
(15°) (11 u '') k +2 = ( u '' k +2 + u '' k +1 ) 1 ;
(16°) u* k+2 = (u k+2 + u k+1 ) 1 = (u'' k+2 + u k+1 ) 1 = (u'' k+2 + 5 ) 1 ;
(16а°) к сведению: u *' k +2 = 0 (см. 7°);
(17°) u*'' k+2 = ( u* k+2 + 1 , u* k+2 или u* k+2 - 1 ) 1 = (см. 9°) = (u'' k+2 + 4 , u'' k+2 + 5 или u'' k+2 + 6 ) 1 ;
(18°) v* = [u* k+2 - (a* (k+1) + b* (k+1) - c* (k+1) ) k+2 ] 1
[где u* k+2 = (u k+2 + u k+1 ) 1 (см. 16°), а (a* (k+1) + b* (k+1) - c* (k+1) ) k+2 = (- 1 , 0 или 1 ) - см. 10°] =
= [(u k+2 + u k+1 ) 1 - (- 1 , 0 или 1 ) ] 1 .
(19°) Введем числа U' = (a k+1 ) n + (b k+1 ) n - (c k+1 ) n , U'' = (a n + b n - c n ) - U' , U = U' + U'' ,
U*' = (a* k+1 ) n + (b* k+1 ) n - (c* k+1 ) n , U*'' = (a* n + b* n - c* n ) - U*' , U* = U*' + U*'' ;
(19а°) к сведению: U ' (k+1) = U *' (k+1) = 0 .
(20°) Лемма: U (k+2) = U' (k+2) = U'' (k+2) = U* (k+2) = U*' (k+2) = U*'' (k+2) = 0 [всегда!].
= ( a (k+1) + n k+1 a k+2 + n k+2 P a ) n + ( b (k+1) + n k+1 b k+2 + n k+2 P b ) n - ( c (k+1) + n k+1 c k+2 + n k+2 P c ) n =
= ( a (k+1) n + b (k+1) n - c (k+1) n ) + n k+2 (a k+2 a (k+1) n - 1 + b k+2b(k+1) n - 1 - c k+2c(k+1) n - 1 ) + n k+3 P =
U' = a (k+1) n + b (k+1) n - c (k+1) n ,
(20a°) U'' = n k+2 (a k+2 a (k+1) n -1 + b k+2b(k+1) n -1 - c k+2c(k+1) n -1 ) + n k+3 P ,
где (a k+2 a (k+1) n -1 + b k+2 b (k+1) n -1 - c k+2 c (k+1) n -1 ) 1 = (см. 0.1°) =
(20b°) = (a k+2 + b k+2 - c k+2 ) 1 = U'' k+3 = v (см. 4°).
(21°) Следствие: (U' k+3 + U'' k+3 ) 1 = (U*' k+3 + U*'' k+3 ) 1 = 0 .
(22°) Вычислим цифру (11 n U') k+3 :
[так как числа (11 u ') ( k +2) и u *' ( k +2) отличаются только k+2-ми цифрами на величину
(11 u ') k +2 ) , то на эту величину будут отличаться и цифры (11 n U ') k +3 и U *' k +3 , это означает,
что цифра (11 n U ') k +3 будет на (11 u ') k +2 превышать цифру U *' k +3 (см. 0.2°)]
(11 n U') k+3 = U' k+3 = (U*' k+3 + (11u') k+2 ) 1 = (U*' k+3 + u' k+1 ) 1 .
(23°) Откуда U*' k+3 = U' k+3 - u' k+1 .
(24°) Вычислим цифру U *'' k +3   :
U*'' k+3 = v* = (u k+2 + u k+1 ) 1 - (- 1 , 0 или 1 ) - см. (18°);
(25°) Наконец, вычислим цифру ( U *' k +3 + U *'' k +3 ) 1 :
(U*' k+3 + U*'' k+3 ) 1 = (U*' k+3 + U*'' k+3 - U' k+3 - U'' k+3 ) 1 = (U*' k+3 - U' k+3 + U*'' k+3 - U'' k+3 ) 1 =
(см. 23° и 24°) = (- u ' k +1 + v* - v ) = (см. 18° и 10°) =
= (- u' k+1 + [u k+2 + u k+1 - (- 1 , 0 или 1 ) ] - [u k+2 - (- 1 , 0 или 1 ) ]) 1 =
= (- u ' k +1 + u k +1 + (- 2 , - 1 , 0 , 1 , или 2 ) ) 1 = (см. 3a°) =
( u '' k +1 + (- 2 , - 1 , 0 , 1 , или 2 )) 1 = (см. 6°) = ( 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 или 8 ) № 0 ,
что противоречит 21° и, следовательно, выражение 1° есть неравенство .
Случай 2 [доказывается аналогично, но намного проще] : b (или c ) = n t b ' , где b 1 = 0 и b t +1 = b ' 1 № 0 .
(26°) Введем число u = c - a > 0 , где u ( nt - 1) = 0 , а u nt ? 0 (см. §1 в Приложении).
(27°) После умножения равенства 1° на число d 1 n (с целью превратить цифру u nt в 5 )
(см. §§2 и 2a в Приложении) обозначения чисел сохраняются.
(28°) Пусть: u ' = a ( nt - 1) - c ( nt - 1) , u '' = ( a - a ( nt - 1) ) - ( c - c ( nt - 1) ) (где, очевидно, u '' nt = ( a nt - c nt ) 1 );
U ' = a ( nt ) n + b n - c ( nt ) n (где U ' ( nt + 1) = 0 - см. 1° и 26°), U '' = ( a n - a ( nt ) n ) - ( c n - c ( nt ) n ) ,
U *' = a * ( nt ) n + b * n - c * ( nt ) n (где U *' ( nt + 1) = 0 ), U *'' = ( a * n - a * ( nt ) n ) - ( c * n - c * ( nt ) n ) ,
Вычисления, полностью аналогичные вычислениям в случае 1, показывают, что nt+2-я цифра в равенстве Ферма не равна нулю. Число b во всех расчетах (кроме самой последней операции и в п. 27°) можно проигнорировать, т.к. цифры b n nt +1 и b n nt +2 при умножении равенства 1° на 11 n не меняются (т.к. 11 n (3) = 101).
Таким образом, для простых n > 7 теорема доказана.
§1. Если числа a , b , c не имеют общих сомножителей и b 1 = ( c - a ) 1 = 0 ,
тогда из числа R = ( c n - a n )/( c - a ) =
= c n -1 + c n -2 a + c n -3 a 2 + … c 2 a n - 3 + ca n - 2 + a n - 1 =
= (c n -1 + a n -1 ) + ca(c n -3 + a n -3 ) + … + c (n -1)/2 a (n -1)/2 =
= (c n -1 - 2c (n -1)/2 a (n -1)/2 + a n -1 + 2c (n -1)/2 a (n -1)/2 ) + ca(c n -3 - 2c (n -3)/2 a (n -3)/2 + a n -3 + 2c (n -3)/2 a (n -3)/2 ) +
+ … + c ( n -1)/2 a ( n -1)/2 = ( c - a ) 2 P + nc ( n -1)/2 a ( n -1)/2 следует, что:
c - a делится на n 2 , следовательно R делится на n и не делится на n 2 ;
так как R > n , то число R имеет простой сомножитель r не равный n ;
если b = n t b ' , где b ' 1 № 0 , то число c - a делится на n tn - 1 и не делится n tn .
§2. Лемма . Все n цифр ( a 1 d i ) 1 , где d i = 0, 1, … n - 1 , различны.
Действительно, допустив, что ( a 1 d 1 *) 1 = ( a 1 d 1 **) 1 , мы находим: (( d 1 * - d 1 **) a 1 ) 1 = 0 .
Откуда d 1 * =  d 1 ** . Следовательно, множества цифр a 1 (здесь вместе с a 1 = 0 ) и d 1 совпадают.
[ Пример для a 1 = 2 : 0: 2 x0 = 0 ; 1: 2 x3 = 1 1 ; 2: 2 x1 = 2 ; 3: 2 x4 = 1 3 ; 4: 2 x2 = 4 .
При составном n Лемма несправедлива: в базе 10 и (2х2) 1 = 4 , и (2х7) 1 = 4 .]
§2a. Следствие . Для любой цифры a 1 № 0 cуществует такая цифра d i , что ( a 1 d i ) 1 = 1 .
[ Пример для a 1 = 1, 2, 3, 4: 1x 1 = 1 ; 2x 3 = 1 1 ; 3x 2 = 1 1 ; 4x 4 = 3 1 .]
e - mail : victor.sorokine@wanadoo.fr
P.S. Доказательство для случаев n = 3, 5   , 7 аналогично, но в (3°) цифра u k +1 превращается не в 5 , а в 1 , и в (1*°) равенство (1°) умножается не на 11 n , а на некоторое h n , где h - некоторое однозначное число.
Представление великой теоремы Ферма как диофантового уравнения. Использование для ее доказательства метода замены переменных. Невозможность решения теоремы в целых положительных числах. Необходимые условия и значения чисел для решения, анализ уравнений. статья [35,2 K], добавлен 21.05.2009
Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел. научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009
Доказательство великой теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений и методов замены переменных. Теорема о единственности разложения на простые множители целых составных чисел. статья [29,4 K], добавлен 21.05.2009
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах. научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010
Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма. статья [16,4 K], добавлен 17.10.2009
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах. творческая работа [27,7 K], добавлен 17.10.2009
Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора. доклад [26,6 K], добавлен 17.10.2009
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Доказательство Великой теоремы Ферма за одну операцию статья. Математика.
Контрольная работа по теме Теория уголовно-процессуального доказывания
Дипломная Работа На Тему Державний Фінансовий Контроль В Україні
Курсовая работа по теме Система платежей за загрязнение окружающей среды в Российской Федерации
Эссе 11 Класс Обществознание Примеры
Реферат: Типы экономических кризисов: "Длинные волны Кондратьева". Скачать бесплатно и без регистрации
Учебное пособие: Методические указания к выполнению контрольных работ для студентов направления (521100) /специальности (040101. 65) заочной формы обучения «Социальная работа» Одобрено
Реферат: Зарубежный опыт регулирования рыночной экономики на примере Франции. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая Работа На Тему Организационно-Методических Положений Проведения Анализа В Системе Маркетинга
Курсовая Работа На Тему Особенности Программирования Для Windows
Реферат по теме Внешняя политика России накануне Первой мировой войны
Дипломная работа по теме Характеристика технологического процесса производства технического углерода
Дипломная работа по теме Возрастные особенности волевой регуляции у подростков и старшеклассников
Дипломная работа по теме Совершенствование физических возможностей студентов-армрестлингистов
Реферат: Гризли. Скачать бесплатно и без регистрации
Курсовая работа: Доходы бюджетов муниципальных образований и пути их повышения
Курсовая работа по теме Развитие познавательной активности старших дошкольников посредством элементарных опытов
Контрольная работа по теме Философия как форма мировоззрения
Дипломная работа по теме Функціонування існуючої інформаційно-керуючої системи управління виконавчої дирекції фонду соціального страхування від нещасних випадків на виробництві та професійних захворювань України в Дніпропетровській області
Реферат: Рынок монополистической конкуренции и его регулирование. Скачать бесплатно и без регистрации
Сочинение По Картине Сайкина Детская
Органы местного управления и самоуправления в Республике Беларусь - Государство и право курсовая работа
Сацыяльна-эканамічнае развіццё беларускіх земляў у першай палове XIX ст - История и исторические личности контрольная работа
Работа над вокальной партией Кармен в опере "Кармен" Ж. Бизе - Культура и искусство дипломная работа