Диафантовые уравнения виды и способы решения
Диафантовые уравнения виды и способы решенияСкачать файл - Диафантовые уравнения виды и способы решения
Хомякова Ольга, ученица 10 класса. Практическое применение теории диофантовых ур-ний В школьном курсе математики диофантовы уравнения практически не изучаются, но, например, в заданиях группы С6 в ЕГЭ встречаются уравнения 2-ой степени. Также с этими заданиями я сталкивалась в математических олимпиадах. Я заинтересовалась этой темой для того, чтобы успешно сдать Единый Государственный Экзамен и принимать участие в олимпиадах и конкурсах. Помимо этого, меня заинтересовала практическая направленность области этой темы. Предметная областью моего исследования является математика. Объект работы - диофантовы уравнения, типы и способы их решения. Повысить уровень математической культуры ;. Развить в себе навыки исследовательской деятельности в области математики;. Научиться самой и научить других решать диофантовы уравнения эффективными методами;. Применять эти методы решения к задачам из повседневной жизни человека, а также к задачам, предлагаемым на вступительных экзаменах в ВУЗы и в олимпиадных заданиях;. Классифицировать методы решений дифференциальных уравнений;. Составить сборник задач с решениями в помощь ученикам нашей школы. Изучение истории появления диофантовых уравнений, основной литературы по этой теме;. Изучение способов и методов решения диофантовых уравнений;. Попытка их классификации ;. Поиск практической значимости данной темы. Диофант вероятно 3 в. Диофантовы уравнения — алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, у которых отыскиваются целые или рациональные решения. Эти уравнения названы по имени Диофанта вероятно 3 в. Диофант представляет одну из наиболее трудных загадок в истории науки. Нам неизвестно ни время, когда он жил, ни предшественники, которые работали бы в той же области. Достаточно решить уравнение первой степени с одним неизвестным — и мы узнаем, что Диофант прожил 84 года. Наиболее загадочным представляется творчество Диофанта. Число неизвестных диофантовых уравнениях превосходит число уравнений, и поэтому иногда их называют неопределенными. Такие уравнения имеют некоторые особенности: Они сводятся к уравнениям или системам уравнений с целочисленными коэффициентами. Требуется найти только целые, часто натуральные решения. Определение, виды диофантовых уравнений и способы их решений. Итак, диофантовым уравнением для целочисленных переменных х 1 , х 2 , …, х n называется уравнение, которое может быть приведено к виду. Где Р - некоторый многочлен от указанных переменных с целыми коэффициентами. Такое диофантово уравнение имеет бесконечное число решений: Итак, я предлагаю рассмотреть решение следующего уравнения: Так как 8 и 9 взаимно простые числа, т. Одно из решений найдем подбором: Остальные решения вычисляются по формулам: А теперь рассмотрим линейное диофантово уравнение, которое не имеет целых решений: Тогда левая часть уравнения делится на 5, а правая часть на 5 не делится. Значит, уравнение не имеет решений в целых числах. К диофантовому уравнению приводит и такая задача: На покупку нескольких открыток по 11 рублей и конвертов по 13 рублей потратили всего 61 рубль. Очевидно, что по условию задачи здесь пригодны лишь целые положительные числа. Методом подбора найдем такие числа. Данное уравнение имеет только одно такое решение: Еще в Древнем Вавилоне родилась задача о построении прямоугольного треугольника с попарно соизмеримыми сторонами. Соизмеримость сторон означает, что найдется такой масштаб, в котором катеты и гипотенуза будут выражаться натуральными числами x и y , но тогда: Таким образом, вавилонская задача сводится к задаче построения всех троек натуральных чисел x , y , z удовлетворяющих предыдущему уравнению. Пифагорейцы нашли способ построения всех его решений. Но, возможно, этот способ был найден еще раньше в Вавилоне и Индии. Однако эти формулы не дают возможности найти все пифагорейские тройки чисел, имеющие выбранное исходное число. Формулы Пифагора и Платона и их различные модификации дают только частные решения. Приведем еще примеры пифагорейских троек чисел, которые нельзя получить по указанным формулам: Эти и другие пифагорейские тройки чисел дает вавилонская клинописная табличка, относимая к эпохе гг. Метод вавилонян дает возможность найти все пифагорейские тройки, содержащие выбранные исходные числа. Известный в теории диофантовых уравнений является проблема Ферма Пьер Ферма — французский математик. Эта проблема носит название великой теоремы Ферма. Общее доказательство получил английский математик Уайлс в году. Такие уравнения могут иметь бесконечно много решений, например, уравнение Пелля Джон Пелль: Итак, попробуем найти решение для первого уравнения: Так как число 11 имеет делители только 1 и 11, то возможны следующие сочетания сомножителей: Ответ запишем в следующем виде: Из этих пар чисел видно, что уравнение не имеет решений в целых числах. Решив системы, получим следующие пары чисел: Последние две системы не имеют целых решений, следовательно, ответ: Последнее уравнение не похоже на 3 предыдущих. Преобразуем заданное уравнение вынесем за скобки y и вычтем и прибавим число 3: В результате преобразований получаем уравнение: Из них получаем четыре пары чисел 1; -2 , 2; -3 , 4;1 , 5;0. Ответом этого уравнения будут являться все 4 пары. Так как число 14 с учетом порядка следования множителей может быть представлено в виде произведения целых чисел следующим образом: Решив все 8 систем, мы получаем дробные значения, а значит, что это уравнение не имеет решений в целых числах. Разложим левую часть заданного уравнения на линейные множители: Так как 7 число простое, то оно равно произведению двух целых чисел в четырех случаях. Решив все 4 системы, получим пары чисел -5;4 , 5; -4 , ;20 , 13; Эти числа и будут ответом. В левой части уравнения выделим полный квадрат: Сумма квадратов равна 0 лишь в одном случае. Докажем, что это уравнение имеет единственное целочисленное решение. В левой части уравнения выделим полные квадраты: Теперь я предлагаю рассмотреть графический метод решения диофантовых уравнений. Построить на координатной плоскости х Oy две точки х1;у1 и х2;у2. Необходимо найти все пары х, у целых чисел, удовлетворяющих системе неравенств: Рассмотрим на координатной плоскости области, которые описываются заданными неравенствами. А затем выберем в них лишь точки с целочисленными координатам х, у. Единственной точкой, принадлежащей одновременно двум кругам, будет точка М 12; Это выясняется подстановкой в систему числовых значений координат всех узлов квадратной сетки, соседних с точкой М. Найти наименьшее значение суммы тогда в области. Решением данного неравенства является область, ограниченная окружностью радиусом 2 с центром в точке O 1; Пусть искомое значение , тогда. Чтобы найти c , достаточно найти ординату точки B. Для этого найдем координаты точек A и B. Зная, что точки лежат на прямой с точкой O 1;-2 , т. Неожиданно, лет назад, было осознано, что эту чисто абстрактную теорию можно использовать для построения алгоритмов, которые нужны для криптографии , чтобы зашифровывать и безопасно передавать секретные сообщения, а также снимать и класть деньги в банкоматах и т. Теория эта оказалась востребована на практике. Банкиры обратились к ним с просьбой помочь в переводе денег из дальних регионов в Москву. В России есть целая Академия криптографии и научно-исследовательские организации, которые используют такие разработки. Знаменитый мост Золотые Ворота был построен с применением диофантовых уравнений. Данная исследовательская работа дала мне возможность совершенствовать навыки работы с научно-популярной литературой и освоить программы графопостроители. Говоря о практическом использовании полученных результатов нельзя не вспомнить слова Алексея Николаевича Крылова: Материалы вступительных экзаменов в МГУ, МФТИ и другие вузы. Исследовательская работа по математике по теме: Хомякова Ольга, ученица 10 класса Учитель: Виды диофантовых уравнений и их классификация 3. Диофантовые уравнения в части С ЕГЭ 4. Практическое применение теории диофантовых ур-ний Заключение 5. Литература Введение Актуальность исследования: Повысить уровень математической культуры ; 2. Развить в себе навыки исследовательской деятельности в области математики; 3. Научиться самой и научить других решать диофантовы уравнения эффективными методами; 4. Применять эти методы решения к задачам из повседневной жизни человека, а также к задачам, предлагаемым на вступительных экзаменах в ВУЗы и в олимпиадных заданиях; 5. Классифицировать методы решений дифференциальных уравнений; 6. Изучение истории появления диофантовых уравнений, основной литературы по этой теме; 2. Изучение способов и методов решения диофантовых уравнений; 3. Попытка их классификации ; 4. Подписаться на рассылку Pandia. Интересные новости Важные темы Обзоры сервисов Pandia. Основные порталы, построенные редакторами. Каталог авторов частные аккаунты. Все права защищены Мнение редакции может не совпадать с мнениями авторов. Минимальная ширина экрана монитора для комфортного просмотра сайта: Мы признательны за найденные неточности в материалах, опечатки, некорректное отображение элементов на странице - отправляйте на support pandia. Вычисление это получение из входных данных нового знания. Как люди считали в старину и как считали цифры - часть 1 Математическое моделирование, численные методы Хорошо ли вы считаете? О проекте Справка О проекте Сообщить о нарушении Форма обратной связи. Авторам Открыть сайт Войти Пожаловаться. Архивы Все категории Архивные категории Все статьи Фотоархивы. Лента обновлений Педагогические программы. Правила пользования Сайтом Правила публикации материалов Политика конфиденциальности и обработки персональных данных При перепечатке материалов ссылка на pandia.
Линейное диофантово уравнение и 4 способа его решения
Что делатьесли прищемил палец ноготь синий
Диофантово уравнение
Телебанк втб 24 защищенный режим
Методы проблемного обучения предполагают
Презентация для детей про хлеб
Диофантовые уравнения
Правила безопасного поведения при захвате заложников реферат
Оригинальные идеи для огорода своими руками фото
Исследовательская работа по математике по теме: “Диофантовы уравнения, типы и способы решения»
Скупка столовых приборов из мельхиора