Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом - Математика реферат

Главная

Математика
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом

Решение дифференциального уравнения, удовлетворяющие условию Липшица. Доказательство теоремы о существовании и единственности липшицевого решения. Принцип неподвижной точки (Шаудера). Пример неединственности (Winston). Доказательство по теореме Арцела.


посмотреть текст работы


скачать работу можно здесь


полная информация о работе


весь список подобных работ


Нужна помощь с учёбой? Наши эксперты готовы помочь!
Нажимая на кнопку, вы соглашаетесь с
политикой обработки персональных данных

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида
где , , , называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.
Если заданы начальные данные в виде
То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке у с функции ц, или, короче, начинающегося в ц.
В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение:
Def 1 .Функция называется решением системы (1), (2) на отрезке , если она удовлетворяет следующим условиям:
Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.
Для начала сделаем некоторые обозначения.
a) есть функция, определенная на отрезке и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть
Def 2. удовлетворяет условиям a),b),c)}
Lemma 1: - выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке функций.
a)Выберем произвольные функции , тогда
c)на отрезке на том же отрезке для любых .
Множество определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса
Возьмем последовательность функций такую, что
Так как это верно при любом , то получаем, что предельная функция удовлетворяет условию Липшица с константой L.
b) По теореме Кантора равномерно на отрезке.
Предположим, что при этом (для простоты доказательства предположим что , если , рассуждения проводятся аналогично)
Возьмем , тогда, так как для любого положительного и любого выполнено , то выполнено и для данных и t. Получим:
Так как по предположению , то получаем что , а это невозможно, так как . Противоречие показывает, что предельная функция ограничена по норме той же константой .
Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что , то есть множество замкнуто.
3. Существование и единственность решения
Для доказательства теоремы о существовании и единственности липшицевого решения нам потребуется некоторые понятия и важные теоремы, доказательства которых можно, например, найти в книге Кадеца [3].
Def 2. Оператор Т называется вполне непрерывным (компактным), если Т непрерывен и Т отображает любое ограниченное множество в предкомпактное.
Def 3. Семейство Ф функций ц, определенных на называется равномерно ограниченным, если
Def 4. Семейство Ф функций ц, определенных на , называется равностепенно непрерывным, если
Для того чтобы семейство Ф непрерывных, определенных на отрезке функций было предкомпактом в , необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.
Теорема 2 .(Шаудера, принцип неподвижной точки)
Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха X оператор вполне непрерывен, то Т имеет в U по крайней мере одну неподвижную точку.
Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения.
Теорема 3. (существование и единственность решения системы (1).(2))
Тогда такая что на отрезке существует решение системы (1),(2), удовлетворяющее условию Липшица, и оно единственно.
Замечание. Для простоты возьмем , для других значений теорема доказывается аналогично, или сводится к этому случаю заменой переменных.
Доказательство: Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию:
Который действует из в себя, действительно, возьмем произвольный элемент
a) Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица: возьмем
Выполнение условий a,b,c означает что .
Для этого необходимо подобрать параметры так, чтоб одновременно выполнялись условия:
Покажем, что оператор Т осуществляет непрерывное отображение:
Возьмем последовательность такую что
Оценка выполнена на всем интервале, величина положительна и конечна, отсюда следует, что при |
также стремится к нулю, а значит оператор Т переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся, а значит он непрерывен.
Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве с соответствующей нормой.
правая часть не зависит ни от t , ни от y , значит образ оператора - равномерно ограниченное семейство функций.
Выбирая получаем что образ оператора есть равностепенно непрерывное семейство функций.
А значит, образ множества предкомпакт, а оператор Т вполне непрерывен.
Так как множество ограничено, выпукло и замкнуто, а оператор Т компактен и действует из этого множества в себя, то по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка из этого множества.
, а это значит, что - решение системы (1),(2).
Предположим, что при выполнении условий теоремы x и y - решения системы (1),(2) на интервале .
При оба решении совпадают с начальными данными, а значит равны между собой. На интервале оценим модуль разности функций, являющимися решениями.
Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что
Выбирая таким малым, чтоб было меньше 1, получаем что , а значит на . Последовательно строя интервалы длинной закончим доказательство теоремы.
4.Пример неединственности ( Winston )
для малых положительных t существует два различных решения:
Действительно, проверим, удовлетворяют ли эти функции уравнению:
Значит, система имеет два различных решения. Это происходит потому что при малых t аргумент оказывается в окрестности -1, а при этих значениях начальные данные недостаточно гладки, не выполнено условие Липшица.
[1] HALE J. K. Theory of functional differential equations. -Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977.
[2] Резуненко А.В. Краткое введение в обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Харьков-2004.
[3] Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьков-2006.
[4] I.D.Chueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems . «Аста»-2002.
[5] Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. «Мир»-1985.
[6] Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976
Особенности выражения производной неизвестной функции. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, его решение. Сущность теоремы Коши (о существовании и единственности решения), её геометрический смысл. Общее и частное решение уравнения. презентация [77,7 K], добавлен 17.09.2013
Великая (большая и последняя) теорема Ферма, ее доказательство для простых показателей. Целочисленные решение уравнения Пифагора в "Арифметике" Диофанта. Формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел. Преобразование уравнения Ферма. реферат [29,1 K], добавлен 19.11.2010
Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения. презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013
Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах. творческая работа [27,7 K], добавлен 17.10.2009
Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах. научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010
Дифференциальное уравнение первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения. Теория устойчивости Ляпунова. дипломная работа [1,0 M], добавлен 11.04.2009
Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро. курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015
Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Рекомендуем скачать работу .

© 2000 — 2021



Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом реферат. Математика.
Компьютерные Системы Реферат
Курсовая На Тему Экологическое Воспитание
Реферат На Тему Девиантное Поведение Подростков Как Результат Наркомании
Реферат: Управление социальными инновациями
Курсовая работа по теме Международно-правовое понятие агрессии и ответственность за нее
Реферат: Характеристика сутності та змісту класичної школи управління
Дудницын 11 Класс Контрольные Работы
Сочинение Вот Злонравия Достойные Плоды Недоросль
Сочинение Мои Осенние Каникулы 6 Класс
Курсовая Работа На Тему Расчет И Проектирование Стальных Конструкций Балочной Клетки
Реферат: Українська та зарубіжна культура
Сочинение Был Ли Дубровский Благородным Разбойником
Дипломная работа: Репрессии среди крестьян на территории Западной Сибири в 1930-е годы
Реферат по теме Понятие представительства. Коммерческое представительство. Обязательства
Курсовая работа по теме Тема любви в лирике А.С. Пушкина и ее автобиографическая основа
Основы Рационального Питания Реферат
Статья: Русские ученые-эмигранты о языке деловой письменности
Реферат На Тему Сучасна Японія
Реферат: Узбекистан
Реферат: A Night To Remember Essay Research Paper
Нарушение авторских и смежных прав, нарушение изобретательских и патентных прав - Государство и право курсовая работа
Этимология тюркского слова temir "железо" - Иностранные языки и языкознание реферат
Проект мероприятий совершенствования маркетинговой деятельности - Маркетинг, реклама и торговля курсовая работа